[valeperez]

En caso existir da un ejemplo, si no, demuestralo
-Una función definida en [0, 1] que sea derivable solo en \( \displaystyle\frac{1}{2} \)
-Una función con derivada positiva en todo su dominio que no sea creciente.
-Una función continua en \( x_0 \) que no sea derivable en \( x_0 \)
-Una función derivable en \( x_0 \) que no sea continua en \( x_0 \)

[delmar]

Hola

Es conveniente que has hecho por resolver el problema.

Te ayudo con la 2,3,4

2) Considera \( a,b\in{D} \ / \ a<b \) El teorema del valor medio para las derivadas dice \( \exists{c} \ / \ a<c<b \ / \ \displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c) \) saca tus conclusiones.

3)\( \left |{x}\right | \) es continua en cero y no es derivable comprueba.

4) Si es derivable \( \forall{\epsilon>0}, \ \exists{\delta >0} \ / \ \left |{\displaystyle\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}-f'(x_0)\right |<\epsilon \ \ si \ \left |{h}\right |< \delta \) esto implica, para algún \( \epsilon \) particular :

\( h(f'(x_0)-\epsilon)<f(x_0+h)-f(x_0)<(f'(x_0)+\epsilon)h, \ \ si \ \left |{h}\right |<\delta \)
Aplicando límite cuando \( h\rightarrow{0} \) se demuestra que necesariamente f ha de ser continua en \( x_0 \)



Saludos

[Gustavo]

Hola. Para 1, piensa en lo que pasa con una función como \( f:\mathbf R\to \mathbf R \) definida por \( f(x)=x^2  \) si \( x \) es racional, y \( f(x)=0  \) si \( x \) es irracional. ¿Dónde es \( f \) derivable?