Hola
Hola, buenas:
No sé como abordar este ejercicio, cualquier indicación o ayuda se los agradezco de antemano.
Sea \( (E, +, \cdot) \) una estructura tal que: \( (E, +) \) es un grupo abeliano y el producto "\( \cdot \)" es asociativo, conmutativo y se distribuye con respecto a la suma. Además, esta estructura cumple con la siguiente propiedad: Existe un único \( u \in E \) tal que \( u + x - ux \neq 0 \) para todo \( x \in E \). Demustre que:
a) \( u \) es el neutro multiplicativo.
Sea \( x \) fijo. Sea \( u'=u+x-ux \). Para cualquier \( y \):
\( u'+y-u'y=u+x-ux+y-uy-xy+uxy=u+(x+y-xy)-u(x+y-xy) \) no nulo por hipótesis
Por tanto \( u' \) cumple la misma propiedad que \( u \). Por la unicidad \( u'=u \):
\( u+x-ux=u\quad \Rightarrow{}\quad ux=x \)
y así \( u \) es el neutro del producto.
b) Para todo \( a\neq u \) existe \( b \) tal que \( (u-a)(u-b)=u \).
Ahora \( u=1. \) Esa igualdad equivale a:
\( a+b-ab=0 \)
Si nunca se cumple quiere decir que para todo \( b \), \( a+b-ab\neq 0 \). Pero entonces \( a=u \) por la unicidad de \( u \).
c) Concluya que \( E \) es un cuerpo.
Lo único que falta ver es que todo elemento \( x\neq 0 \) tiene inverso multiplicativo. Pero tomando \( a=1-x\neq 1 \) por lo anterior existe \( b \) tal que:
\( 1=(1-a)(1-b)=x(1-b) \)
por tanto \( 1-b \) es el inverso de \( x \).
Saludos.
