Autor Tema: Ejercicio serie de funciones

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01 Abril, 2021, 06:20 pm
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Asdfgh

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Para cada \( n\in \mathbb{N} \) sea \( f_n:]-1,1[ \to \mathbb{R} \) la función definida por \[ f_n(x)=\frac{x^n}{1-x^n} \quad \forall \ x \in ]-1,1[ \]

Necesito demostrar que la serie \( \sum_{n\geq 1} f_n \) converge absolutamente en \( ]-1,1[ \) y uniformemente en todo compacto \( K \subset ]-1,1[ \), pero no converge uniformemente en \( ]-1,1[ \)

Mi razonamiento es que tengo que calcular el radio e intervalo de convergencia de la serie de potencias \( f_n \) y una vez que sé eso si pruebo que el intervalo de convergencia es \( ]-1,1[ \) sabré que la serie converge uniformemente en todo compacto \( K \subset ]-1,1[ \) y absolutamente en \( ]-1,1[ \) .

Y para probar que no converge uniformemente en \( ]-1,1[ \) probar que el término general de la serie no converge a cero en \( ]-1,1[ \).

Más o menos intuyo que eso es lo que tengo que hacer, pero no sé como hacerlo, cualquier ayuda la agradezco.

Un saludo,

01 Abril, 2021, 06:48 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Para cada \( n\in \mathbb{N} \) sea \( f_n:]-1,1[ \to \mathbb{R} \) la función definida por \[ f_n(x)=\frac{x^n}{1-x^n} \quad \forall \ x \in ]-1,1[ \]

Necesito demostrar que la serie \( \sum_{n\geq 1} f_n \) converge absolutamente en \( ]-1,1[ \) y uniformemente en todo compacto \( K \subset ]-1,1[ \), pero no converge uniformemente en \( ]-1,1[ \)

Mi razonamiento es que tengo que calcular el radio e intervalo de convergencia de la serie de potencias \( f_n \)

Pero ojo, porque esta no es una serie de potencias.

Para la convergencia absoluta ten en cuenta que fijado \( x \) con \( |x|<1 \) tienes:

\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}\dfrac{|x|^n}{1-x^n}\leq \color{red}\dfrac{1}{1-|x|}\color{black}\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}|x|^n<+\infty \)

(donde la convergencia de \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}|x|^n \) la conocemos por ser una serie geométrica con razón de módulo menor que \( 1 \))

Para la convergencia uniforme en un compacto, ten en cuenta que todo compacto \( K\subset (-1,1) \) está contenido en un intervalo cerrado y acotado \( [-\epsilon,\epsilon]\subset (-1,1) \).

Por tanto para todo \( x\in K\subset [-\epsilon,\epsilon]\subset (-1,1) \):

\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}\dfrac{|x|^n}{1-x^n}\leq \color{red}\dfrac{1}{1-\epsilon}\color{black}\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}|\epsilon|^n<+\infty \)

Por el criterio mayorante de Weierstrass tienes la convergencia uniforme en \( K \).

Para la no convergencia uniforme en \( (1,-1) \) si llamas \( s_n=\displaystyle\sum_{i=1}^n{}f_n \) ten en cuenta que para \( n>m \):

\( |s_n(x)-s_m(x)|>\dfrac{x^n}{1-x^n} \) si \( x>0 \)

y ese cociente tiende a infinito cuando \( x\to 1^- \).

Por tanto:

\( \displaystyle \sup_{x\in(-1,1)}|s_n(x)-s_m(x)|=\infty \)

Saludos.

CORREGIDO

08 Abril, 2021, 11:48 pm
Respuesta #2

Asdfgh

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Gracias por la resolución, pero no me suena de nada el criterio del mayorante de Weiersetrass.

Creo que lo hemos llamado Test de Weierstrass, es lo mismo no?

Además no veo clara la desigualdad que utilizas entre las series para probar la convergencia absoluta,
es cierta siempre?

Y para probar que no converge uniformemente en \( (-1,1) \) hemos visto un criterio
que es viendo que el termino general de la serie no converge a cero uniformemente en \( (-1,1) \),
alguna idea de como probarlo de esa forma?

Gracias.

09 Abril, 2021, 04:37 pm
Respuesta #3

Asdfgh

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Buenas tardes.

Cómo podría probar que la siguiente sucesión de funciones no converge uniformemente a cero en el intervalo \( (-1,1) \)?

Sea \( n\in \mathbb{N} \) y queremos estudiar la sucesión \( \{f_n\} \) donde \( f_n=\frac{x^n}{1-x^n} \ \forall \ x \in (-1,1) \)

Lo necesito para otro ejercicio en el que tengo que ver que la serie de funciones con \( f_n \) no converge uniformemente, y al proceder
por el contrarrecíproco, necesito probar que el término general no converge uniformemente a cero, lo cual es lo que estoy preguntando.

Gracias por vuestra ayuda.

09 Abril, 2021, 05:40 pm
Respuesta #4

Juan Pablo Sancho

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Esto deberías preguntarlo en el hilo de la serie, pero con lo que puso Luis está demostrado que no converge uniformemente.
Toma \( x_n = 1-\dfrac{1}{n}  \)  y analiza \( f_n(x_n) \)

09 Abril, 2021, 05:42 pm
Respuesta #5

Asdfgh

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Vale gracias, tienes razón.

Esa forma de proceder me cuadra más con los ejemplos que he dado en clase.

09 Abril, 2021, 05:50 pm
Respuesta #6

Luis Fuentes

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Hola

Gracias por la resolución, pero no me suena de nada el criterio del mayorante de Weiersetrass.

Creo que lo hemos llamado Test de Weierstrass, es lo mismo no?

Si. Pero el nombre del criterio es lo de menos. ¿Tienes alguno enunciado que puedas aplicar como te he indicado?.

Citar
Además no veo clara la desigualdad que utilizas entre las series para probar la convergencia absoluta,
es cierta siempre?

No entiendo bien la pregunta; es una desigualdad concreta para esa sucesión.

Citar
Y para probar que no converge uniformemente en \( (-1,1) \) hemos visto un criterio
que es viendo que el termino general de la serie no converge a cero uniformemente en \( (-1,1) \),
alguna idea de como probarlo de esa forma?

Considera la sucesión \( x_n=\sqrt[n]{1/2} \) y comprueba que \( x_n\in (-1,1) \), \( x_n\to 1 \) pero \( f_n(x_n)=1 \) constante.

Saludos.

P.D. He combinado los dos temas. En lo sucesivo para preguntar sobre un mismo ejercicio no abras un nuevo hilo.

09 Abril, 2021, 06:00 pm
Respuesta #7

Asdfgh

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Respecto a la desigualdad, yo he hecho esto, a mí al menos me queda más claro,
pero gracias por indicarme la idea de la serie geométrica.

Demostraremos que la serie  converge absolutamente en \( ]-1,1[ \):

Sea \( \left |{x}\right |<1 \), tenemos que \( 1-\left |{x}\right | \leq 1-\left |{x}\right |^n \leq \left |{1-x^n}\right | \), con esto podemos aplicar el criterio de comparación para series sabiendo que: \[ \sum_{n\geq 1} \left |{\frac{x^n}{1-x^n}}\right | = \sum_{n\geq 1} \frac{\left |{x}\right |^n}{\left |{1-x^n}\right |} \leq \frac{1}{1-\left |{x}\right |}\sum_{n\geq 1} \left |{x}\right |^n \]

Como la serie \( \displaystyle \sum_{n\geq 1} \left |{x}\right |^n \) converge por ser una serie geométrica de razón módulo menor que 1, entonces \( \displaystyle \sum_{n\geq 1} \left |{\frac{x^n}{1-x^n}}\right | \) también converge y por tanto la serie converge absolutamente en \( ]-1,1[ \).

Para demostrar que no converge uniformemente utilizando una sucesión, supongo que puedo proceder con cualquiera de las dos que me habeis aportado no? En cuanto a la convergencia puntual de la sucesión entiendo que es 0?

09 Abril, 2021, 06:04 pm
Respuesta #8

Luis Fuentes

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Hola

Respecto a la desigualdad, yo he hecho esto, a mí al menos me queda más claro,
pero gracias por indicarme la idea de la serie geométrica.

Demostraremos que la serie  converge absolutamente en \( ]-1,1[ \):

Sea \( \left |{x}\right |<1 \), tenemos que \( 1-\left |{x}\right | \leq 1-\left |{x}\right |^n \leq \left |{1-x^n}\right | \), con esto podemos aplicar el criterio de comparación para series sabiendo que: \[ \sum_{n\geq 1} \left |{\frac{x^n}{1-x^n}}\right | = \sum_{n\geq 1} \frac{\left |{x}\right |^n}{\left |{1-x^n}\right |} \leq \frac{1}{1-\left |{x}\right |}\sum_{n\geq 1} \left |{x}\right |^n \]

Como la serie \( \displaystyle \sum_{n\geq 1} \left |{x}\right |^n \) converge por ser una serie geométrica de razón módulo menor que 1, entonces \( \displaystyle \sum_{n\geq 1} \left |{\frac{x^n}{1-x^n}}\right | \) también converge y por tanto la serie converge absolutamente en \( ]-1,1[ \).

Es que de hecho mi acotación estaba mal hecha. ¡Lo siento!.  :P

Lo he corregido y también la del criterio de Weierstrass.

Citar
Para demostrar que no converge uniformemente utilizando una sucesión, supongo que puedo proceder con cualquiera de las dos que me habeis aportado no?

Si.

Citar
En cuanto a la convergencia puntual de la sucesión entiendo que es 0?

Si, de la sucesión, no  de la serie.

Saludos.

09 Abril, 2021, 06:35 pm
Respuesta #9

Asdfgh

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Tomando \( x_n=\sqrt[n]{\frac{1}{2}} \) para \( n\geq m \). Tenemos que \( x_n \in ]-1,1[ \) para todo \( n\in \mathbb{N} \), concluiremos que no hay convergencia uniforme en el intervalo \( ]-1,1[ \) si probamos que \( \{f_n(x_n)\}\nrightarrow 0 \).
   
Evaluando la función en \( x_n  \)entonces \[ f_n\left(\sqrt[n]{\frac{1}{2}}\right)=\frac{\frac{1}{2}}{1-\left(1-\frac{1}{2}\right)}=1 \]
   
Por tanto nuestra sucesión \( \{f_n(x_n)\}\to 1 \) (converge a la función constante 1).
   
Como \( \{f_n(x_n)\}\nrightarrow 0 \) entonces \( \{f_n\}  \) no converge uniformemente a cero en el intervalo \( ]-1,1[ \)

Ni idea de probar de forma rigurosa que \( x_n \in ]-1,1[ \), tengo que calcular el límite o algo?