Autor Tema: El problema de la vaca que pasta

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

14 Abril, 2021, 10:51 pm
Leído 956 veces

NoelAlmunia

  • $$\Large \color{#6a84c0}\pi$$
  • Mensajes: 37
  • País: cu
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Una vaca está atada a un silo con radio r por una cuerda lo suficientemente larga para alcanzar exactamente el punto diametralmente opuesto del silo.

Encuentre el área disponible para el apacentamiento de la vaca.




14 Abril, 2021, 10:54 pm
Respuesta #1

sugata

  • $$\Large \color{#9c57a6}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 3,070
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Esto está mal. Por eso puse el creo final. No estaba muy seguro.

El área donde se puede mover la vaca es una circunferencia de radio el semiperimetro del silo. A este area hay que quitarle el área del silo.
Creo....

14 Abril, 2021, 11:05 pm
Respuesta #2

NoelAlmunia

  • $$\Large \color{#6a84c0}\pi$$
  • Mensajes: 37
  • País: cu
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
El área donde se puede mover la vaca es una circunferencia de radio el semiperimetro del silo. A este area hay que quitarle el área del silo.
Creo....

 :banghead: Revisa bien, el área máxima está definida por una trayectoria que describe la vaca al moverse manteniendo la cuerda tensa en todo momento. Al ir moviendose con la cuerda tensa, en sentido antihorario, esta cuerda permanece tangente a la superficie del silo. Entonces, hasta cierto punto de la trayectoria, no es una semicircunferencia.

14 Abril, 2021, 11:20 pm
Respuesta #3

robinlambada

  • Moderador Global
  • Mensajes: 3,806
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola.
Una idea.
Toma origen de referencia el centro del la circunferencia que es el silo.

Para hallar el punto de máximo alejamiento de la vaca, se entiende que la cuerda debe estar tensa y tangente a la circunferencia del silo.

Por tanto, al punto de tangencia de la cuerda con la circunferencia silo, que en paramétricas es \( (r cos \theta, rsen \theta ) \) , debes sumarle la longitud de la cuerda desplegada,( que es un arco de circunferencia según el ángulo en el punto de tangencia), al estar la cuerda tensa y ser tangente a la circunferencia es perpendicular al radio.

Al punto de tangencia le sumas el vector: \( r\cdot{}\theta(sen \theta,-cos \theta) \)

Por tanto la curva descrita por la vaca en su extensión máxima entre \( \theta \in{}[-\pi,\pi] \)

Es: \( (x,y)=(r cos \theta, rsen \theta)+r\cdot{}\theta(sen \theta,-cos \theta) \) , recuerda restarle el área del silo al área de la curva


Y para  el resto tienes un semicírculo.

Saludos.

P.D.:Si tengo tiempo te pongo un dibujo.

Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

14 Abril, 2021, 11:29 pm
Respuesta #4

robinlambada

  • Moderador Global
  • Mensajes: 3,806
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
También por simetría respecto al eje de abscisas, puedes calcular el área desde \( \theta \in{}[0,\pi] \) y multiplicarla por 2.

Saludos.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

14 Abril, 2021, 11:55 pm
Respuesta #5

robinlambada

  • Moderador Global
  • Mensajes: 3,806
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

15 Abril, 2021, 03:24 am
Respuesta #6

Richard R Richard

  • Ingeniero Industrial
  • $$\Large \color{#c88359}\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 608
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Oh Oh!!! me contestó... y ahora qué le digo...


Al punto de tangencia le sumas el vector: \( r\cdot{}\theta(sen \theta,-cos \theta) \)



Hola robinlambada, o bien no entendi como lo hiciste, o entiendo que la longitud de soga restante , que es la longitud del vector a sumar es  \( (\pi R-R\theta) \)


por lo que la posicion en funcion del angulo me quedaría


\( (x,y)=(R\cos\theta-(\pi R-R\theta)\sin\theta\, ,\,R\sin\theta+(\pi R-R\theta)\cos\theta) \)


quizá escogí otra forma de resolverlo, y estemos llegando lo mismo.


igualmente eso da la figura de la curva, pero el área que pasta la vaca es la integral de la longitud recta de la soga por cada diferencial de angulo...


osea un semicírculo más 2 veces el área entre la curva superior  y el semicírculo del silo


osea \( A=\pi\dfrac{(\pi R)^2}2+2\displaystyle\int_0^{\pi} (\pi R-R\theta) R \,d\theta \)

el último \( R \) sale de la conversión jacobiana de las polares

\( A=\pi^2 R^2 \dfrac{\pi}{2}+2R^2(\pi^2-\dfrac{\pi^2}{2})=\pi^2 R^2(\dfrac{\pi}{2}+1) \)
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

15 Abril, 2021, 08:15 am
Respuesta #7

Masacroso

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,605
  • País: es
  • Karma: +0/-0
Una semicircunferencia de radio \( r \) puede parametrizarse como

\( \displaystyle{
f:[0,\pi]\to \mathbb{C},\quad \alpha \mapsto re^{i \alpha }
} \)

Y el vector tangente a la curva en cada punto viene dado por \( f'(\alpha )=ire^{i\alpha } \), por tanto la curva de la soga en contacto con la semicircunferencia viene dada por \( g(\alpha ):=re^{i\alpha }(1+(\pi-\alpha )i) \).
esto no estaba bien
Integrando nos quedaría que el área de medio trayecto de la cuerda (que engloba el área del silo) sería

\( \displaystyle{
A_1=2\cdot \frac12\int_{0}^{\pi}|g(\alpha )|^2\mathop{}\!d \alpha =r^2 \int_{0}^{\pi}(1+(\pi-\alpha )^2)\mathop{}\!d \alpha =r^2\left(\pi+\frac{\pi^3}{3}\right)
} \)

A lo anterior queda añadirle el área de medio círculo de radio \( \pi r \), que es \( \pi^3 r^2/2 \), y a todo eso restarle el área del silo que es \( \pi r^2 \), por tanto el área total sería \( 5\pi^3 r^2/6 \) (si no hay ningún error, claro).
[cerrar]

Corrección: lo anterior creo que está mal, ya que he utilizado erróneamente la integral de área. El caso es que la fórmula \( \int_{A}r\mathop{}\!d r\mathop{}\!d \alpha =\int_{\partial A}\frac{r^2}{2}\mathop{}\!d \alpha  \) describe el área de un sector de un ángulo a otro, sin embargo la función que he descrito por \( g \) no representa el área de un sector ya que el ángulo \( \alpha  \) no representa el ángulo real del vector \( g(\alpha ) \). Tengo que revisar lo de arriba.

Actualización: si \( z=g(\alpha ) \) entonces \( \arg(z )=\alpha +\arctan(\pi-\alpha ) \), por tanto si \( \beta:=\arg (z) \) tenemos que

\( \displaystyle{
\mathop{}\!d \beta =\mathop{}\!d \alpha -\frac1{1+(\pi-\alpha )^2}\mathop{}\!d \alpha
} \)

Por tanto

\( \displaystyle{
A_1=\int_{g([0,\pi])}|z|^2\mathop{}\!d \beta =\int_{0}^{\pi}|g(\alpha )|^2\left(1-\frac1{1+(\pi-\alpha )^2}\right)\mathop{}\!d \alpha =r^2\int_{0}^{\pi}(\pi-\alpha )^2\mathop{}\!d \alpha =r^2\frac{\pi^3}{3}
} \)

Ahí \( A_1 \) sería el doble del área sectorial definida por la curva \( g \), nos falta el área de medio círculo de radio \( \pi r \) y dos triángulos de área cada uno \( \pi r^2/2 \) (son las áreas de los puntos comprendidos en el triángulo de vértices \( 0,r, g(0) \)), y a todo eso le restamos el área del silo que es \( \pi r^2 \), por lo tanto el resultado final es el mismo: \( 5\pi ^3r^2/6 \), suponiendo que el cálculo esté (ahora sí) correcto.

15 Abril, 2021, 10:45 am
Respuesta #8

feriva

  • $$\Large \color{#a53f54}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 9,657
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Según el dibujo de Robin, y si estoy entendiendo bien, sería el área de un cardioide.

Yo no sabía cómo se hallaba el área de un cardioide, pero lo he visto en este vídeo:


Saludos.

15 Abril, 2021, 11:08 am
Respuesta #9

sugata

  • $$\Large \color{#9c57a6}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 3,070
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
El área donde se puede mover la vaca es una circunferencia de radio el semiperimetro del silo. A este area hay que quitarle el área del silo.
Creo....

 :banghead: Revisa bien, el área máxima está definida por una trayectoria que describe la vaca al moverse manteniendo la cuerda tensa en todo momento. Al ir moviendose con la cuerda tensa, en sentido antihorario, esta cuerda permanece tangente a la superficie del silo. Entonces, hasta cierto punto de la trayectoria, no es una semicircunferencia.

Toda la razón. Editado.