Autor Tema: Encontrar una solución aproximada al problema de Dirichlet

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21 Febrero, 2021, 06:28 am
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carixto

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CORREGIDO
Hola, traigo este problema
Sea [texx]\Omega= ]-1,1[[/texx]x [texx]]-1,1[ [/texx]  [texx]\subset \mathbb{R}^2 [/texx]el cuál es un abierto, acotado, y salvo las cuatro puntas del cuadrado de frontera regular

Sea también [texx] f: \Omega \rightarrow \mathbb{R} [/texx] la función constante [texx]f=1[/texx] nos interesa encontrar una solución aproximada al problema de Dirichlet

[texx]-\triangle u=f[/texx], al interior de [texx]\Omega[/texx]   

[texx]u=0[/texx], sobre [texx]\partial \Omega[/texx]

Cómo sería hacer la solución usando separación de variables.

Moderación: corregida ortografía y cambiado título por uno más informativo.

21 Febrero, 2021, 09:00 am
Respuesta #1

robinlambada

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Hola.
Hola, traigo este problema
Sea [texx]\Omega= ]-1,1[[/texx]x [texx]]-1,1[ [/texx]  [texx]\subset \mathbb{R}^2 [/texx]el cuál es un abierto, acotado, y salvo las cuatro puntas del cuadrado de frontera regular

Sea también [texx] f: \Omega \rightarrow \mathbb{R} [/texx] la función constante [texx]f=1[/texx] nos interesa encontrar una solución aproximada al problema de Diritchlet

-[texx]\triangle u=0[/texx]   , al interior de [texx]\Omega[/texx]   

[texx]u=0[/texx]  , sobre   [texx]\partial \Omega[/texx]

Como seria hacer la solución usando separación de variables
¿Estás seguro que has copiado bien el enunciado del problema?

Aunque tengo bastante olvidado el problema de Dirichlet y la ecuación de Laplace, no me cuadra el planteamiento con el principio de máximo de  las funciones armónicas, que asegura que una función armónica continua en un dominio cerrado con derivadas primera y segunda continuas en el interior, no puede tomar en su interior valores mayores ni menores que el máximo y mínimo de la frontera respectivamente, entonces estaríamos hablando de la función nula en todos su dominio.

Saludos.

P.D.: Ruego revisión.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

21 Febrero, 2021, 09:11 am
Respuesta #2

robinlambada

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¿No será ?:
\( -\triangle u=f \)   , al interior de \( \Omega \)   

\( u=0 \)  , sobre   \( \partial \Omega \)

Saludos.

Corregido.

Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

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21 Febrero, 2021, 02:40 pm
Respuesta #3

robinlambada

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Te puede interesar este documento adjunto, en el que utiliza separación de variables para tu ecuación.

Mira la sección 4.3 4.3. Separación de variables para Laplace (pag 13 de 30)

http://departamento.us.es/edan/php/asig/LICMAT/LMEDPAF/ApuntesEDPAFGrupoA1011.pdf

Saludos.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

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22 Febrero, 2021, 03:13 am
Respuesta #4

carixto

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Hola
si tenias razón, lo acabo de arreglar

26 Febrero, 2021, 07:43 pm
Respuesta #5

Masacroso

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Aquí tratan, grosso modo, el problema de Dirichlet en un rectángulo, el cual lo definen como la solución al sistema

\( \displaystyle{
\Delta u=0,\quad  \text{ dentro de la región acotada }\\
u=f,\quad \text{ en el borde de la región }
} \)

para una función \( f \) dada.