Respecto al enunciado, entiendo que lo que realmente dice es que si, por ejemplo, tuviéramos dos fórmulas \( \phi_1, \phi_2 \) cuyas variables libres están entre \( x, y, z \), entonces es un teorema de ZFC la siguiente fórmula:\(
\begin{align*}
& \forall xy{\color{red}\in M}(\exists z \phi_1 \rightarrow \exists z \in M \phi_1) \wedge \forall xz{\color{red}\in M}(\exists y \phi_1 \rightarrow \exists y \in M \phi_1) \wedge \forall yz{\color{red}\in M}(\exists x \phi_1 \rightarrow \exists x \in M \phi_1) \wedge \\
& \forall xy{\color{red}\in M}(\exists z \phi_2 \rightarrow \exists z \in M \phi_2) \wedge \forall xz{\color{red}\in M}(\exists y \phi_2 \rightarrow \exists y \in M \phi_2) \wedge \forall yz{\color{red}\in M}(\exists x \phi_2 \rightarrow \exists x \in M \phi_2)
\end{align*} \)
¿Es esto correcto?
Te falta lo que te he añadido en rojo, pero no ganas nada triplicando el enunciado. Habría bastado que pusieras\(
\forall xy\in M(\exists z \phi_1 \rightarrow \exists z \in M \phi_1)\land \forall xy\in M(\exists z \phi_2 \rightarrow \exists z \in M \phi_2)
\)
Piensa que si tienes una fórmula con tres variables libres \( x, y, z \), no hay ningún orden preestablecido en ellas. Lo que dice el enunciado es que puedes elegir una, por ejemplo la z, para construir un caso particular del esquema. Los otros dos casos que añades son otros casos particulares del esquema para otra elección de la variable.
Llamamos \( \alpha_{n+1} = (\alpha_n+1)\cup \bigcup\limits_i\bigcup X_i \), que es un ordinal con la propiedad de que si \( x\in V_{\alpha_n}^{m-1} \) y \( \exists x_m\,\phi_i(x, x_m) \), entonces \( \exists x_m\in V_{\alpha_{n+1}}\,\phi_i(x, x_m) \).
Tenemos así una sucesión estrictamente creciente de ordinales \( \alpha_n \), luego su supremo es un ordinal límite \( \lambda \), con la propiedad de que si \( x\in V_\lambda^{m-1} \) y existe un \( x_m \) tal que \( \phi_i(x, x_m) \), entonces existe un \( x_m\in V_\lambda \) tal que \( \phi_i(x, x_m) \).
y tiene la propiedad de que si \( x\in M_{\color{red} k}^{{\color{red}m}-1} \) y existe un \( y\in V_\lambda \) tal que \( \phi_i(x, y) \), entonces existe un \( y\in M_{{\color{red}k}+1} \) tal que \( \phi_i(x, y) \). El conjunto \( M=\bigcup\limits_n M_n \) cumple lo requerido.
Y, tripliqué las fórmulas porque entendía que el esquema era únicamente para cada fórmula del lenguaje, pero que una vez fijada la fórmula, existe un conjunto \( M \) con las propiedades deseadas, que (ese mismo conjunto) satisface lo que propones para cualquier combinación de las variables (de ahí la triplicación). Ahora bien, lo que si tengo claro es que basta probarlo eligiendo una cualquiera, pues para cada variable obtenemos un conjunto y la unión de todos es aún numerable y cumplirá lo que yo digo, ¿no?
Si entiendo bien, la idea es que como no podemos hacer elecciones sobre clases arbitrarias, debemos utilizar la jerarquía de von Neumann para conseguir meter dentro de un conjunto todos los elementos que satisfagan lo que deseamos.
Entonces, para ello partes de una fórmula como la siguiente\( \psi_i(x,\alpha, \beta) \equiv \beta \text{ es un ordinal } \wedge x \in V_{\beta}^{m-1} \wedge ((\exists x_m \phi_i(x,x_m) \rightarrow \alpha=\min A_{x,x_m}) \vee (\neg \exists x_m \phi_i(x,x_m) \rightarrow \alpha=\emptyset)) \)
donde \( A_{x,x_m} \) debe ser algún conjunto de la forma \( \{\gamma| \gamma \text{ es un ordinal } \wedge x_m \in V_{\gamma} \wedge \phi(x,x_m)\} \), ¿pero cómo se puede definir este conjunto para añadirlo en la fórmula anterior? O, tal vez más sencillo porque he liado las cosas, ¿cómo se escribe la fórmula que has enunciado?
Suponiendo esta fórmula bien definida y cumpliendo lo que dices que debe cumplir, el axioma de reemplazo nos da entonces para cada ordinal \( \beta \) el conjunto\( X_i^\beta = \{\alpha | \exists x (x \in V_\beta^{m-1} \wedge \psi_i(x,\alpha, \beta))\} \equiv y|\forall \alpha (\alpha \in y \leftrightarrow \exists x (x \in V_\beta^{m-1} \wedge \psi_i(x,\alpha, \beta)) \)
¿Correcto?
Entonces, podemos definir \( G:V \rightarrow V \) como\( G(z)=\begin{cases}{\emptyset}&\text{si}& z \text{ no es un ordinal}\\\displaystyle (z+1) \cup \bigcup_{i=1}^n \bigcup X_i^z & \text{si}& z \text{ es un ordinal}\end{cases} \)
y, por el teorema de recursión, obtener una sucesión \( \{\alpha_k\} \) tal que\( \begin{align*}
\alpha_0 & = 1\\
\alpha_{k+1} & = G(\alpha_k)
\end{align*} \)
donde, por inducción, queda claro que cada elemento de la sucesión es un ordinal y por tanto es\( \displaystyle\alpha_{k+1}=(\alpha_k +1) \cup \bigcup_{i=1}^n \bigcup X_i^{\alpha_k} \)Llamamos \( \alpha_{n+1} = (\alpha_n+1)\cup \bigcup\limits_i\bigcup X_i \), que es un ordinal con la propiedad de que si \( x\in V_{\alpha_n}^{m-1} \) y \( \exists x_m\,\phi_i(x, x_m) \), entonces \( \exists x_m\in V_{\alpha_{n+1}}\,\phi_i(x, x_m) \).
Esto no lo veo :-[
Tenemos así una sucesión estrictamente creciente de ordinales \( \alpha_n \), luego su supremo es un ordinal límite \( \lambda \), con la propiedad de que si \( x\in V_\lambda^{m-1} \) y existe un \( x_m \) tal que \( \phi_i(x, x_m) \), entonces existe un \( x_m\in V_\lambda \) tal que \( \phi_i(x, x_m) \).
Esto está claro suponiendo resueltas las dos dudas anteriores.
Ahora, repetimos lo mismo (pero contando ya con el conjunto \( V_\lambda \)) para construir los conjuntos \( M_k \).
Para ello, definimos\( \psi'_i(x,y,z) \equiv x \in z^{m-1} \wedge ((\{u \in V_\lambda: \phi_i(x,u)\} \not = \emptyset \rightarrow y=\min \{u \in V_\lambda: \phi_i(x,u)\}) \vee (\{u \in V_\lambda: \phi_i(x,u)\} = \emptyset \rightarrow y=\emptyset)) \)
Entonces, como antes, el axioma de reemplazo nos da para cada conjunto \( z \) el conjunto\( X_i^z = \{y | \exists x (x \in z^{m-1} \wedge \psi'_i(x,y,z))\} \equiv u|\forall y (y \in u \leftrightarrow \exists x (x \in z^{m-1} \wedge \psi'_i(x,y,z)) \)
¿Correcto?
Es claro entonces que para cada \( z \) se tiene que \( X_i^z \subset V_\lambda \) y que si \( z \) es numerable, entonces \( X_i^z \) es numerable.
Definimos \( G:V \rightarrow V \) tal que\( \displaystyle G(w) = w \cup \bigcup_{i=1}^n X_i^w \)
y es claro que si \( w \subset V_\lambda \), entonces \( G(w) \subset V_\lambda \). Con esto, por el teorema de recurisón obtenemos la sucesión \( \{M_k\} \) tal que\( \begin{align*}
M_0 & = \{\emptyset\}\\
M_{k+1} & = G(M_k) = M_k \cup \bigcup_{i=1}^n X_i^{M_k}
\end{align*} \)
donde, por inducción, queda claro que \( M_k \) es numerable y \( M_k \subset V_\lambda \) para cada \( k \).y tiene la propiedad de que si \( x\in M_{\color{red} k}^{{\color{red}m}-1} \) y existe un \( y\in V_\lambda \) tal que \( \phi_i(x, y) \), entonces existe un \( y\in M_{{\color{red}k}+1} \) tal que \( \phi_i(x, y) \). El conjunto \( M=\bigcup\limits_n M_n \) cumple lo requerido.
Esto si que lo veo.
Salvo la definición formal de la primera fórmula y lo que no veo sobre los \( V_{\alpha_n} \), ¿he entendido bien todo lo demás? ¿Es correcto lo que digo?
Toda la construcción está hecha justo para que pase eso. Cambiando mi \( n \) original por tu \( k \) y tu \( m-1 \) por mi \( m_i \), pongamos que \( x\in V_{\alpha_k}^{m_i} \) y que \( \exists x_0\,\phi_i(x_0, x) \). Tomamos un \( x_0 \) tal que \( \phi_i(x_0, x) \). Entonces existe un ordinal \( \gamma \) tal que \( x_0\in V_\gamma \), luego \( \exists x_0\in V_\gamma\,\phi_i(x_0, x) \). Sea \( \alpha \) el mínimo ordinal tal que \( \exists x_0\in V_\alpha\,\phi_i(x_0, x) \). Entonces se cumple \( \psi_i(x, \alpha, \alpha_k) \), luego \( \alpha\in X^{\alpha_k}_i \), luego \( \alpha\leq G(\alpha_k)=\alpha_{k+1} \), luego \( \exists x_0\in V_{\alpha_{k+1}}\,\phi_i(x_0, x) \).
Lo entiendo excepto lo que he marcado en azul. Que \( \alpha \leq \alpha_{k+1} \) es porque \( \alpha \in \alpha_{k+1} \), ¿o no es eso? Porque, si es eso, ¿no sería un menor estricto? Y, si es por eso, ¿no sobraría la última unión en la definición de \( \alpha_{k+1} \)?
No entiendo a qué te refieres con "la última unión". ¿Te refieres a la que yo llamaría la primera \( \alpha_k+1 \)? Si es así, piensa que todos los elementos de los \( X_i^{\alpha_k} \) podrían ser menores que \( \alpha_k \), en cuyo caso tendríamos \( \alpha_{k+1}< \alpha_k \) si quitamos esa unión.
Tampoco acabo de identificar qué es lo que te confunde. La unión de un conjunto de ordinales es lo mismo que su máximo (si lo hay) o su supremo (si no hay máximo). \( \alpha_{k+1} \) está definido como el menor ordinal que es mayor que \( \alpha_k \) y que es mayor o igual que todos los ordinales de todos los conjuntos \( X_i^{\alpha_k} \). En efecto, sale que \( \alpha <\alpha_{k+1} \), pero si no forzamos a que \( \alpha_{k+1} \) fuera mayor que \( \alpha_k \), podría ocurrir que \( \alpha <\alpha_{k+1}<\alpha_k \).
Pero me acabo de dar cuenta de que entonces \( \alpha_{k+1} \) podría no ser un ordinal, ¿no?
Pues entonces, todo aclarado ;)
No te hace falta ningún conjunto. Si escribimos \( \phi_i(x_0, x_1,\ldots x_{m_i}) \) es:
\( \psi_i(x,\alpha, \beta)\equiv \alpha, \beta \mbox{ son ordinales} \land x\in V_\beta^{m_i}\land (\exists x_0\in V_\alpha\, \phi_i(x_0, x)\land \forall \gamma <\alpha\lnot \exists x_{\color{red}0}\in V_\gamma^{\color{red} \cancel m_i}\, \phi_i(x_0, x))\lor (\lnot \exists x_0\, \phi_i(x_0, x)\land \alpha = 0) \).
Si usas otra notación para las fórmulas dadas, o bien \( m_i \) pasa a ser \( m-1 \), o tienes que intercalar la variable elegida entre las otras.
Aún no he podido mirar el último mensaje, pero estaba escribiéndome bien la demostración y esto es una errata, ¿no?
Respecto al lema, creo que he encontrado una forma "cómoda y compacta" de enunciarlo y de denotar las cosas para la demostración. A ver que tal te parece todo.
Lema: Sean \( \phi_1, \cdots, \phi_n \) fórmulas del lenguaje \( \mathcal{L}_{tc} \) cuyas variables libres son, respectivamente, \( x_1^i, \cdots, x_{m_i}^i \). Entonces se puede demostrar en ZFC que existe un conjunto numerable \( M \) (no vacío) tal que se satisface la fórmula\( \displaystyle \bigwedge_{i=1}^n \bigwedge_{j=1}^{m_i} \forall x_1^i \cdots \widehat{x_j^i} \cdots x_{m_i}^i \in M \left( \exists x_i^j \phi_i \rightarrow \exists x_i^j \in M \phi_i \right) \)
donde la notación \( \widehat{x_j^i} \) siginifica que se omite dicha variable.DemostraciónPara cada \( 1 \leq i \leq n \) y \( 1 \leq j \leq m_i \) definimos las fórmulas\( \psi_{ij}(x, \alpha, \beta) \equiv \alpha, \beta \text{ son ordinales } \wedge \exists x_1^i \cdots \widehat{x_j^i} \cdots x_{m_i}^i \in V_\beta \left[ x = \left( x_1^i, \cdots, \widehat{x_j^i}, \cdots, x_{m_i}^i \right) \right] \wedge \left[ \left( \exists x_j^i \in V_\alpha \phi_i \wedge \forall \gamma < \alpha \neg \exists x_j^i \in V_\gamma \phi_i \right) \vee \left( \neg \exists x_j^i \phi_i \wedge \alpha=0 \right) \right] \)
Es decir, \( \psi_{ij} \) nos dice que \( \alpha \) y \( \beta \) son ordinales, que existen ciertas variables \( x_1^i, \cdots, \widehat{x_j^i}, \cdots, x_{m_i}^i \) tales que \( x = \left( x_1^i, \cdots, \widehat{x_j^i}, \cdots, x_{m_i}^i \right) \in V_\beta^{m_i-1} \) y que, o bien \( \alpha \) es el menor ordinal para el que existe cierto \( x_j^i \in V_\alpha \) que satisface \( \phi_i \), o bien \( \alpha=0 \) si no existe ningún \( x_j^i \) que satisfaga \( \phi_i \).
Con esto tenemos que fijado un ordinal \( \beta \), si se satisfacen \( \psi_{ij}(x,\alpha, \beta) \) y \( \psi_{ij}(x,\alpha', \beta) \) entonces \( \alpha=\alpha' \) (si fuera \( \alpha < \alpha' \) o viceversa se contradeciría su minimalidad), luego el axioma de reemplazo nos da la existencia del siguiente conjunto:\( X_{ij}^\beta = \left\{\alpha \left| \exists x \left(x \in V_\beta^{m_i-1} \wedge \psi_{ij}(x, \alpha, \beta)\right) \right.\right\} \equiv y \left| \forall \alpha \left( \alpha \in y \leftrightarrow \exists x \left(x \in V_\beta^{m_i-1} \wedge \psi_{ij}(x, \alpha, \beta)\right) \right) \right. \)
Definiendo entonces \( G:V \rightarrow V \) como\( \displaystyle G(z)=\begin{cases}\displaystyle{\emptyset}&\text{si}& z \text{ no es un ordinal}\\\displaystyle (z+1) \cup \bigcup_{i=1}^n \bigcup_{j=1}^{m_i} \bigcup X_{ij}^z & \text{si}& z \text{ es un ordinal}\end{cases} \)
(donde observemos que debemos poner \( \bigcup X_{ij}^z=\sup X_{ij}^z \) para asegurar que \( G(z) \) sea un ordinal), por el teorema de recursión obtenemos una sucesión \( \{\alpha_k\}_{k=0}^\infty \) tal que\( \begin{cases}{\alpha_0}= 1\\\alpha_{k+1} = G(\alpha_k)\end{cases} \)
Por inducción es entonces fácil ver que cada \( \alpha_k \) es un ordinal (si \( \alpha_k \) lo es, entonces, por la definición de \( G \), \( \alpha_{k+1} \) es unión de ordinales, luego un ordinal), luego\( \alpha_{k+1}=\displaystyle (\alpha_k+1) \cup \bigcup_{i=1}^n \bigcup_{j=1}^{m_i} \bigcup X_{ij}^{\alpha_k}, \quad \forall k \geq 0 \)
Es decir, \( \alpha_{k+1} \) es el menor ordinal mayor que \( \alpha_k \) y mayor o igual que cada \( \bigcup X_{ij}^{\alpha_k} \).
Observemos entonces que, fijados \( 1 \leq i \leq n \) y \( 1 \leq j \leq m_i \), se cumple que\( \left( x_1^i, \cdots, \widehat{x_j^i}, \cdots, x_{m_i}^i \right) \in V_{\alpha_k}^{m_i-1} \wedge \exists x_j^i \phi_i \rightarrow \exists x_j^i \in V_{\alpha_{k+1}} \phi_i \qquad (1) \)
Efectivamente, si existe un \( x_j^i \) que satisface \( \phi_i \), entonces debe existir un ordinal \( \gamma \) tal que \( x_j^i \in V_\gamma \), luego \( \exists x_j^i \in V_\gamma \phi_i \). Definiendo entonces\( \alpha= \min\left\{\lambda \in \gamma+1: \exists x_j^i \in V_\lambda \phi_i\right\} \)
obtenemos que se satisface \( \psi_{ij}\left( \left( x_1^i, \cdots, \widehat{x_j^i}, \cdots, x_{m_i}^i \right),\alpha, \alpha_k \right) \), luego \( \alpha \in X_{ij}^{\alpha_k} \) y con ello \( \alpha \leq \alpha_{k+1} \) (pues recordemos que \( \alpha_{k+1} \) es un ordinal mayor o igual que cada \( \bigcup X_{ij}^{\alpha_k} \), y como \( \alpha \in X_{ij}^{\alpha_k} \) se tiene entonces que \( \alpha \leq \bigcup X_{ij}^{\alpha_k} \)). Así, obtenemos que \( V_\alpha \subset V_{\alpha_{k+1}} \) y como se cumple que \( \exists x_j^i \in V_\alpha \phi_i \), es claro que también se cumple que \( \exists x_j^i \in V_{\alpha_{k+1}} \phi_i \).
Definiendo entonces \( \lambda = \sup_{k \geq 0} \{\alpha_k\} \) obtenemos que \( V_\lambda \) cumple lo deseado, salvo tal vez la numerabilidad.
En efecto, fijados \( 1 \leq i \leq n \), \( 1 \leq j \leq m_i \) y \( x_1^i, \cdots, \widehat{x_j^i}, \cdots, x_{m_i}^i \in V_\lambda \), tenemos que si se cumple que \( \exists x_i^j \phi_i \) entonces, como existe un natural \( k \) tal que \( x_1^i, \cdots, \widehat{x_j^i}, \cdots, x_{m_i}^i \in V_{\alpha_k} \), por (1) tenemos que \( \exists x_i^j \in V_{\alpha_{k+1}} \) y como \( V_{\alpha_{k+1}} \subset V_\lambda \), obtenemos que \( \exists x_j^i \in V_\lambda \phi_i \).
Ahora que ya contamos con el conjunto \( V_\lambda \) podemos pasar a construir análogos a los \( V_{\alpha_k} \) pero que sean numerables.
Para ello, imponemos un buen orden en \( V_\lambda \) (utilizando el axioma de elección) y defimos para cada \( 1 \leq i \leq n \) y \( 1 \leq j \leq m_i \) las funciones \( F_{ij}: V_\lambda^{m_i-1} \rightarrow V_\lambda \) como\( F_{ij}(y_1, \cdots, y_{m_i-1}) =\begin{cases}{0}&\text{si}& \neg \exists x \in V_\lambda \phi_i(y_1, \cdots, y_{j-1},x,y_{j+1}, \cdots, y_{m_i})\\\min\left\{ x \in V_\lambda: \phi_i(y_1, \cdots, y_{j-1},x,y_{j+1}, \cdots, y_{m_i}) \right\} & \text{si}& \exists x \in V_\lambda \phi_i(y_1, \cdots, y_{j-1},x,y_{j+1}, \cdots, y_{m_i})\end{cases} \)
Y ahora si, si definimos \( G:V \rightarrow V \) como\( \displaystyle G(x)=\begin{cases}\displaystyle{\emptyset}&\text{si}& x \not \subset V_\lambda\\\displaystyle x \cup \bigcup_{i=1}^n \bigcup_{j=1}^{m_i} F_{ij}\left( x^{m_i-1} \right) & \text{si}& x \subset V_\lambda \end{cases} \)
por el teorema de recursión, podemos definir \( M_0=\{\emptyset\} \) y \( M_{k+1}=G(M_k) \), y como \( M_0 \subset V_\lambda \), es inmediato por inducción obtener que \( M_k \subset V_\lambda \) para cada \( k \geq 0 \), luego\( M_{k+1}=\displaystyle M_k \cup \bigcup_{i=1}^n \bigcup_{j=1}^{m_i} F_{ij}\left( M_k^{m_i-1} \right) \)
Los \( M_k \) cumplen la propiedad análoga a (1), es decir, fijados \( 1 \leq i \leq n \) y \( 1 \leq j \leq m_i \), se cumple que\( \left( x_1^i, \cdots, \widehat{x_j^i}, \cdots, x_{m_i}^i \right) \in M_{k}^{m_i-1} \wedge \exists x_j^i \phi_i \rightarrow \exists x_j^i \in M_{k+1} \phi_i \qquad (2) \)
Efectivamente, como \( M_k^{m_i-1} \subset V_\lambda^{m_i-1} \), de las premisas obtenemos que \( \exists x_j^i \in V_\lambda \phi_i \), luego por definición se tiene que \( x=F_{ij}\left( x_1^i, \cdots, \widehat{x_j^i}, \cdots, x_{m_i}^i \right) \) satisface \( \phi_i \) y al ser \( x \in M_{k+1} \), obtenemos que \( \exists x_j^i \in M_{k+1} \phi_i \).
Lo que hemos ganado ahora es que cada \( M_k \) es numerable pues \( M_0 \) lo es y, de forma inductiva, si \( M_k \) lo es, entonces también lo es \( M_k^{m_i-1} \), luego lo será \( F_{ij}(M_{k)} \) y se obtiene que \( M_{k+1} \) es unión de conjuntos numerables, luego es numerable.
Con todo, definiendo\( \displaystyle M=\bigcup_{k=1}^\infty M_k \)
se tiene que es numerable y que satisface lo deseado pues, fijados \( 1 \leq i \leq n \), \( 1 \leq j \leq m_i \) y dados \( x_1^i, \cdots, \widehat{x_j^i}, \cdots, x_{m_i}^i \in M \), si se cumple que \( \exists x_j^i \phi_i \), como existe algún natural \( k \) tal que \( x_1^i, \cdots, \widehat{x_j^i}, \cdots, x_{m_i}^i \in M_k \), por (2) se cumple que \( \exists x_j^i \in M_{k+1} \phi_i \) y así, concluimos que se cumple que \( \exists x_j^i \in M \phi_i \). \( \quad \blacksquare \)[cerrar]
Lo de imponer en el enunciado que \( M \) no sea vacío es porque me he dado cuenta de que si no, el lema es trivialmente cierto tomando precisamente \( M \) como el conjunto vacío, ¿no?
No soy tan bueno como otros pillando erratas, pero lo veo bien. Te he marcado en rojo una cosa que no encaja.
Y, puestos a ser compactos, ¿no puedes usar las variables de \( \phi_i \) para definir \( F_{ij} \)?
Lo de imponer en el enunciado que \( M \) no sea vacío es porque me he dado cuenta de que si no, el lema es trivialmente cierto tomando precisamente \( M \) como el conjunto vacío, ¿no?
Sí, y porque, como te decía hace un momento en otro hilo, a un modelo decente se le pide siempre por definición que no sea vacío.
Ya he visto lo del teorema de reflexión, y lo veo bien salvo que no sé qué es \( \phi \), ni en el enunciado ni al final de la prueba. Debería ser la conjunción de las \( \phi_i \).
Por otra parte, aunque no se gana nada sustancial, observa que basta probarlo para una única sentencia \( \phi \), porque si vale para una, vale para cualquier número finito, formando la conjunción.
Otra erratilla (solo 3 me parece razonable :laugh:), le faltaba el subíndice "\( i \)" tanto en el enunciado como en la última fórmula. Ya lo he corregido.
Por otra parte, aunque no se gana nada sustancial, observa que basta probarlo para una única sentencia \( \phi \), porque si vale para una, vale para cualquier número finito, formando la conjunción.
Ah, pues no había entendido lo que querías poner. Pensaba que \( \phi \) era la conjunción de las \( \phi_i \), y eso hace que lo que te decía luego no sea cierto:Por otra parte, aunque no se gana nada sustancial, observa que basta probarlo para una única sentencia \( \phi \), porque si vale para una, vale para cualquier número finito, formando la conjunción.
Como comentario al margen, yo escribiría:\( \displaystyle \bigwedge_{i=1}^n (\phi_i \leftrightarrow \phi_ i|_M) \)
Aun así, la prueba (entendiendo ahora lo que quería probar) es igualmente correcta, ¿no?
Al escribir las demotraciones en el otro hilo, me he dado cuenta de que en las demostraciones no pensé en ningún momento que las fórmulas pudieran tener descriptores.
Para el primer lema creo que no afecta a nada, que la demostración si es correcta para fórmulas generales, ¿no?
Pero, para la demostración del principio de reflexión si he supuesto de forma incosciente que no tiene descriptores, porque al comienzo de la demostración donde digo como pueden la sucesión de subfórmulas que construyen \( \phi \) no incluyo fórmulas de la forma \( t_1 = t_2 \) o \( t_1 \in t_2 \) con \( t_1, t_2 \) términos. Si la fórmula no tiene descriptores estos términos solo pueden ser variables y la demostración (para este caso) sigue siendo correcta, ¿no?
¿Cómo se puede extender entonces para fórmulas generales que pueden incluir descriptores?
Se que para cada \( \phi_i \) existe una fórmula equivalente \( \phi_i' \) que no tiene descriptores. Entonces, por lo ya probado tenemos que existe un conjunto numerbale y transitivo \( M \) tal que\( \displaystyle \bigwedge_{i=1}^n (\phi_i' \leftrightarrow \phi_ i'|_M) \)
Como \( \phi_i \leftrightarrow \phi_i' \) de lo anterior se obtiene que\( \displaystyle \bigwedge_{i=1}^n (\phi_i \leftrightarrow \phi_ i'|_M) \)
Pero, ¿cómo concluyo? No veo del todo claro como se puede demostrar que \( \phi_i|_M \leftrightarrow \phi_i'|_M \). ¿Habría que hacerlo por inducción en la longitud de la fórmula y tener en cuenta la forma que toman los \( \phi' \) dados en la demostración del Teorema 3.34 de tu libro de lógica? ¿O es más sencillo que eso?
...pero leyendo lo que me respondiste en el otro post (que, por cierto, se me había olvidado completamente las interpretaciones de teorías, pero cuando me lo estudié en su día estuvimos discutiendo largo y tendido hasta conseguir demostrar una proposición que combinaba las interpretaciones y la sustitución, no se si lo recuerdas)
Sin tener que tocar la prueba demasiado, para probar que si \( \phi \leftrightarrow \phi' \) es un teorema de ZFC, entonces lo es \( \phi|_M \leftrightarrow \phi'|_M \) para cierto \( M \), no podría hacerse lo siguiente (suponiendo el caso solo de una fórmula para escribirlo ahora rápido):
- Por lo visto, existe un conjunto \( M \) que cumple lo deseado para la fórmula \( \phi' \) (sin descriptores) y todos los axiomas de ZFC necesarios para probar el teorema \( \phi \leftrightarrow \phi' \) (todos estos axiomas podemos suponerlos sin descriptores, salvo si se necesita el axioma \( \forall u u \not \in z|z=z \), pero para este se puede probar el teorema muy fácilmente porque la relativización de \( z|z=z \) es el mismo término y se puede "tratar" como trate las variables en mi demostración, ¿no?)
- Ahora, consideramos la teoría \( S \) que tiene por axiomas todos estos que he mencionado antes y la interpretamos en ZFC con la interpretación dada por \( M \).
- Ahora, es un teorema de \( S \) la fórmula \( \phi \leftrightarrow \phi' \), y como son sentencias, se tiene entonces por el Teorema 3.30 de tu libro que \( \phi|_M \leftrightarrow \phi'|_M \) es un teorema de ZFC.
- Con esto, ya se tiene entonces que \( \phi \leftrightarrow \phi' \leftrightarrow \phi'|_M \leftrightarrow \phi|_M \).
Pues sí, tienes razón. Así es más fácil.
A lo más tardar este fin de semana me leo con calma todo lo que habías escrito en el otro hilo y te digo algo, pero a primera vista lo veo bien.
En realidad, la relativización de \( z|z = z \) es \( z|(z\in M\land z = z) \) que es lo mismo que \( z|z\in M \).
Si \( M \) tiene más de un elemento, entonces \( z|z\in M \) es una descripción impropia y coincide con \( \emptyset = (z|z=z)\in M \). Si \( M \) tiene un único elemento, tiene que ser \( M = \{\emptyset\} \) y llegamos a lo mismo, aunque ahora la descripción es propia.
Ahora sí, si no he metido la pata con esto último, creo (y espero) que tengo todos los cimientos formalmente demostrados e intuitivamente entendidos. Ya puedo entrar en materia de forcing propiamente dicha ;D
He hecho un parón bastante grande con el forcing porque he estado liado y de vacaciones a partes iguales :P
Si aplicamos el principio de reflexión a un conjunto finito de axiomas de ZFC, este nos permite afirmar que en ZFC podemos probar la existencia de un modelo para dichos axiomas. Esto podemos hacerlo para cualquier conjunto finito de axiomas, luego por el teorema de compacidad concluimos que ZFC tiene un modelo. Pero entonces, tenemos probada la consistencia de ZFC.
Creo (solo creo) que esto no supone una contradicción con los teoremas de incompletitud de Gödel pues no hemos probado la consistencia de ZFC dentro de ZFC, ¿no? Quiero decir, que el principio de reflexión se aplica a fórmulas metamatemáticas y, por tanto, el teorema de compacidad que estamos empleando en lo anterior es la versión metamatemática, no su formalización dentro de ZFC.
Supongo que, por esto mismo, tampoco es posible tener una versión formal del principio de reflexión como teorema de ZFC. Quiero decir, que no será un teorema de ZFC algo del estilo "para cada fórmula (matemática, formal) de ZFC (formalizado) existe un conjunto \( M \) tal que...", porque si esto fuera así, entonces si podríamos aplicar la versión formalizada del teorema de compacidad y probar la existencia de un modelo de ZFC dentro de ZFC,
¿o me estoy liando y realmente es el mismo juego de antes donde la prueba no se realiza dentro del sistema formal (que es ZFC formalizado) si no en un sistema externo, que en este caso es ZFC? Pero, aunque fuera así, en cierto modo si que se obtendría que en ZFC hemos probado la consistencia de la "formalización de ZFC" ??? ???
Por otra parte, aunque resultara que en cierto modo lo he entendido bien, no deja de causarme cierta confusión e intranquilidad la "prueba" que he planteado de la consistencia de ZFC.
Tengo claro que no puede ser un teorema de ZFC una fórmula como la siguiente:\( \forall \Gamma \left((\Gamma \text{ es finito } \wedge \forall \gamma \in \Gamma\, \gamma \text{ es un axioma de ZFC}) \rightarrow \exists M M \models \Gamma\right) \)
Porque entonces, si que se podría aplicar el teorema de compacidad formalizado en ZFC y, como la fórmula anterior sería el antecendente de este teorema de compacidad, obtendríamos que la formalización de la teoría axiomática ZFC (dentro de ZFC) tiene un modelo, luego es consistente.
Por otra parte, el fallo fundamental en mi "prueba" de que ZFC era consistente ha sido el confundir que en una teoría axiomática se pueda demostrar que existe un modelo para ciertas fórmulas, con que dichas fórmulas tengan realmente un modelo metamatemático, ¿verdad?
Por último, acabo también de caer que es precisamente el principio de reflexión el que garantiza que ZFC no es finitamente axiomatizable, ¿no?
Porque, si hubiera un conjunto finito de fórmulas \( \Gamma \) del lenguaje de la teoría de conjuntos tal que todas son teoremas de ZFC y de modo que de ellas se deducen los teoremas de ZFC, entonces, por el principio de reflexión, es posible probar la existencia de un modelo de la formalización de \( \Gamma \) dentro de ZFC, pero este sería también un modelo de la formalización de ZFC, lo que probaría la consistencia de ZFC dentro de ZFC.
¿Es correcto?