[malboro]

Hola.

Vamos a definir el funtor  \( h:C\longrightarrow{[C,Sets]} \) de la siguiente manera:

En objetos: Para cada \( X\in{C} \) definimos un objeto   \( h_X \) de \( [C,Sets] \) de la siguiente manera: \( h_X:C\longrightarrow{Sets} \)

\(   U  -------->h_X(U)=Mor_C(U,X) \)

\( U\xrightarrow[s{}]\,{V} ------> h_XV\xrightarrow[h_Xs]\,{h_XU} \)       tal que     \( h_Xs(t)=t\circ{s}   \)     con \( t:V\longrightarrow{X} \), definido
 
así \( h_X \) es un funtor contravariante.

En flechas: Para cada \( f:X\longrightarrow{Y} \)    definimos una transformación natural \(  h_f:h_X\longrightarrow{h_Y}    \).

Sea \( F:C\longrightarrow{Sets}   \)  un funtor contravariante, denotamos por \( Mor(h_X,F)  \)  el conjunto de transformaciones naturales

\( T:h_X\longrightarrow{F}  \).

Definimos  la aplicación \( L:FX\longrightarrow{Mor(h_X,F)} \)     como:

Dado un \( A\in{FX}  \)   podemos definir \( T^A:h_X\longrightarrow{F} \)  como sigue:

Dado  \( U\in{C} \), un elemento de \( h_XU=Mor(U,X)   \)    es una flecha    \( f:U\longrightarrow{X} \), esta flecha induce la aplicación

\( Ff:FX\longrightarrow{FU}  \). Definimos una aplicación \( T^A_U:h_XU\longrightarrow{FU} \)  por   \( T^A_U(f)=FfA  \).

Así definido \( T^A \)  es una transformación natural. 

\( Lema \) \( de \) \( Yoneda \)._  Sea \( C \) una categoría, \( F:C\longrightarrow{Sets} \) un funtor contravariante y \( X\in{C} \).

Entonces la aplicación     \( L:FX\longrightarrow{Mor(h_X,F)} \) definida arriba es biyectiva. 



Estoy queriendo probar el teorema de Cayley que dice lo siguiente:

Todo grupo \( <G,+> \) es isomorfo a un grupo de permutaciones.

Quiero demostrarlo pero considerando a \( G \) como una categoría.

Sabemos que podemos ver a un grupo como una categoría  tal que tiene un solo objeto digamos \( * \), las flechas son los elementos del grupo y la composición es la operación del grupo.

Quiero usar el lema de Yoneda, pero no tengo claro como deduzco que sea isomorfo  a un grupo de permutaciones.

Gracias.

[geómetracat]

La idea es la siguiente. El corolario del lema de Yoneda te dice que tienes un embedding de tu grupo \( G \) (pensado como una categoría), en la categoría de funtores contravariantes \( G \rightarrow Set \). Como el embedding de Yoneda es pleno y fiel, la imagen de la categoría \( G \) por este embedding es un funtor contravariante \( G \rightarrow Set \) que es fiel (compruébalo), luego te identifica el grupo \( G \) con un subgrupo de las permutaciones de un conjunto (la imagen por el funtor \( h_* \) del único objeto de la categoría \( G \)). Esto es el lema de Cayley.

De hecho, si sigues las definiciones, verás que esto es exactamente la prueba elemental del teorema de Cayley que se da en un curso elemental de álgebra.

[malboro]

Hola Geómetracat.

\( <G,*> \) un grupo y \( G  \) es visto  como  categoría denotada por \( C_G  \) que tiene un solo objeto, digamos "@".

\( H:C_G\to [C_G,Sets] \) es definido como:

En objetos:  \( @\in{C_G} \) definimos un objeto   \( h_@ \) de \( [C_G,Sets] \) de la siguiente manera: \( H_@:C_G\longrightarrow{Sets} \)

\(   @  -------->H_@@=Mor_{C_G}(@,@) \)

\( @\xrightarrow[s{}]\,{@} ------> h_@@\xrightarrow[H_@s]\,{h_@@} \)       tal que     \( H_@s(t)=t*s   \)     con \( t:@\longrightarrow{@} \), definido
 
así \( H_@ \) es un funtor contravariante.

En flechas: Para cada \( f:@\longrightarrow{@} \)    definimos una transformación natural \(  H_f:H_@\longrightarrow{H_@}    \).

Así definido \( H \) es funtor covariante.

El embedding de Yoneda nos dice que H es plenamente fiel e inyectivo en objetos.

Denotemos por \( F \) a la imagen del funtor \( H \), entonces \(  F=Im(H) \).
Afirmación 1:
\( F:C_G\to Sets \) es un funtor contravariante fiel.

\( F \) es  fiel sí y solo si \( T \) es inyectiva.
\( T \) está definida como sigue:
la aplicación \( T:Mor_{C_G}(@,@)\to Mor_{Sets}(F_@,F_@) \) definida como \( T(g):F_@\to F_@ \) tal que \( T(g)_@:F_@@\to F_@@ \) con \( T(g)_@(h)=h*g \). (Está definición de \( T  \) es por causa de como está definido \( H \))

MI PREGUNTA ES LA SIGUIENTE:

Porqué cuando \( F \) es la imagen de \( H \) se tiene que \( F_@@=Mor_{C_G}(@,@) \) ?

Veamos que \( T \) es inyectiva:

Sean \( f,g\in Mor_{C_G}(@,@) \) tal que \( T(g)=T(f) \) (estoy igualando transformaciones naturales, esto tiene sentido?)

pienso que esa igualdad significa \( T(g)_@=T(f)_@ \), luego \( T(g)_@(h)=T(f)_@(h) \) y esto es h*g=h*f y como estos son elementos del grupo entonces tomamos inversa de \( h \), luego \( g=f \). Por lo tanto \( T  \) es inyectiva.

Ahora observemos los siguiente:

\( G=Mor_{C_G}(@,@)  \)  y \( Mor_{Sets}(F_@,F_@)=\left\{{G\to G}\right\} \) es un grupo con la operación composición,  luego \( T:G\to \left\{{G\to G}\right\} \).
 Falta ver que \( T \) sea un homomorfismo (esto lo conseguí) y luego ya tengo un monomorfismo osea \( G \) sería un subgrupo de \( \left\{{G\to G}\right\} \).

Falta ver que  la colección de aplicaciones \( {G\to G} \) son biyectivas , para esto último cúal es la idea?

Gracias

[geómetracat]

A ver, creo que hay un poco de confusión. Creo que es mejor que detalle el argumento y si no entiendes algo avisa.

Denotemos por \( F \) a la imagen del funtor \( H \), entonces \(  F=Im(H) \).

Afirmación 1:
\( F:C_G\to Sets \) es un funtor contravariante fiel.

La imagen de \( H \) no es ningún funtor, es una subcategoría de \( [C_G, Set] \).
Tienes \( H(@) \) que es un funtor \( H(@):C_G \rightarrow Set \) y luego para cada flecha \( g:@  \rightarrow @ \) (que se identifica con un elemento del grupo \( G \)) una transformación natural \( H(g):H(@) \rightarrow H(@) \).

El funtor \( H(@) \) determina un conjunto \( H(@)(@) =Hom_{C_G}(@,@) \) (y para cada flecha biyecciones de \( Hom(@,@) \), pero esto ahora no nos interesa).

Ahora, para cada flecha \( g:@ \rightarrow @ \) el embedding \( H \) nos da una tranformación natural \( H(g):H(@) \Rightarrow H(@) \).
Como \( C_G \) tiene un único elemento, una tal transformación natural viene completamente determinado por \( H(g)_@:Hom(@,@) \rightarrow Hom(@,@) \). Es decir, tenemos, para cada \( g \in G \) una aplicación (que llamaré simplemente \( H(g) \)) \( H(g):Hom(@,@) \rightarrow Hom(@,@) \) (que está definida por \( H(g)(h) = gh \), pero no es importante para el argumento).
Como \( H \) es un funtor covariante de \( C_G \) en \( [C_G,Set] \), tenemos que \( H(gh)=H(g) \circ H(h) \), luego las aplicaciones \( H(g):Hom(@,@) \rightarrow Hom(@,@) \) dan una acción de \( G \) en el conjunto \( X=Hom(@,@) \). Cada \( H(g) \) es una biyección pues su inversa es \( H(g^{-1}) \) (usa de nuevo que \( H \) es funtor). El hecho de que \( H \) es fiel implica que esta acción es efectiva, es decir, que hay un embedding de \( G \) en el grupo de las biyecciones de \( X \). Esto prueba el teorema de Cayley.
Fíjate como curiosidad que en ningún momento hemos usado ni la forma específica del embedding de Yoneda ni el hecho de que es pleno. Únicamente se usa que \( H \) es un funtor fiel.

Por cierto, claro que tiene sentido igualar dos transformaciones naturales. Si \( \tau, \eta:F \Rightarrow G \) son transformaciones naturales, \( \tau = \eta \) si y solo si \( \tau_X = \eta_X \) para cada objeto \( X \) de la categoría de salida de \( F,G \).

[malboro]

Hola.

Cuando dices: El hecho de que H es fiel implica que esta acción es efectiva, es decir, que hay un embedding de G en el grupo de las biyecciones de X. Esto prueba el teorema de Cayley.

Pero H es plenamente fiel, entonces hay una biyección entre G y las biyecciones de X, Lo que necesitamos nó sería una aplicación de G a las biyecciones de X pero que sea solo inyectiva? (Así obtengo un isomorfismo de G a un subgrupo de permutaciones)

La aplicación T que defino no puede ser esa inyección??

GRacias

[geómetracat]

Hola.

Cuando dices: El hecho de que H es fiel implica que esta acción es efectiva, es decir, que hay un embedding de G en el grupo de las biyecciones de X. Esto prueba el teorema de Cayley.

Pero H es plenamente fiel, entonces hay una biyección entre G y las biyecciones de X, Lo que necesitamos nó sería una aplicación de G a las biyecciones de X pero que sea solo inyectiva? (Así obtengo un isomorfismo de G a un subgrupo de permutaciones)

No. Que \( H \) sea pleno no implica que toda biyección de \( X \) sea de la forma \( H(g) \) para algún \( g \in G \). Lo que te dice eso es que toda transformación natural de \( H(@) \) en \( H(@) \) es de la forma \( H(g) \). Pero no toda biyección de \( X \) da lugar a una transformación natural \( H(@) \Rightarrow H(@) \), solamente lo hacen aquellas que cumplen la condición de transformación natural respecto de las flechas de \( C_G \).
Lo cual es lógico pues no todo grupo es isomorfo al grupo de biyecciones de un conjunto.

La aplicación T que defino no puede ser esa inyección??

Si entiendo bien, tu \( F \) es en realidad \( H(@) \), y \( T(g) \) es \( F(g) \).
Si es así, \( T(g)_@ \) no tiene sentido, pues \( T(g) \) ya es una aplicación entre conjuntos.
En cualquier caso, el problema aquí es que como \( F \) es contravariante, no obtienes un homomorfismo de \( G \) en \( Biy(X) \), porque invierte el orden: \( T(g) \circ T(h) = T(hg) \).
Aunque por otro lado al final dices que conseguiste ver que \( T \) es morfimo de grupos, así que no sé si te estoy entendiendo bien.

[malboro]

Hola.

Estuve haciendo las cuentas y no se consigue que T sea homomorfismo  , tengo que considrear el funtor representable covariante, ya con eso consigo la prueba. Escribiré de nuevo todo.

Gracias