A ver, ya más o menos me aclaro con lo que has escrito. Con \( \mathbf{v}_0:=(x_0,y_0,z_0) \) tenemos que \( D_z F(\mathbf{v}_0)=c \) para algún \( c>0 \). Como \( D_zF \) es continua entonces para cualquier \( \epsilon >0 \) que elijamos, existe un \( a >0 \) tal que \( |D_z F(\mathbf v)-c|<\epsilon \) para todo \( \mathbf v\in \mathbb B (\mathbf{v}_0,a ) \), por tanto \( D_z F(\mathbf v)>c-\epsilon \).
Si \( F(\mathbf{v}_0)=0 \) entonces efectivamente tenemos que
\( \displaystyle{
\begin{align*}
F(\mathbf v)&= F(x,y,z)\\
&=(F(x,y,z)-F(x_0,y_0,z))+(F(x_0,y_0,z)-F(x_0,y_0,z_0))\\
&=D_{(x,y)} F(\theta (x,y)+(1-\theta)(x_0,y_0),z)\cdot (x-x_0,y-y_0)+D_z F(x_0,y_0,\phi z+(1-\phi)z_0)\cdot (z-z_0)
\end{align*}\tag1
} \)
para algún par de \( \theta,\phi\in(0,1) \).
Ahora bien, la derivada \( D_{(x,y)} F \) es continua y por tanto está acotada (con la norma correspondiente) en cualquier bola cerrada (u otro conjunto compacto) que tomemos, el autor toma una cota \( M \) para ambas derivadas \( D_{(x,y)}F,\, D_zF \) en la región \( \mathbb B (\mathbf{v}_0,a) \).
Tomando un \( \epsilon \) arriba suficientemente pequeño podemos definir \( b:=c-\epsilon \) y tener que \( b>0 \), entonces a partir de ahí el autor construye un \( \delta >0 \) tal que
\( \displaystyle{
|D_{(x,y)} F(\theta (x,y)+(1-\theta)(x_0,y_0),z)\cdot (x-x_0,y-y_0)|<M\delta <ba_0
}\tag2 \)
si \( \|(x-x_0,y-y_0)\|<\delta \). También tenemos que
\( \displaystyle{
|D_z F(x_0,y_0,\phi z+(1-\phi)z_0)\cdot (z-z_0)|>b|z-z_0|\tag3
} \)
Entonces si \( |z-z_0|\geqslant a_0 \) de (2) y de (3) tenemos que
\( \displaystyle{
|D_{(x,y)} F(\theta (x,y)+(1-\theta)(x_0,y_0),z)\cdot (x-x_0,y-y_0)|<|D_z F(x_0,y_0,\phi z+(1-\phi)z_0)\cdot (z-z_0)| \tag4
} \)
Por tanto el signo de \( D_z F(x_0,y_0,\phi z+(1-\phi)z_0)\cdot (z-z_0) \) determina el signo de \( F(x,y,z) \) cuando \( \|(x-x_0,y-y_0)\|<\delta \) y \( |z-z_0|\geqslant a_0 \) (para \( (x,y,z)\in \mathbb B (\mathbf{v}_0,a) \), recordemos que todo esto es dentro de la región \( \mathbb B (\mathbf{v}_0,a) \)).
