Autor Tema: Representación funcional dos variables

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21 Abril, 2021, 09:02 pm
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Quema

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Cómo se puede probar que dos variables no pueden ser representadas por una función. Pienso que eso significa que no puede representarse de esta forma. \( y=f(x) \) pues para un valor de \( x \) puede haber más de un valor de \( y \) (ver ejemplo). O de esta forma, si tengo dos funciones \( f(x),g(x) \) cómo puedo saber si tienen algún encontrarse algún tipo de relación funcional entre ellas.



Eso impide llegar a algún tipo de representación matemática.

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21 Abril, 2021, 09:17 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Cómo se puede probar que dos variables no pueden ser representadas por una función. Pienso que eso significa que no puede representarse de esta forma. \( y=f(x) \) pues para un valor de \( x \) puede haber más de un valor de \( y \) (ver ejemplo):



Eso impide llegar a algún tipo de representación matemática.

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Efectivamente en un caso como ese no puede haber representación en el plano válida, es decir, una representación de esa curva como una función \( f: \mathbb{R}\to \mathbb{R} \). Para demostrarlo en este caso es suficiente con ver, dentro de la imagen de la curva, que hay subconjuntos de la misma que son homotópicos a un círculo, y para un círculo dada una dirección cualquiera hay una recta con esa dirección que cortará el círculo en dos puntos, por tanto cualquier orientación que se elija de los ejes cartesianos hace que la curva no pueda ser una función ya que habrá dos valores de ordenada sobre un mismo valor de abscisas.

Sin embargo siempre habrá una función \( g: \mathbb{R}\to \mathbb{R}^2 \) cuya imagen corresponda a ese gráfico, en este caso podemos decir que \( g \) es una parametrización del gráfico en el plano del dibujo adjuntado.

21 Abril, 2021, 09:24 pm
Respuesta #2

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No entendí, lo de la parametrización, me pueden poner un ejemplo, supongo que un círculo es un caso, no?

21 Abril, 2021, 09:41 pm
Respuesta #3

Masacroso

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No entendí, lo de la parametrización, me pueden poner un ejemplo, supongo que un círculo es un caso, no?

Una función es una relación entre dos conjuntos, como \( \mathbb{R}^2 \) y \( \mathbb{R} \) tienen la misma cardinalidad entonces para cualquier subconjunto \( X \) de \( \mathbb{R}^2 \) siempre habrá una función \( f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}^2 \) cuya imagen sea \( X \).

En el caso del círculo de radio uno una parametrización es la función \( \varphi :[0,2\pi)\to \mathbb{R}^2,\, t\mapsto (\cos t, \sin t) \)

22 Abril, 2021, 02:56 pm
Respuesta #4

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En el caso concreto que puse eso se llama la curva de Laffer, que trata de relacionar la recaudación impositiva (eje ordenadas) con la alícuota (tasa) del impuesto (eje abscisas). Laffer intuyó que esa relación era tipo parábola, partiendo de cero (pues si la tasa del impuesto es 0%) la recaudación sería 0, y si la tasa es de un 100% (entonces también la recaudación sería cero), piensen si los impuestos al trabajo fueran 100% entonces nadie querría trabajar gratis, esa es la lógica de éste último caso. Es decir, Laffer dijo que la relación era:

\( R(t)=at^2-a \) con \( a<0 \), siendo \( t \) la tasa del impuesto. Pero la evidencia empírica mostró que el gráfico es parecido al anterior.

Qué puede estar pasando?

22 Abril, 2021, 04:48 pm
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

En el caso concreto que puse eso se llama la curva de Laffer, que trata de relacionar la recaudación impositiva (eje ordenadas) con la alícuota (tasa) del impuesto (eje abscisas). Laffer intuyó que esa relación era tipo parábola, partiendo de cero (pues si la tasa del impuesto es 0%) la recaudación sería 0, y si la tasa es de un 100% (entonces también la recaudación sería cero), piensen si los impuestos al trabajo fueran 100% entonces nadie querría trabajar gratis, esa es la lógica de éste último caso. Es decir, Laffer dijo que la relación era:

\( R(t)=at^2-a \) con \( a<0 \), siendo \( t \) la tasa del impuesto. Pero la evidencia empírica mostró que el gráfico es parecido al anterior.

Qué puede estar pasando?

¿Pero estamos hablando en serio del "garabato" del gráfico anterior?  :o :o :o ¿no será que Laffer le dejó el lápiz a su hijo de dos años en el momento más inoportuno?.

En serio, ¿es ese caos el gráfico del que hablas?.

Saludos.

22 Abril, 2021, 10:16 pm
Respuesta #6

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No, Gardner el de los juegos matemáticos hizo ese garabato.



23 Abril, 2021, 11:00 am
Respuesta #7

Luis Fuentes

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Hola

No, Gardner el de los juegos matemáticos hizo ese garabato.



Pero no se muy bien que se puede sacar de ahí, más que la relación entre recaudación e impuesto es más compleja de lo que esperaba. Prenteder hacer encontrar una relación sólida, requeriría una muestra importante de datos para ver si tal relación es razonable o tiene visos de caótica.

Saludos.

23 Abril, 2021, 11:25 am
Respuesta #8

geómetracat

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Es habitual que las regresiones y los ajustes de curvas en economía o en ciencias sociales sean bastante malos (porque suele haber pocos datos, no tomados en condiciones controladas y además muchos factores que intervienen difíciles de controlar), pero ese gráfico no hay por dónde cogerlo.

Ni la curva gris que pasa por todos los países tiene ningún sentido (porque está haciendo "overfitting", es decir ajustándose al ruido que pueda haber) ni la verde tiene ningún sentido (porque solamente pasa por Noruega, que encima claramente es un outlier). Habría que mirar en todo caso la curva cuadrática que mejor se ajuste por mínimos cuadrados, probablemente quitando el outlier Noruega.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

23 Abril, 2021, 12:42 pm
Respuesta #9

Masacroso

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Como dice geómetracat, si se tiene una familia de curvas teóricas y unos datos a lo sumo lo que se puede hacer es buscar la curva que mejor se ajusta ignorando los casos que se puedan justificar como extremos como el de Noruega. Igualmente en el caso de la recaudación intervienen muchísimos factores que nada o poco tienen que ver con el modelo teórico planteado.

Un chiste muy bueno sobre economistas (que me contó un economista amigo mío hace ya muchos años) dice así:

Un físico, un químico y un economista se encuentran perdidos en una pequeña isla, después de que el barco en el que viajaban naufragase. No hay ningún tipo de recurso en la isla, y lo único con lo que cuentan es con una lata de conservas, que la marea arrastró a la orilla. Los tres están desesperados por acceder al contenido de la lata. Cada uno comienza a proponer ideas para poder abrir la lata. El físico propone: “... teniendo en cuenta la posición del sol y la sombra que proyecta esta palmera podemos concluir que su altura es de x metros; si accedemos a los más alto de ella y lanzamos con fuerza la lata contra esta roca, podremos acceder sin problema al contenido...”; el químico dice: “... teniendo en cuenta el índice de salinidad de las aguas de la zona y la proyección de los rayos solares sobre la superficie, si colocamos la lata bajo el agua durante x tiempo, la corrosión debilitará la lata y...”; el economista, tras haber escuchado a sus compañeros de aventura, dice: “... supongamos que tenemos un abrelatas”.