Autor Tema: Modelizar coste de cable que atraviesa un río

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04 Febrero, 2021, 05:50 am
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Alex.martoto

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Buenas noches, necesito ayuda de los participantes del foro.
Ese es un ejercicio matemático que me dejaron de resolver, yo aún no e recibido clases de esos temas, ni se me dijo que debia leer para poder entender ese ejercicio. Realmente me interesa aprender a realizar ejercicios de ese tipo pero si necesito ayuda con este debido a que no se nada del tema.

Ejercicio 5. Los puntos \( A \) y \( B \) están en las orillas de un río recto de \( 4 \)km y son opuestos uno del otro. El punto \( C \) está en la misma orilla que \( B \) pero a \( k \) kilómetros de  \( B \) río abajo. Una Compañía telefónica desea tender un cable de \( A \) a \( C \) donde el costo por kilómetro de cable de tierra es de $\( 8000 \) y el de cable subacuático es de $\( 10000 \). Sea \( P \) un punto en la misma orilla que \( B \) y \( C \) de modo que el cable se tiende de \( A \) a \( P \) y luego a \( C \). Ver figura



a) Determine una función que modele el costo total del cable en términos de la distancia de \( B \) a \( P \).
b) ¿Cuál es el dominio de la función de costo?.


Por eso busco ayuda en este foro debido a que en verdad estoy interesado en aprender, de ante mano les agradezco.

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04 Febrero, 2021, 09:28 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 Bienvenido al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

 En particular las imágenes adjuntas deben de reservarse para gráficos; el texto debe de ser directamente tecleado en el mensaje.

Ejercicio 5. Los puntos \( A \) y \( B \) están en las orillas de un río recto de \( 4 \)km y son opuestos uno del otro. El punto \( C \) está en la misma orilla que \( B \) pero a \( k \) kilómetros de  \( B \) río abajo. Una Compañía telefónica desea tender un cable de \( A \) a \( C \) donde el costo por kilómetro de cable de tierra es de $\( 8000 \) y el de cable subacuático es de $\( 10000 \). Sea \( P \) un punto en la misma orilla que \( B \) y \( C \) de modo que el cable se tiende de \( A \) a \( P \) y luego a \( C \). Ver figura



a) Determine una función que modele el costo total del cable en términos de la distancia de \( B \) a \( P \).
b) ¿Cuál es el dominio de la función de costo?.


 Reconozco que "si no sabes nada del tema" no sé si tiene mucho sentido ayudarte; la mejor ayuda primero sería que leas sobre el tema: qué es una función, qué es el dominio de una función, ver ejemplos,...

 Te esbozo una idea; se trata de que en función de la distancia del punto \( P \) al punto \( B \), des una fórmula para calcular cuanto costaría un cable que va de \( A \) a \( P \) bajo el agua y de \( P \) a \( C \) por tierra.

 Comienza llamando \( x \) a esa distancia . Ten en cuenta que:

- El costo de la parte del cable subacuática es 10000 por kilómetro de longitud de ese tramo. Esa longitud es la distancia de \( A \) a \( P \). Para hallarla ten en cuenta que esa distancia es la hipotenusa del triángulo rectángulo \( ABP \). Sus catetos son la distancia entre \( A \) y \( B \) que mide 4km y la distancia entre  \( P \) a \( B \) que es \( x \).

- El costo de la parte terrestre del cable es 8000 por kilómetro de longitud. En este caso ésta es la distancia de \( P \) a \( C \). Tal distancia es la que hay de \( B \) a \( C \) menos la que hay de \( B \) a \( P \).

- El costo total es la suma de ambas cosas.

En cuanto al dominio es el conjunto de valores que puede tomar \( x \). Si \( x \) es la distancia de \( P \) a \( B \), y \( P \) es un punto en el segmento \( BC \), ¿cuál es el máximo y el mínimo valor de \( x \)?.

Saludos.

07 Abril, 2021, 03:51 pm
Respuesta #2

NoelAlmunia

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Hay que encontrar una trayectoria que minimice el costo de instalación del cable si su colocación sobre tierra es de $8000/Km y bajo el río es de $10 000/Km.

1) Si la colocamos punto a punto, o sea, completamente bajo el río, el costo es de:

\( C_1=\sqrt{(k\textsf{ Km})^2+(4\textsf{ km})^2}\$\cdot 10^4=\sqrt{k^2+16}\cdot 10^4\$ \)

2) Si la colocamos en ángulo recto, o sea, de \( A \) a \( B \) bajo el río y luego de \( B \) a \( C \) sobre tierra el costo es de:

\( C_2=4\textsf{ Km}\$\cdot 10^4+k\textsf{ Km}\$\cdot 0.8\cdot 10^4=(4+0.8k)\cdot 10^4\$ \)

Hay que averiguar si hay un trayecto intermedio que reduzca el costo por debajo de estos valores obtenidos anteriormente, los cuales se igualan para dos valores de \( k \).
Si graficamos estos costos en función de la distancia \( k \) obtenemos:



\( \sqrt{k^2+16}=4+0.8k \)
\( 0.36k^2-6.4k=0 \)
\( k_1=0 \),      \( k_2=\dfrac{160}{9}\approx 17.78 \)

O sea, escoger un punto \( P \) óptimo que permita que la suma total del costo de la tubería sobre tierra y bajo el agua sea mínima. Del esquema se deduce que habría que conocer la distancia \( \overline{BP}\equiv x \) (a la izquierda del punto \( P \)) óptima para reducir el costo, en este caso el costo total sería el costo del trayecto \( \overline{AP}+\overline{PC} \).

Pongamos el costo como una funcional de la distancia \( x \):

\( C(x)=\sqrt{x^2+\overline{AB}^2}\$\cdot 10^4+(\overline{BC}-x)\$\cdot 0.8\cdot 10^4 \)

\( C(x)=\sqrt{x^2+16}(10^4)+(k-x)\cdot 0.8\cdot 10^4   \)             para \( k>x \)

Esta es la función que modela el costo total del cable en función de la distancia \( \overline{BP}\equiv x \).
El dominio de esta función del costo es \( x\in \Bbb R. \)

Para conocer si esta función algebraica, del costo dependiente de la distancia \( x \), tiene un punto extremo mínimo es necesario determinar primeramente en qué puntos de la curva la recta tangente a ella tiene pendiente nula y luego identificar ese punto como un punto mínimo. La derivada con respecto a la variable \( x \) determina la pendiente de la tangente, y si determinamos sus raíces podemos identificar donde esta tangente es horizontal y por ende la localización del punto extremo.

\( \dfrac{dC(x)}{dx}=10^4\cdot \dfrac{d}{dx}\sqrt{x^2+16}-\dfrac{d}{dx}((0.8\cdot 10^4)x)=\dfrac{10^4x}{\sqrt{x^2+16}}-0.8\cdot 10^4 \)

\( \dfrac{10^4x}{\sqrt{x^2+16}}-0.8\cdot 10^4=0 \)

\( x^2=0.64x^2+10.24 \)

\( x=\dfrac{\pm \sqrt{256}}{3}=\pm 5.3333\ldots \)

La solución es \( x=+5.333\ldots  \), ya que es la que satisface la ecuación.
Evaluando en la derivada valores laterales, izquierdos y derechos, a este punto encontramos la alternancia de signo siguiente:



Quiere esto decir que el punto \( x=5.333\ldots \)  es un punto extremo mínimo en la curva del costo.
En otras palabras, que para un punto situado aproximadamente a \( 5.3333 \) Km a la derecha del punto \( B \) el costo de instalación de la tubería tendrá un valor mínimo. Esto, para cualquier valor de \( k \) con \( k>x \).

Dado que la textura del Universo es la más perfecta y la obra de un creador sapientísimo, nada sucede en el Universo sin obedecer alguna regla de máximo o mínimo
Leonhard Euler.

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08 Abril, 2021, 09:58 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

NoelELL:  Bienvenido al foro y gracias por tu aporte.

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 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

Saludos.