Autor Tema: Ejercicio serie de potencias

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01 Abril, 2021, 06:03 pm
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Asdfgh

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Buenas tardes necesito ayuda con el siguiente ejercicio:

Necesito estudiar la convergencia puntual, absoluta y uniforme de la serie siguiente \[ \sum_{n\geq 0} \frac{x^n}{\log (n+2)} \],
es una serie de potencias así que supongo que tendré que discutir la convergencia según su radio de convergencia.

Con que me ayudéis con el resultado, luego la discusión y redacción de la respuesta la haré yo con la teoría que tengo de clase.

Gracias de antemano.

01 Abril, 2021, 06:17 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Buenas tardes necesito ayuda con el siguiente ejercicio:

Necesito estudiar la convergencia puntual, absoluta y uniforme de la serie siguiente \[ \sum_{n\geq 0} \frac{x^n}{\log (n+2)} \],
es una serie de potencias así que supongo que tendré que discutir la convergencia según su radio de convergencia.

Con que me ayudéis con el resultado, luego la discusión y redacción de la respuesta la haré yo con la teoría que tengo de clase.

¿Pero si pretendes discutirlo tu y tienes la teoría al respecto, no sería mejor que lo intentases y expusieses tus conclusiones?.

Spoiler
Comprueba que el radio de convergencia es \( 1 \). Para \( x=1 \) diverge y para \( x=-1 \) converge.
[cerrar]

Saludos.

01 Abril, 2021, 06:23 pm
Respuesta #2

Asdfgh

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Gracias, he puesto otra entrada en el foro discutiendo otro ejercicio del que tengo dudas y he discutido más o menos lo que sé, lo que pasa que siempre tengo problemas para calcular el radio de convergencia y el intervalo de convergencia y discutir por qué es así.

Gracias por el spoiler. Intentaré discutirlo con eso.

Si necesito ayuda extra la solicitaré de nuevo.

08 Abril, 2021, 08:40 pm
Respuesta #3

Asdfgh

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Ya he seguido pero tengo dudas de la siguiente parte:

Tenemos una serie de potencias centrada en el origen cuyos coeficientes son \[ \left |{a_n}\right |=a_n=\frac{1}{\log(n+2)} \quad \forall \ n\in \mathbb{N} \cup \{0\} \]

Primero calcularemos el radio de convergencia que nos ofrecerá información importante sobre la serie de potencias, procedemos:

Aplicando el criterio de la raíz, que nos dice que si el límite de \( \frac{\left |{a_{n+1}}\right |}{\left |{a_n}\right |} \) converge a \( L \) entonces el límite de \( \sqrt[n]{\left |{a_n}\right |} \) convergerá a lo mismo.
\[ \frac{\left |{a_{n+1}}\right |}{\left |{a_n}\right |}=\frac{\log(n+2)}{\log(n+3)} \]
Tomando límite, tenemos: \[ \lim_{n\to \infty}\frac{\log(n+2)}{\log(n+3)}\stackrel{L'H}{=} \lim_{n\to \infty} \frac{n+3}{n+2}=1 \Longrightarrow \lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{\left |{a_n}\right |}=1 \]


Por tanto, tenemos que el radio de convergencia \( R=1 \) y sabemos que la serie \( \displaystyle \sum_{n\geq 0} \frac{x^n}{\log(n+2)} \):

  • Converge absolutamente en \( ]-1,1[ \).
  • Converge uniformemente en cada compacto \( K \subset ]-1,1[ \).
  • No converge en ningún punto de \( \mathbb{R} \ \setminus \ [-1,1] \)

Nos faltaría ver si la serie converge en los puntos \( 1 \) y \( -1 \).

No sé como decir que en 1 diverge, ya que el criterio del cociente (que es el que podría aplicar) me da 1 y con eso no puedo sacar conclusiones.

También tendría que decir si la serie converge uniformemente en -1 y 1, pero no sé como hacerlo. Quizás a partir de saber que no converge absolutamente?

Gracias por su ayuda.

08 Abril, 2021, 08:56 pm
Respuesta #4

Juan Pablo Sancho

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\( \log(n+2) < n+2  \) entonces \( \dfrac{1}{n+2} < \dfrac{1}{\log(n+2)}  \)

08 Abril, 2021, 08:57 pm
Respuesta #5

Asdfgh

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No entiendo, lo podrías formalizar un poco más?

Usas el criterio por comparación?

08 Abril, 2021, 09:01 pm
Respuesta #6

Juan Pablo Sancho

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Quieres ver la divergencia de:
\( \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{\log(n+2)}  \)
Con lo que te he puesto:
\( \displaystyle \sum_{n=1}^m \dfrac{1}{n+2} < \sum_{n=1}^m \dfrac{1}{\log(n+2)}  \)

08 Abril, 2021, 11:13 pm
Respuesta #7

Asdfgh

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Vale pues entonces ya solo faltaría probar si hay convergencia uniforme en el intervalo \( [-1,1[ \) verdad?

09 Abril, 2021, 06:30 pm
Respuesta #8

Luis Fuentes

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Hola

Vale pues entonces ya solo faltaría probar si hay convergencia uniforme en el intervalo \( [-1,1[ \) verdad?

No puede haber convergencia uniforme; si una sucesión de funciones continuas definidas en un conjunto \( X \) converge uniformemente en \( A\subset X \) entonces también converge uniformemente en su clausura.

Pero en este caso sabemos que no converge en \( x=1 \).

Saludos.