[Carlos Ivorra]

Aun así, la prueba (entendiendo ahora lo que quería probar) es igualmente correcta, ¿no?

Sí, sí. No afecta en nada.

[Eparoh]

Hola de nuevo.

Al escribir las demotraciones en el otro hilo, me he dado cuenta de que en las demostraciones no pensé en ningún momento que las fórmulas pudieran tener descriptores.

Para el primer lema creo que no afecta a nada, que la demostración si es correcta para fórmulas generales, ¿no?

Pero, para la demostración del principio de reflexión si he supuesto de forma incosciente que no tiene descriptores, porque al comienzo de la demostración donde digo como pueden la sucesión de subfórmulas que construyen \( \phi \) no incluyo fórmulas de la forma \( t_1 = t_2 \) o \( t_1 \in t_2 \) con \( t_1, t_2 \) términos. Si la fórmula no tiene descriptores estos términos solo pueden ser variables y la demostración (para este caso) sigue siendo correcta, ¿no?

¿Cómo se puede extender entonces para fórmulas generales que pueden incluir descriptores?
Se que para cada \( \phi_i \) existe una fórmula equivalente \( \phi_i' \) que no tiene descriptores. Entonces, por lo ya probado tenemos que existe un conjunto numerbale y transitivo \( M \) tal que

\( \displaystyle \bigwedge_{i=1}^n (\phi_i' \leftrightarrow \phi_ i'|_M) \)

Como \( \phi_i \leftrightarrow \phi_i' \) de lo anterior se obtiene que

\( \displaystyle \bigwedge_{i=1}^n (\phi_i \leftrightarrow \phi_ i'|_M) \)

Pero, ¿cómo concluyo? No veo del todo claro como se puede demostrar que \( \phi_i|_M \leftrightarrow \phi_i'|_M \). ¿Habría que hacerlo por inducción en la longitud de la fórmula y tener en cuenta la forma que toman los \( \phi' \) dados en la demostración del Teorema 3.34 de tu libro de lógica? ¿O es más sencillo que eso?

Un saludo.

[Carlos Ivorra]

Al escribir las demotraciones en el otro hilo, me he dado cuenta de que en las demostraciones no pensé en ningún momento que las fórmulas pudieran tener descriptores.

Para el primer lema creo que no afecta a nada, que la demostración si es correcta para fórmulas generales, ¿no?

En efecto, es correcta.

Pero, para la demostración del principio de reflexión si he supuesto de forma incosciente que no tiene descriptores, porque al comienzo de la demostración donde digo como pueden la sucesión de subfórmulas que construyen \( \phi \) no incluyo fórmulas de la forma \( t_1 = t_2 \) o \( t_1 \in t_2 \) con \( t_1, t_2 \) términos. Si la fórmula no tiene descriptores estos términos solo pueden ser variables y la demostración (para este caso) sigue siendo correcta, ¿no?

Sí. No te dije nada porque lo cierto es que difícilmente encontrarás un libro de teoría de conjuntos que incluya descriptores en los lenguajes formales. A efectos teóricos, puedes considerar que los descriptores no existen. Esto supone considerar que una fórmula como \( x\cap y \subset x \) tiene que entenderse como "existe un z cuyos elementos son los de x y los de y, y ese z está contenido en x". Es decir, lo más fácil es considerar que los descriptores no existen y que cada fórmula que en principio los requiere sólo es una forma de referirse a cualquier fórmula equivalente que no los requiera.

¿Cómo se puede extender entonces para fórmulas generales que pueden incluir descriptores?
Se que para cada \( \phi_i \) existe una fórmula equivalente \( \phi_i' \) que no tiene descriptores. Entonces, por lo ya probado tenemos que existe un conjunto numerbale y transitivo \( M \) tal que

\( \displaystyle \bigwedge_{i=1}^n (\phi_i' \leftrightarrow \phi_ i'|_M) \)

Como \( \phi_i \leftrightarrow \phi_i' \) de lo anterior se obtiene que

\( \displaystyle \bigwedge_{i=1}^n (\phi_i \leftrightarrow \phi_ i'|_M) \)

Pero, ¿cómo concluyo? No veo del todo claro como se puede demostrar que \( \phi_i|_M \leftrightarrow \phi_i'|_M \). ¿Habría que hacerlo por inducción en la longitud de la fórmula y tener en cuenta la forma que toman los \( \phi' \) dados en la demostración del Teorema 3.34 de tu libro de lógica? ¿O es más sencillo que eso?

Pues yo diría que es más fácil demostrar el principio de reflexión directamente para fórmulas con descriptores (en lugar de demostrarlo sin ellos y luego tratar de generalizarlo). Ante todo, tienes que definir la relativización de un término que no sea una variable, mediante \( (x|\alpha)|_M \equiv x|(x\in M\land \alpha|_M) \).

Cuando consideras la sucesión de fórmulas \( \phi_i^l \), ahora tienes que considerar una sucesión de expresiones (términos o fórmulas), de modo que si aparece una descripción \( x|\alpha \), entonces \( \exists!x\alpha \) aparece previamente en la sucesión. Para las fórmulas pides lo que pedías: \( \phi_i^l\leftrightarrow \phi'^l_i|_M \), y para los términos pides \( t_i^l= t_i^l|_M \).

Mira la demostración del teorema 12.27 de mi libro de lógica (entendiendo que \( N \) es la clase de todos los conjuntos, de modo que relativizar a \( N \) una expresión es dejarla igual). Pero si algo te resulta extraño no te pongas a estudiarte nada de ahí. Dímelo, que seguro que en el contexto en el que estamos aquí es mucho más simple.

De todos modos, puestos a no perderte en florituras e ir a lo esencial, deberías plantearte la posibilidad de no preocuparte para nada de los descriptores (entendiendo que las fórmulas con descriptores no existen). Si no, te van a dar trabajo extra en varios momentos importantes del desarrollo de la teoría básica del forcing.

[Eparoh]

Hola Carlos.

Gracias por responder tan rápido incluso aún teniendo poco tiempo. Yo estoy igual, ahora mismo no tengo tiempo de responder a todo, en cuanto pueda lo miro con atención, pero leyendo lo que me respondiste en el otro post (que, por cierto, se me había olvidado completamente las interpretaciones de teorías, pero cuando me lo estudié en su día estuvimos discutiendo largo y tendido hasta conseguir demostrar una proposición que combinaba las interpretaciones y la sustitución, no se si lo recuerdas) se me ocurrió una idea que quería comentarte para saber si podría dar resultado y, por tanto, le doy más vueltas, o no.

Sin tener que tocar la prueba demasiado, para probar que si \( \phi \leftrightarrow \phi' \) es un teorema de ZFC, entonces lo es \( \phi|_M \leftrightarrow \phi'|_M \) para cierto \( M \), no podría hacerse lo siguiente (suponiendo el caso solo de una fórmula para escribirlo ahora rápido):

• Por lo visto, existe un conjunto \( M \) que cumple lo deseado para la fórmula \( \phi' \) (sin descriptores) y todos los axiomas de ZFC necesarios para probar el teorema \( \phi \leftrightarrow \phi' \) (todos estos axiomas podemos suponerlos sin descriptores, salvo si se necesita el axioma \( \forall u u \not \in z|z=z \), pero para este se puede probar el teorema muy fácilmente porque la relativización de \( z|z=z \) es el mismo término y se puede "tratar" como trate las variables en mi demostración, ¿no?)
• Ahora, consideramos la teoría \( S \) que tiene por axiomas todos estos que he mencionado antes y la interpretamos en ZFC con la interpretación dada por \( M \).
• Ahora, es un teorema de \( S \) la fórmula \( \phi \leftrightarrow \phi' \), y como son sentencias, se tiene entonces por el Teorema 3.30 de tu libro que \( \phi|_M \leftrightarrow \phi'|_M \) es un teorema de ZFC.
• Con esto, ya se tiene entonces que \( \phi \leftrightarrow \phi' \leftrightarrow \phi'|_M \leftrightarrow \phi|_M \).

A ver si no he dicho una tontería.

En cuanto tenga tiempo respondo a lo demás y a lo del otro post, pero creo que lo del otro estará aclarado (a no ser que al ponerme a escribirlo me surge alguna duda más).

Un saludo.

[Carlos Ivorra]

...pero leyendo lo que me respondiste en el otro post (que, por cierto, se me había olvidado completamente las interpretaciones de teorías, pero cuando me lo estudié en su día estuvimos discutiendo largo y tendido hasta conseguir demostrar una proposición que combinaba las interpretaciones y la sustitución, no se si lo recuerdas)

Pues no me acordaba de los detalles, y te respondí en términos que no requirieran saber nada de interpretaciones, pero mientras lo hacía recordaba que sí que te habías estudiado ese tema y que habíamos hablado sobre ello.

Sin tener que tocar la prueba demasiado, para probar que si \( \phi \leftrightarrow \phi' \) es un teorema de ZFC, entonces lo es \( \phi|_M \leftrightarrow \phi'|_M \) para cierto \( M \), no podría hacerse lo siguiente (suponiendo el caso solo de una fórmula para escribirlo ahora rápido):

• Por lo visto, existe un conjunto \( M \) que cumple lo deseado para la fórmula \( \phi' \) (sin descriptores) y todos los axiomas de ZFC necesarios para probar el teorema \( \phi \leftrightarrow \phi' \) (todos estos axiomas podemos suponerlos sin descriptores, salvo si se necesita el axioma \( \forall u u \not \in z|z=z \), pero para este se puede probar el teorema muy fácilmente porque la relativización de \( z|z=z \) es el mismo término y se puede "tratar" como trate las variables en mi demostración, ¿no?)
• Ahora, consideramos la teoría \( S \) que tiene por axiomas todos estos que he mencionado antes y la interpretamos en ZFC con la interpretación dada por \( M \).
• Ahora, es un teorema de \( S \) la fórmula \( \phi \leftrightarrow \phi' \), y como son sentencias, se tiene entonces por el Teorema 3.30 de tu libro que \( \phi|_M \leftrightarrow \phi'|_M \) es un teorema de ZFC.
• Con esto, ya se tiene entonces que \( \phi \leftrightarrow \phi' \leftrightarrow \phi'|_M \leftrightarrow \phi|_M \).

Pues sí, tienes razón. Así es más fácil.

A lo más tardar este fin de semana me leo con calma todo lo que habías escrito en el otro hilo y te digo algo, pero a primera vista lo veo bien.

[Eparoh]

Hola.

Pues sí, tienes razón. Así es más fácil.

Pues mañana lo escribo bien. A ver si ya dejo este teorema y los dos metateoremas del otro hilo cerrados y puedo empezar con la "chicha" del forcing

A lo más tardar este fin de semana me leo con calma todo lo que habías escrito en el otro hilo y te digo algo, pero a primera vista lo veo bien.

Sin ninguna prisa. Solo con que lo mires, sea cuando sea, ya te estoy eternamente agradecido.

Un saludo.

[Eparoh]

Hola.

He añadido en color azul lo que le faltaba a la demostración del principio de reflexión para que fuera válida también para fórmulas con descriptores. Es básicamente lo que puse en el mensaje anterior, pero gracias al lema general que me enseñaste en el otro post no me ha hecho falta recurrir directamente a las interpretaciones de teorías axiomáticas.

Ahora sí, si no he metido la pata con esto último, creo (y espero) que tengo todos los cimientos formalmente demostrados e intuitivamente entendidos. Ya puedo entrar en materia de forcing propiamente dicha

Un saludo.

[Carlos Ivorra]

Un par de comentarios menores:

\( \emptyset \in M \) porque \( M \) es transitivo y no vacío.

En realidad, la relativización de \( z|z = z \) es \( z|(z\in M\land z = z) \) que es lo mismo que \( z|z\in M \).

Si \( M \) tiene más de un elemento, entonces \( z|z\in M \) es una descripción impropia y coincide con \( \emptyset = (z|z=z)\in M \). Si \( M \) tiene un único elemento, tiene que ser \( M = \{\emptyset\} \) y llegamos a lo mismo, aunque ahora la descripción es propia.

[Eparoh]

Hola.

En realidad, la relativización de \( z|z = z \) es \( z|(z\in M\land z = z) \) que es lo mismo que \( z|z\in M \).

Si \( M \) tiene más de un elemento, entonces \( z|z\in M \) es una descripción impropia y coincide con \( \emptyset = (z|z=z)\in M \). Si \( M \) tiene un único elemento, tiene que ser \( M = \{\emptyset\} \) y llegamos a lo mismo, aunque ahora la descripción es propia.

 

Ya me extrañaba muchísimo que se cumpliera la relativización para cualquier \( M \) sin más condiciones. Y mira que le daba vueltas pero lo veía todo bien, ¡porque lo que no veía es que había escrito mal la relativización!

Muchas gracias de nuevo por corregir mis errores. Lo he vuelto a editar y ahora, por fin y espero, ya está completa.

Un saludo.

[Carlos Ivorra]

Yo lo veo todo bien.