Feriva, he leído ya tu mensaje varias veces y ... no, decididamente no llego al final, son demasiados primos, semiprimos y coprimos, ufff.
Estaré algo espeso.
Por cierto estoy viendo ya la sucesión de primos de Goldbach para múltiplos de 6, \( P(6n)_i \), y efectivamente se muestran valores más altos, pero también tiene esta sucesión picos más altos y otros más bajos, aunque esta vez no aparecen las regularidades que se mostraban en la serie de pares completa, \( P(2n)_i \).
Salu2.
Tal y como lo he dicho sí que es un poco galimatías
Vamos a tomar un múltiplo de 6, como 18, por ejemplo:
\( 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18
\)
18 es múltiplo de dos primos distintos, 2 y 3. Como todos los pares son múltiplos de 2, no son coprimos con 18; y los de tres tampoco. Entonces voy a marcar en azul todos esos múltiplos
\( 1,{\color{blue}2},{\color{blue}3},{\color{blue}4},5,{\color{blue}6},7,{\color{blue}8},{\color{blue}9},{\color{blue}10},11,{\color{blue}12},13,{\color{blue}14},{\color{blue}15},{\color{blue}16},17,{\color{blue}18}
\).
Tenemos los coprimos sin marcar, que son estos seis: 1,5,7,11,13,17.
Fíjate en que los no corpimos, los doce restantes, son muy densos en comparación. Esto es debido a que los múltiplos de 2 están muy cerca entre ellos y los de 3 también están muy cerca (como hablamos de números pares para la conjetura, 18 en este caso, pues los pares siempre van a ser no coprimos; vamos a fijarnos en los múltiplos de 3 para ver la diferencia).
Ahora tomo el par 20, que es múltiplo de los primos 2 y 5; y hago lo mismo:
\( 1,{\color{blue}2},3,{\color{blue}4},{\color{blue}5},{\color{blue}6},7,{\color{blue}8},9,{\color{blue}10},11,{\color{blue}12},13,{\color{blue}14},{\color{blue}15},{\color{blue}16},17,{\color{blue}18},19,{\color{blue}20}
\)
Hay menos densidad porque los múltiplos de 5 están más alejados entre ellos; esto es, proporcionalmente, siempre van a caber menos múltiplos de 5 que de 3, y menos aún de 7... etc. Por eso, a pesar de ser un par 2 unidades mayor que 18, tenemos la misma cantidad de no coprimos que antes y, a cambio, más cropimos; son ocho: 1,3,7,9,11,13,17,19.
Ahora veamos cuántos primos hay entre los 8 coprimos; son 6, la proporción 8/6.
Antes teníamos estos 6 coprimos 1,5,7,11,13,17 de los cuales 5 son primos, la proporción de primos es mayor 6/5
Siendo así, es más fácil que se formen parejas (primo, primo). Solo tienes que observarlo con algunos ejemplos más, si lo miras verás que en los no múltiplos de 6 hay proporcionalmente más parejas (primo, compuesto) que en los múltiplos de 6 debido a eso.
Por añadidura, es lógico por esto otro:
Todas las parejas posibles que suman veinte (con los dos números que sean) son así
\( (n-k)+(n+k)=2n
\); con \( k\in\{0,1,2,3...\}
\)
\( {\color{blue}0},1,{\color{blue}2},3,{\color{blue}4},{\color{blue}5},{\color{blue}6},7,{\color{blue}8},9,{\color{magenta}(}{\color{blue}10}{\color{magenta})},11,{\color{blue}12},13,{\color{blue}14},{\color{blue}15},{\color{blue}16},17,{\color{blue}18},19,{\color{blue}20}
\)
Observa que los coprimos, suman el par con coprimos y los no coprimos con no coprimos; son simétricos:
9+11=20; 7+13=20; 3+17=20; 1+19=20
Esto es fácil de demostrar:
Spoiler
\( a+b=m
\) (donde m es el par)
\( b=m-a
\)
Si “a” tuvieran un factor común con “m,” entonces existiría un entero k tal que \( m=kx
\) y \( a=ky
\); y tendríamos
\( b=kx-ky
\)
\( b=k(x-y)
\)
y entonces
\( \dfrac{b}{k}=(x-y)
\) implica que “k” divide a “b” (porque x-y es entero) y, por tanto, “k” es factor también de “b”; con lo que los tres números, a,b,m, tienen un factor común y, por definición al ocurrir eso, no son coprimos. De ahí que los no coprimos sólo sumen con no coprimos y viceversa.
Ahora, si tomo 18 y 20, observa que la cantidad de primos que hay hasta 20 nunca puede mayor de un primo más; por tanto, aunque baje la densidad de coprimos, la de primos no baja (cierto es que hay que tener en cuenta que hablamos de primos coprimos, no de primos no coprimos, pero eso parece no influir demasiado a tenor de lo que se observa). De ahí que, cuando hay menos coprimos, la proporción de primos sea menos baja respecto de los compuestos copimos.
Saludos.
