Autor Tema: TEMPERATURAS - aplicación de derivadas parciales

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26 Febrero, 2021, 04:01 am
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mgranadosgg

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Hola y agracias de antemano.

Quisiera pedir ayuda con el siguiente ejercicio.

He visto algunos parecidos con 2 variables. Creo que tiene que ver con el gradiente.

ENUNCIADO
--------------
La temperatura de un sistema coordenado tridimensional viene dada por la función \( T(x,y,z)=3x^2+2y^2-4z^2 \). Hallar el cambio T en P(1,0,-2) en la dirección P a Q(2,2,0). Hallar el cambio máximo de T en Q y la dirección en la que se alcanza. Representar gráficamente los puntos para los cuales  T=2 y calcular el plano tangente a esa superficie en el punto A(0,1,0).

SOLUCIÓN
------------
calcularía el gradiente:

\( \nabla \)\( T=\begin{pmatrix}{6x}\\{4y}\\{-8z}\end{pmatrix} \)


26 Febrero, 2021, 08:19 am
Respuesta #1

martiniano

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Hola.

Lo que te están pidiendo en la primera pregunta se llama derivada direccional. En este caso se puede calcular hallando el gradiente en \( P \) y haciendo el producto escalar por el vector unitario \[ \displaystyle\frac{\vec{PQ}}{\left\|{\vec{PQ}}\right\|} \].

Espero que te sirva. Un saludo.

26 Febrero, 2021, 03:47 pm
Respuesta #2

mgranadosgg

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Hola.

Lo que te están pidiendo en la primera pregunta se llama derivada direccional. En este caso se puede calcular hallando el gradiente en \( P \) y haciendo el producto escalar por el vector unitario \[ \displaystyle\frac{\vec{PQ}}{\left\|{\vec{PQ}}\right\|} \].

Espero que te sirva. Un saludo.

Entonces sería:

El gradiente en P: \( \nabla \)\( P=6.(1)+4.(0)-8.(-2)=22 \)

El producto escalar: \( \vec{PQ}=\left(1,\:0,\:-2\right)·\left(2,\:2,\:0\right)=2 \)

El vector unitario: \( \left\|{\vec{PQ}}\right\| =\sqrt[ ]{2^2}=2 \).

Entonces:

\[ \displaystyle\frac{\vec{PQ}}{\left\|{\vec{PQ}}\right\|}=1 \]

26 Febrero, 2021, 05:25 pm
Respuesta #3

martiniano

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Hola.

La verdad es que no has acertado mucho. Creo que te conviene revisar conceptos.

El gradiente en P: \( \nabla \)\( P=6.(1)+4.(0)-8.(-2)=22 \)

El gradiente es una función vectorial, es decir a cada punto le asigna un vector. Su expresión la has hallado tú correctamente. Es \[ (6x,4y,-8z) \].

Para calcular el gradiente en \[ P \] debes substituir en la expresión anterior las coordenadas de \[ P \] obteniendo así un vector de coordenadas \[ (6,0,16) \]

El producto escalar: \( \vec{PQ}=\left(1,\:0,\:-2\right)·\left(2,\:2,\:0\right)=2 \)

Es que \[  \vec{PQ}   \] es otro vector, el que va de \[ P \] a \( Q \). Tú ahí das un escalar. Para obtener \[  \vec{PQ} \] réstale a las coordenadas de \[ Q \] las de \[ P \].

Además, el producto escalar que había que hacer era el gradiente de antes por el vector \( \displaystyle\frac{\vec{PQ}}{\left\|{\vec{PQ} }\right\| } \).

Inténtalo de nuevo y pon aquí lo que obtengas.

Un saludo.

27 Febrero, 2021, 01:06 am
Respuesta #4

mgranadosgg

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Hola y muchas gracias.

El gradiente de la función \( f \) es el vector formado por las derivadas parciales:

  \( \nabla \)\( f=(6x, 4y, -8z) \)

El gradiente de P es el vector formado por el gradiente de la función \( f \) en el punto P:

  \( \nabla \)\( P=(6.(1), 4.(0), -8.(-2))=(6,0,16) \)

El vector \( \overrightarrow{PQ} \) es:

  \( \overrightarrow{PQ}=Q-P=(2,2,0)-(1,0,-2)=(1,2,-2) \)

El módulo del vector \( \overrightarrow{PQ} \) es:

  \( \left\|{\overrightarrow{PQ}}\right\|=\sqrt[ ]{1^2+2^2+(-2)^2}=3 \)

Por tanto,

  \( \displaystyle\frac{\overrightarrow{PQ}}{\left\|{\overrightarrow{PQ}}\right\|}=\displaystyle\frac{(1,2,-2)}{3}=(\displaystyle\frac{1}{3},\displaystyle\frac{2}{3},\displaystyle-\frac{2}{3}) \)

27 Febrero, 2021, 02:09 am
Respuesta #5

Masacroso

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Por añadir algo: la notación \( P(a,b,c) \) para definir un punto en \( \mathbb{R}^3 \) me parece terrible. Tendría más sentido decir que \( P=(a,b,c) \). Luego: un punto no tiene gradiente porque no es una función diferenciable, una notación más normal sería escribir \( \nabla f(P) \) en vez de \( \nabla P \).

También decir que la derivada direccional en la dirección \( \overrightarrow{PQ} \) también se puede tomar sin necesidad de normalizar el vector, dependerá de la convención utilizada que se entienda que la derivada parcial en dirección \( \overrightarrow{PQ} \) debe normalizarse o no. En los diferentes libros de matemáticas que he leído la dirección no se normaliza, sin embargo en física puede ser que se entienda que deba normalizarse.

27 Febrero, 2021, 08:18 am
Respuesta #6

martiniano

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Hola.

Parece que vas bien, mgranadosgg. Ahora falta el producto escalar y los demás apartados.

También decir que la derivada direccional en la dirección \( \overrightarrow{PQ} \) también se puede tomar sin necesidad de normalizar el vector, dependerá de la convención utilizada que se entienda que la derivada parcial en dirección \( \overrightarrow{PQ} \) debe normalizarse o no. En los diferentes libros de matemáticas que he leído la dirección no se normaliza, sin embargo en física puede ser que se entienda que deba normalizarse.

Pues es verdad. Acabo de enterarme de que existen dos definiciones. Gracias.

Un saludo.

27 Febrero, 2021, 10:51 am
Respuesta #7

Richard R Richard

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En física se normaliza porque se utiliza la proyección de un vector sobre el otro, mantenimiento el módulo debajo de uno se lo uliliza como reemplazo de funciones trigonométricas como el seno y coseno en geometrías dónde los ángulos son difícil de calcular.
Pero la definición de derivada direccional  que he visto no necesariamente necesita el vector unitario.
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

27 Febrero, 2021, 09:03 pm
Respuesta #8

Luis Fuentes

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Hola

Por añadir algo: la notación \( P(a,b,c) \) para definir un punto en \( \mathbb{R}^3 \) me parece terrible. Tendría más sentido decir que \( P=(a,b,c) \).

 Se usa con cierta frecuencia en geometría afín.

Saludos.

27 Febrero, 2021, 10:04 pm
Respuesta #9

delmar

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Hola

Solamente una acotación la derivada direccional se considera \( T'(P,\vec{PQ})=\nabla f(P)\cdot{\vec{PQ}} \) cuando \( \vec{PQ} \) es una velocidad en ese caso la derivada direccional es la variación de la temperatura respecto al tiempo cuando se mueve un punto, que esta en P a una velocidad \( \vec{PQ} \), es evidente que si \( \vec{PQ} \) es unitario coincide con la variación de la temperatura por unidad de longitud en la dirección dada. Esta última acepción se corresponde con \( T'(P,\vec{PQ})=\nabla f(P)\cdot{\displaystyle\frac{\vec{PQ}}{\left\|{\vec{PQ}}\right\|}} \) es decir en un sentido puramente geométrico.



Saludos