[Geraldine____]

G5B-S5-5:
Hallar funciones vectoriales que parametricen cada una de las superficies:
c) S3:, el disco (plano) \( 0\leq{ x^2+y^2}\leq{\displaystyle\frac{1}{2}} \), a la altura \( z=\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{1}{2}} \).

\( \vec{r}(u,v)=(\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{1}{2}}cos(u),\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{1}{2}}sin(u),\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{1}{2}}) \)
con:
\( 0\leq{u\leq{2\pi}} \)
\( 0\leq{v}\leq{2\pi} \)

¿Está bien la parametrización (porque todo depende de u)?¿Es lo que me pide?¿Los valores que toma están en lo cierto?

[Masacroso]

No está bien. Si la parametrización es \( g(u,v)=\sqrt2/2(\cos u,\sin u,1) \) como tú has puesto, entonces eso dibuja sólo el contorno del disco que te piden, es decir, la imagen de \( g \) es \( \{(x,y,z)\in\Bbb R^3: x^2+y^2=1/2,\, z=\sqrt2/2\} \).

[Geraldine____]

¿Y cómo sería entonces?
No me doy cuenta cómo llenarlo.

Quizás...
\( \vec{r}(u,v)=(\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{1}{2}}v*cos(u),\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{1}{2}}v*sin(u),\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{1}{2}}) \)
\( 0\leq{u}\leq{2\pi} \)
\( 0\leq{v}\leq{1} \)

[Masacroso]

¿Y cómo sería entonces?
No me doy cuenta cómo llenarlo.

Quizás...
\( \vec{r}(u,v)=(v*cos(u),v*sin(u),\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{1}{2}}) \)
\( 0\leq{u}\leq{2\pi} \)
\( 0\leq{v}\leq{1} \)

Exacto. Esa parametrización rellena el disco. Ups, no había mirado bien. Ya casi lo tienes, tienes que multiplicar las dos primeras coordenadas por una constante o cambiar el dominio de \( v \).

[Fernando Revilla]

Quedaría pues

          \( \begin{cases}x=v\cos u\\ y= v\sin u\\z=\sqrt{1/2}\end{cases}\quad 0\le v\le \sqrt{1/2},\quad 0\le u \le 2\pi \)

[Geraldine____]

¡Justo lo estaba cambiando!

¡Gracias a ambos!