Autor Tema: TEMPERATURAS - aplicación de derivadas parciales

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27 Febrero, 2021, 10:46 pm
Respuesta #10

Masacroso

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Hola

Solamente una acotación la derivada direccional se considera \( T'(P,\vec{PQ})=\nabla f(P)\cdot{\vec{PQ}} \) cuando \( \vec{PQ} \) es una velocidad en ese caso la derivada direccional es la variación de la temperatura respecto al tiempo cuando se mueve un punto, que esta en P a una velocidad \( \vec{PQ} \), es evidente que si \( \vec{PQ} \) es unitario coincide con la variación de la temperatura por unidad de longitud en la dirección dada. Esta última acepción se corresponde con \( T'(P,\vec{PQ})=\nabla f(P)\cdot{\displaystyle\frac{\vec{PQ}}{\left\|{\vec{PQ}}\right\|}} \) es decir en un sentido puramente geométrico.



Saludos

Ya veo, claro. Magnífica explicación, eso deja claro (al menos para mí) cuando se debería utilizar una forma de la derivada direccional o la otra.

07 Marzo, 2021, 01:14 am
Respuesta #11

mgranadosgg

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Hola y gracias a todos por los aportes.

Resumiendo, el apartado a) es:

Solución a)

Como nos dan dos direcciones, usamos la expresión de la derivada direccional.

            \( P\longrightarrow{}Q \)
\( (1,0,-2)\longrightarrow{}(2,2,0) \)

\( D_{\overrightarrow{u}}T(P)=\nabla \)\( T(1,0,-2)·\overrightarrow{u} \)                      Derivada direccional \( D \), en la dirección \( \overrightarrow{u} \), de la función \( T \) en el punto \( P \).

1.- Hallar el vector gradiente: derivadas parciales de \( T \) evaluadas en \( P \):

  \( \nabla \)\( T=(6x,4y,-8z) \)

  \( \nabla \)\( T(P)=(6·1,4·0,-8.(-2))=(6,0,16) \)

2.- Hallar el vector unitario:

  \( \overrightarrow{u}=\displaystyle\frac{\overrightarrow{PQ}}{\left\|{\overrightarrow{PQ}}\right\|}=\displaystyle\frac{(1,2,-2)}{3}=(\displaystyle\frac{1}{3},\displaystyle\frac{2}{3},\displaystyle\frac{-2}{3}) \)

3.- Reemplazar el vector unitario, \( \overrightarrow{u} \), y el gradiente de \( T \) en \( P \), \( \nabla \)\( T(P) \), en la expresión del vector direccional:

  \( D_{\overrightarrow{u}}T(P)=\nabla \)\( T(1,0,-2)·\overrightarrow{u}=(6,0,16)·(\displaystyle\frac{1}{3},\displaystyle\frac{2}{3},\displaystyle\frac{-2}{3})=2-\displaystyle\frac{32}{3}=-\displaystyle\frac{26}{3} \)


Conclusión: el cambio \( T \) en \( P=(1,0,-2) \) en la dirección \( P=(1,0,-2) \) a \( Q=(2,2,0) \) es \( -\displaystyle\frac{26}{3} \)


¿es correcto?
Saludos y muchas gracias.

07 Marzo, 2021, 09:03 am
Respuesta #12

robinlambada

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Hola:
Hola y gracias a todos por los aportes.

Resumiendo, el apartado a) es:

Solución a)

Como nos dan dos direcciones, usamos la expresión de la derivada direccional.

            \( P\longrightarrow{}Q \)
\( (1,0,-2)\longrightarrow{}(2,2,0) \)

\( D_{\overrightarrow{u}}T(P)=\nabla \)\( T(1,0,-2)·\overrightarrow{u} \)                      Derivada direccional \( D \), en la dirección \( \overrightarrow{u} \), de la función \( T \) en el punto \( P \).

1.- Hallar el vector gradiente: derivadas parciales de \( T \) evaluadas en \( P \):

  \( \nabla \)\( T=(6x,4y,-8z) \)

  \( \nabla \)\( T(P)=(6·1,4·0,-8.(-2))=(6,0,16) \)

2.- Hallar el vector unitario:

  \( \overrightarrow{u}=\displaystyle\frac{\overrightarrow{PQ}}{\left\|{\overrightarrow{PQ}}\right\|}=\displaystyle\frac{(1,2,-2)}{3}=(\displaystyle\frac{1}{3},\displaystyle\frac{2}{3},\displaystyle\frac{-2}{3}) \)

3.- Reemplazar el vector unitario, \( \overrightarrow{u} \), y el gradiente de \( T \) en \( P \), \( \nabla \)\( T(P) \), en la expresión del vector direccional:

  \( D_{\overrightarrow{u}}T(P)=\nabla \)\( T(1,0,-2)·\overrightarrow{u}=(6,0,16)·(\displaystyle\frac{1}{3},\displaystyle\frac{2}{3},\displaystyle\frac{-2}{3})=2-\displaystyle\frac{32}{3}=-\displaystyle\frac{26}{3} \)


Conclusión: el cambio \( T \) en \( P=(1,0,-2) \) en la dirección \( P=(1,0,-2) \) a \( Q=(2,2,0) \) es \( -\displaystyle\frac{26}{3} \)


¿es correcto?
Saludos y muchas gracias.


Casi correcto, tienes una errata en la última componente del vector \( \overrightarrow{PQ}  \) que es positiva , es en realidad \( \overrightarrow{PQ}=(2-1,2-0,0-(-2))=(1,2,2) \)  que afecta a la variación de temperatura, que sera: \( \displaystyle\frac{38}{3} \)

Saludos.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

11 Marzo, 2021, 09:03 pm
Respuesta #13

mgranadosgg

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Hola y muchas gracias.

para Hallar el cambio máximo de T en Q y la dirección en la que se alcanza,

como el gradiente de la función es la dirección de más rápido crecimiento; entonces, usamos el gradiente calculado antes:

\( \nabla \)\( T(P)=(6,0,16) \)

¿es correcto?

Saludos.

11 Marzo, 2021, 09:21 pm
Respuesta #14

robinlambada

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Hola y muchas gracias.

para Hallar el cambio máximo de T en Q y la dirección en la que se alcanza,

como el gradiente de la función es la dirección de más rápido crecimiento; entonces, usamos el gradiente calculado antes:

\( \nabla \)\( T(P)=(6,0,16) \)

¿es correcto?

Saludos.

Si, el gradiente indica la dirección de máxima variación de la función, localmente,

Saludos.
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11 Marzo, 2021, 09:35 pm
Respuesta #15

robinlambada

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Otra cosa que se me ha pasado, el cambio máximo por unidad de longitud como es lógico es el modulo del gradiente en el punto P.
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12 Marzo, 2021, 01:36 am
Respuesta #16

mgranadosgg

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Hola y gracias.

Ahora, para calcular la dirección en la que se alcanza cuando el cambio máximo de T en Q, hallar el módulo del gradiente de la función T en el punto P:

Como

  \( ∇T(P)=(6,0,16) \)

Entonces,

  \( \sqrt[ ]{6^2+0^2+16^2}=\sqrt[ ]{292} \)

¿es correcto?

Saludos.

12 Marzo, 2021, 07:18 am
Respuesta #17

martiniano

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Hola.

Ahora, para calcular la dirección en la que se alcanza cuando el cambio máximo de T en Q, hallar el módulo del gradiente de la función T en el punto P:

Como

  \( ∇T(P)=(6,0,16) \)

Entonces,

  \( \sqrt[ ]{6^2+0^2+16^2}=\sqrt[ ]{292} \)

Es que me parece que no estás dejando demasiado claro lo que te preguntan. La dirección en la que la temperatura cambia más rápidamente es un vector, que coincide con el gradiente. El cambio máximo de la temperatura por unidad de longitud es un número, que como dice robinlambada, es el módulo del gradiente.

Un saludo.

12 Marzo, 2021, 10:12 am
Respuesta #18

Richard R Richard

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  • Oh Oh!!! me contestó... y ahora qué le digo...
Lo que te preguntan es el cambio máximo de temperatura en el punto Q. Relee el enunciado mgranadosgg.
Obtiene el gradiente, reemplaza los valores de coordenadas para el punto Q y luego calcula el módulo del gradiente, esa será la máxima variación de temperatura en el punto Q.
En qué dirección? en la del vector gradiente en ese punto.
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

27 Marzo, 2021, 07:25 pm
Respuesta #19

mgranadosgg

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Hola y muchas gracias de antemano.

Quisiera pedir ayuda para el último apartado del ejercicio:

  "Representar gráficamente los puntos para los cuales \( T=2 \) y calcular el plano tangente a esa superficie en el punto \( A(0,1,0) \)."

He visto algunos ejercicios cuando \( T=0 \) que sería el plano horizontal, pero no acabo de entender el caso del ejercicio.

Saludos.