Autor Tema: Acerca del libro de Ivorra y de la noción de continuidad

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29 Noviembre, 2014, 12:16 pm
Respuesta #10

argentinator

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Se puede ser "cuerpo" sin ser "ordenado",
y se puede ser "ordenado" sin ser "cuerpo".

Los "continuos" son conjuntos ordenados, sin necesidad de que haya operaciones definidas en ellos. Ya te puse un ejemplo.

29 Noviembre, 2014, 01:28 pm
Respuesta #11

feriva

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Pero completos respecto al orden , densos  y totalmente ordenados es la formalización (a mi modo de entender lo de no tener huecos) Entonces, no comprendo como en otros post me dices que el único cuerpo ordenado completo es \( \mathbb{R} \), a no ser que la compatibilidad de las operaciones no se cumpla en esos otros continuos, que entonces ya me deja la puerta abierta a que haya más continuos, aunque me gustaría tener un ejemplo para hacerme mejor la idea


Es que la topología no es el análisis, yo no sé casi nada de topología, pero, en topología, un punto “x” de “X” lo mismo puede ser una función que un conjunto o cosas así, es muy abstracto.

A título informativo, la topología es una versión de la geometría pero que no trabaja con cantidades. La topología consiste en las propiedades de las figuras geometrías que permanecen invariantes cuando son dilatadas o contraídas o deformadas de alguna manera; la idea de continuidad, en topología, es relativa a estas transformaciones continuas. La topología no se fija en las cantidades, sino en las cualidades, es una geometría de los lugares, relativamente “moderna” (empieza a nacer con Gauss a partir de algo que entonces se llamaba geometría situs –geometría de la posición–)   que da lugar a nuevos conceptos que se adentran en un nuevo espacio con nuevos tipos de espacios.
 Entonces, no estamos hablando tanto de la idea tradicional de distancias entre puntos de una recta, por ejemplo, sino de la idea de proximidad, de distancias en sentido un tanto abstracto.
Sí que se usa, no obstante, la palabra de distancia, incluso formalmente.
En topología, una distancia sobre un conjunto “X” es una aplicación \(  X\times X  \) donde se consideran dos elementos de ese conjunto: \( (x,y) \). Verifica varias propiedades: la distancia puede ser cero o mayor que cero, la distancia desde “x” a “y” es la misma que desde “y” a “x”, etc. Sin embargo, no siempre se puede determinar una topología mediante una distancia; se tiene que poder definir un espacio métrico.

El concepto de continuidad, al igual que el de distancia, va a asociado a aplicaciones entre espacios topológicos, y esas aplicaciones deben de cumplir unas condiciones (que ya ha puesto ahí Argentinator). Una cosa es la “palabra” continuidad y otra los distintos usos que se le puedan dar, con una misma palabra se puede uno estar refiriendo a cosas distintas, depende de la definición. Por ejemplo, si hablamos de la propiedad de clausura en estructuras algebraicas, estamos queriendo decir que al hacer operaciones, con números o elementos, pertenecientes a un conjunto determinado, la imagen de esas operaciones también son elementos que pertenecen al conjunto origen de las operaciones (existe una de de algo cerrado, clausurado desde ese punto de vista, y por eso se usa esa palabra). Pero esta misma palabra, en topología, tiene otro significado (aunque también esté relacionado con la idea de algo “cerrado”) la clausura es el conjunto de los puntos adherentes respecto de un conjunto;  la clausura de un cierto conjunto, el que sea, es el menor conjunto cerrado que contiene al conjunto; tiene relación con lo que sugiere la palabra en cuanto a su significado coloquial pero, no obstante, se está hablando de algo bastante distinto a lo de antes.
Si yo presiono un globo y lo deformo, puedo decir que sigue siendo un globo o que sigue siendo una pera o que sigue siendo una calabaza... porque  ha adquirido cualquier tipo de forma que le sea posible adquirir mediante una presión; y, desde ese punto de vista, puedo entender que esas formas no son más que un sólo tipo de forma (homeomorfismo, en griego, significa eso, mismo tipo de forma). Esta transformación no es como una traslación, un giro, homotecia... u otro tipo de movimiento de la geometría propiamente dicha,  existe una idea especial de continuidad, los puntos no se “sueltan” unos de otros, y por eso existe esa idea que invita a utilizar la palabra continuidad  (que no es la misma que la que tú tienes en la cabeza al discutir el tema; estáis hablando de cosas diferentes).

29 Noviembre, 2014, 01:32 pm
Respuesta #12

argentinator

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Pero completos respecto al orden , densos  y totalmente ordenados es la formalización (a mi modo de entender lo de no tener huecos) Entonces, no comprendo como en otros post me dices que el único cuerpo ordenado completo es \( \mathbb{R} \), a no ser que la compatibilidad de las operaciones no se cumpla en esos otros continuos, que entonces ya me deja la puerta abierta a que haya más continuos, aunque me gustaría tener un ejemplo para hacerme mejor la idea


Es que la topología no es el análisis, yo no sé casi nada de topología, pero, en topología, un punto “x” de “X” lo mismo puede ser una función que un conjunto o cosas así, es muy abstracto.

A título informativo, la topología es una versión de la geometría pero que no trabaja con cantidades. La topología consiste en las propiedades de las figuras geometrías que permanecen invariantes cuando son dilatadas o contraídas o deformadas de alguna manera; la idea de continuidad, en topología, es relativa a estas transformaciones continuas. La topología no se fija en las cantidades, sino en las cualidades, es una geometría de los lugares, relativamente “moderna” (empieza a nacer con Gauss a partir de algo que entonces se llamaba geometría situs –geometría de la posición–)   que da lugar a nuevos conceptos que se adentran en un nuevo espacio con nuevos tipos de espacios.
 Entonces, no estamos hablando tanto de la idea tradicional de distancias entre puntos de una recta, por ejemplo, sino de la idea de proximidad, de distancias en sentido un tanto abstracto.
Sí que se usa, no obstante, la palabra de distancia, incluso formalmente.
En topología, una distancia sobre un conjunto “X” es una aplicación \(  X\times X  \) donde se consideran dos elementos de ese conjunto: \( (x,y) \). Verifica varias propiedades: la distancia puede ser cero o mayor que cero, la distancia desde “x” a “y” es la misma que desde “y” a “x”, etc. Sin embargo, no siempre se puede determinar una topología mediante una distancia; se tiene que poder definir un espacio métrico.

El concepto de continuidad, al igual que el de distancia, va a asociado a aplicaciones entre espacios topológicos, y esas aplicaciones deben de cumplir unas condiciones (que ya ha puesto ahí Argentinator). Una cosa es la “palabra” continuidad y otra los distintos usos que se le puedan dar, con una misma palabra se puede uno estar refiriendo a cosas distintas, depende de la definición. Por ejemplo, si hablamos de la propiedad de clausura en estructuras algebraicas, estamos queriendo decir que al hacer operaciones, con números o elementos, pertenecientes a un conjunto determinado, la imagen de esas operaciones también son elementos que pertenecen al conjunto origen de las operaciones (existe una de de algo cerrado, clausurado desde ese punto de vista, y por eso se usa esa palabra). Pero esta misma palabra, en topología, tiene otro significado (aunque también esté relacionado con la idea de algo “cerrado”) la clausura es el conjunto de los puntos adherentes respecto de un conjunto;  la clausura de un cierto conjunto, el que sea, es el menor conjunto cerrado que contiene al conjunto; tiene relación con lo que sugiere la palabra en cuanto a su significado coloquial pero, no obstante, se está hablando de algo bastante distinto a lo de antes.
Si yo presiono un globo y lo deformo, puedo decir que sigue siendo un globo o que sigue siendo una pera o que sigue siendo una calabaza... porque  ha adquirido cualquier tipo de forma que le sea posible adquirir mediante una presión; y, desde ese punto de vista, puedo entender que esas formas no son más que un sólo tipo de forma (homeomorfismo, en griego, significa eso, mismo tipo de forma). Esta transformación no es como una traslación, un giro, homotecia... u otro tipo de movimiento de la geometría propiamente dicha,  existe una idea especial de continuidad, los puntos no se “sueltan” unos de otros, y por eso existe esa idea que invita a utilizar la palabra continuidad  (que no es la misma que la que tú tienes en la cabeza al discutir el tema; estáis hablando de cosas diferentes).

Estimado feriva. Eso no es la topología.

Igual no voy a entrar en detalles.

29 Noviembre, 2014, 02:15 pm
Respuesta #13

feriva

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Estimado feriva. Eso no es la topología.

Igual no voy a entrar en detalles.


Si es porque la explicación sería tediosa  y difícil de entender para mí (cosa muy posible) estoy de acuerdo en que no entres en detalles, pero si, dentro de todo eso, hay algo que sea sencillo de explicar y comprender (y si te apetece hacerlo, por supuesto, si no, no) puedes explicar el detalle particular que sea (en ese caso, después de comer, lo leería con atención, que aquí ya son las dos y cuarto).

Saludos.

30 Noviembre, 2014, 01:21 pm
Respuesta #14

Raúl Aparicio Bustillo

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Creo que a pesar de lo que lo hemos alargado, este hilo no responde más que a la cuestión de considerar continuo a cualquier conjunto ordenado denso, o sólo a los que cumplen el axioma del supremo. Es como lo de la función cóncava y convexa, se fija un criterio al principio y usamos todos el mismo, y no hay ningún problema, las matemáticas con un criterio son isomorfas a las matemáticas con el otro criterio.