Autor Tema: Ejercicio circulación

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27 Febrero, 2021, 10:37 pm
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SM

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Hola! Tengo una duda con este ejercicio.
Se considera una función \( g:\Bbb R^2\to \Bbb R \) de clase \( C^2(\Bbb R) \) y sea el campo
\( \vec F(x,y,z)=\left(\dfrac{\partial g}{\partial x}(x,z)-cos(x^3),0,2x+5y+\dfrac{\partial g}{\partial z}(x,z)+sin(z^3)\right) \)

Calcule la circulación del campo \( \vec F \) a lo largo de la curva \( C=x^2+y^2+z^2=100,\quad 𝑦 = 6 \)
orientada de manera tal que su vector tangente en el punto \( (8,6,0) \) tenga coordenada \( z \) negativa.

Lo resolví por teorema del rotor. El rotor me quedo \( (5,-2,0) \), tome normal \( (0,1,0) \) y el resultado fue \( -128\pi \)
Cuando me corrigieron el ejercicio me dijeron que el resultado estaba bien, pero que el vector normal no respetaba lo pedido. La verdad es que la ultima parte del enunciado no me había quedado muy clara, pensé que el rotor tenia coordenada \( z=0 \) y como no podía ser negativa ya estaba.

¿Cómo quedaría entonces? ¿Qué el normal tenga coordenada \( z \) negativa, por ejemplo \( (0,1,-1) \) y nada más?

28 Febrero, 2021, 08:22 am
Respuesta #1

robinlambada

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Hola! Tengo una duda con este ejercicio.
Se considera una función \( g:\Bbb R^2\to \Bbb R \) de clase \( C^2(\Bbb R) \) y sea el campo
\( \vec F(x,y,z)=\left(\dfrac{\partial g}{\partial x}(x,z)-cos(x^3),0,2x+5y+\dfrac{\partial g}{\partial z}(x,z)+sin(z^3)\right) \)

Calcule la circulación del campo \( \vec F \) a lo largo de la curva \( C=x^2+y^2+z^2=100,\quad 𝑦 = 6 \)
orientada de manera tal que su vector tangente en el punto \( (8,6,0) \) tenga coordenada \( z \) negativa.

Lo resolví por teorema del rotor. El rotor me quedo \( (5,-2,0) \), tome normal \( (0,1,0) \) y el resultado fue \( -128\pi \)
Cuando me corrigieron el ejercicio me dijeron que el resultado estaba bien, pero que el vector normal no respetaba lo pedido. La verdad es que la ultima parte del enunciado no me había quedado muy clara, pensé que el rotor tenia coordenada \( z=0 \) y como no podía ser negativa ya estaba.

¿Cómo quedaría entonces? ¿Qué el normal tenga coordenada \( z \) negativa, por ejemplo \( (0,1,-1) \) y nada más?
Hola, lo que te quieren decir con que la tangente en  \( (8,6,0) \)  tiene componente z negativa, es el sentido en el que se recorre la curva, en este caso es sentido antihorario.

Ten en cuenta que la curva es una circunferencia vertical en el plano \( y=6 \) y en el punto de la curva  \( (8,6,0) \) el vector tangente solo puede ser \( (0,0,1) \) o \( (0,0,-1) \), por ser \( z<0 \), el vector tangente es \( (0,0,-1) \) y la curva se recorre en sentido antihorario.

Por tanto el vector normal es \( n=(0,1,0) \)  y hay que tenerlo en cuenta.

Saludos.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

28 Febrero, 2021, 08:46 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

 Por favor, SM, intenta usar de manera adecuada el LaTeX para las fórmulas. Estás usando códigos de ASCII para los símbolos que podrían dar problemas en algunos navegadores. Sospecho que haces algún tipo de copy-pega. Observa la forma correcta de escribirlo:

Citar
Hola! Tengo una duda con este ejercicio.
Se considera una función [tex]g:\Bbb R^2\to \Bbb R[/tex] de clase [tex]C^2(\Bbb R)[/tex] y sea el campo
[tex]\vec F(x,y,z)=\left(\dfrac{\partial g}{\partial x}(x,z)-cos(x^3),0,2x+5y+\dfrac{\partial g}{\partial z}(x,z)+sin(z^3)\right)[/tex]

Calcule la circulación del campo [tex]\vec F[/tex] a lo largo de la curva [tex]C=x^2+y^2+z^2=100,\quad 𝑦 = 6[/tex]
orientada de manera tal que su vector tangente en el punto [tex](8,6,0)[/tex] tenga coordenada [tex]z[/tex] negativa.

y como lo habías hecho:

Hola! Tengo una duda con este ejercicio.
Se considera una función [tex] 𝑔: ℝ2 → ℝ[/tex] de clase [tex]𝐶2(ℝ2)[/tex] y sea el campo
[tex]𝐹⃗(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝜕𝑔/𝜕𝑥(𝑥, 𝑧) − cos(𝑥^3) , 0, 2𝑥 + 5𝑦 +𝜕𝑔/𝜕𝑧(𝑥, 𝑧) + 𝑠𝑒𝑛(𝑧^3)).[/tex]
Calcule la circulación del campo 𝐹⃗ a lo largo de la curva [tex] 𝐶 = 𝑥^2 + 𝑦^2 + 𝑧^2 = 100, 𝑦 = 6[/tex]
orientada de manera tal que su vector tangente en el punto [tex](8,6,0)[/tex] tenga coordenada [tex] 𝑧 [/tex] negativa.


 Por esta vez te hemos corregido tu mensaje desde la administración.

Saludos.