Para comenzar, cito la definición de estructura de Peano que estipulé en mi anterior pregunta.
Sea un conjunto no vacío \( A \) y una función \( f:{A\to{A}} \).
Se define que el par \( \left(A,f\right) \) es una estructura de Peano cuando: \( f \) es inyectiva, no es sobreyectiva, el rango \( f{\left[A\right]}\subseteq{A} \) y, para todo \( B\subseteq{A} \), si \( \exists{x}\in{A\setminus{f{\left[A\right]}}} \) tal que \( x\in{B} \) y \( f{\left[B\right]}\subseteq{B} \), entonces \( A\subseteq{B} \).
Esta nueva pregunta surge leer el prefacio para docentes en el libro
Fundamentos de Análisis de Edmund Landau. Allí se menciona una objeción de un profesor radicado en Chile hacia una versión preliminar de las notas de Landau. En resumen, acerca de usar la definición recursiva de suma en la estructura de Peano sin haber probado el teorema de Recursión antes.
Para solventar esta falla, Landau decidió cambiar el orden de presentación e introducir primero que todo la relación de orden en la estructura de Peano (que originalmente dependía de propiedades para la adición) para justificar las definicions recursivas; un desarrollo, según cuenta Landau, que fue asesorado por John von Neumann. No obstante, a última hora Landau desechó del texto tal procedimiento en pro de uno más simple, comunicado por Kalmár.
He consultado internet en busca de alguna alusión a esta anécdota para aprender más de la objeción y su resolución, pero solo encontré una referencia a un articulo nuestra lengua: de un autor catalán, Pedro Pi Calleja, en una revista argentina, a la que seguramente no existe acceso digital.
Terminada esta introducción narrativa pregunto, ¿como se puede proceder de la manera que casi pero al final no apareció en el clásico texto? Aunque, en general, me interesa conocer sobre estas definiciones elementales de orden para las estructuras de Peano.
Sé que se puede definir un orden en la estructura de Peano al tomar la relación ancestral correspondiente a la función sucesor, o sea, la clausura de relaciones transitivas que contienen el grafo de tal función. Quizás esto no es tan elemental como buscaba Landau, teniendo en cuenta el público al que se dirígía su libro.
Además se pueden definir subconjuntos en la estructura de Peano que intuitivamente equivaldrían a los intervalos {0, 1, 2, 3, ..., n}, apenas aprovechando el principio de inducción. Pero Landau menciona explícitamente la relación de orden.
Gracias por su atención y paciencia, y ojalá yo pueda olvidar la deuda que siento hacia ustedes por tan valiosa ayuda desinteresada.
