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Temas - alucard

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Álgebra y Aritmética Básicas / Polinomio de menor grado
« en: 19 Marzo, 2021, 02:23 am »
Hola tengo dudas con este ejercicio 

El polinomio \( p(x) \) de menor grado que tiene una raíz doble en los valores b y -b (enteros no nulos) satisface que \( p(5)=567 \). Sabiendo que  \( p(0)=1792 \), hallar el resto de dividir  \( p(x) \) por \( x-3 \)

Debe ser muy muy simple, pero ...
¿Cuando hablan de polinomio mínimo o de menor grado son expresiones equivalentes ?

¿El polinomio de menor grado no es el de grado 0 ?

En este problema por los datos de las raíces pude plantear 

\( p(x)=a(x-b)^2(x+b)^2 \)

pero cuando hago

\( p(5)=567\quad p(0)=1792 \)

me queda "horrible" así que no se si lo estoy pensando de forma correcta ,  ¿me pueden orientar por favor?

2
Cálculo 1 variable / Velocidad media
« en: 10 Marzo, 2021, 08:41 pm »
Hola , tengo un enunciado que no sé en donde me estoy yendo por las ramas

Un vehículo se desplaza  de forma rectilinea desde el instante  \( t=0 \) hasta el instante   \( t=2 \) . si su velocidad varía

según la función \( v(t)=2-(t-1)^2 \),  el primer instante  en el que alcanza una velocidad promedio (es que de mantenerla constante le permite recorrer la misma distancia entre los instantes 0 y 2)) es :

Bueno lo que intente fue aplicar el teorema del valor medio

\( v_{med}=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_{a}^{b} v(t)dt \)

el problema fue cuando hice la integral me dió un resultado distinto al que figura en la respuesta , después intente

\( v_{med}=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_{a}^{b} a(t)dt \)

en donde integre la velocidad para obtener la aceleración la cual me dio 

\( a(t)=2t-\dfrac{(t-1)^3}{3}+c \) con la condición de \( a(0)=0 \to c=\dfrac{1}{3} \)

pero tampoco llego a la respuesta dada en el problema . :(

3
Hola tengo el siguiente enunciado

Sea \( y=f(x) \) una solución de \( y'+a(x)y=\sen x \) e \( y=g(x) \) una solución de \( y'+a(x)y=x^2 \).

Entonces una solución de \( y'+a(x)y=-3x^2+2 \sen x \) es:


Lo único que pude plantear es 

\( f'(x)+a(x)f(x)=\sen x \) y

\( g'(x)+a(x)g(x)=x^2 \)

Y la verdad no sé como continuar  :banghead:


4
Cálculo 1 variable / Minimizar la hipotenusa de un triángulo
« en: 26 Febrero, 2021, 05:01 pm »
Hola , tengo el siguiente enunciado el cual me gustaria saber si estoy bien encaminado


.
pude sacar el punto \( T(1.a) \) y la recta tangente y normal  en T

\( y-a=2a(x-1) \) y  \( y-a=-\dfrac{1}{2}(x-1) \) con los cuales obtengo los puntos

\( A(0, a+1/2a)\quad B(0,-a) \) luego defino

\( \left\|{TB}\right\|=\left\|{1,2a}\right\| \)

\( \left\|{AT}\right\|=\left\|{1,1/2a}\right\| \)

\( \left\|{AB}\right\|^2=\left\|{TB}\right\|^2+\left\|{AT}\right\|^2 \)

y de ahi busco donde se minimiza a, es correcto el planteo o hay otra manera de encararlo 

5
Cálculo 1 variable / Hallar el polinomio de Taylor de una función
« en: 24 Febrero, 2021, 09:06 pm »
Hola tengo el siguiente enunciado debe ser muy sencillo el tema es que aun no me cierra mucho el tema de como vincular una función con una serie

Dada la función \( f:A\to R /f(x)=\displaystyle\sum_{1}^n{\displaystyle\frac{(x-2)^n}{3n}} \)

Determinar el polinomio de Taylor de orden 2 en x=2

Bueno se que

\( P_2(x)=f(2)+f'(2)(x-2)+\dfrac{f''(2)}{2}(x-2)^2 \)

\( f(2)=\displaystyle\sum_{1}^2{\displaystyle\frac{(2-2)^2}{6}}=0 \)

ahora las derivadas no entiendo como obtenerlas  , es correcto si :

\( f'(x)=\displaystyle\sum_{1}^n{\displaystyle\frac{n(x-2)^{n-1}}{3n}}
 \)

\( f''(x)=\displaystyle\sum_{1}^n{\displaystyle\frac{n(n-1)(x-2)^{n-2}}{3n}}
 \)

 y remplazar por x=2 ? el problema que de esa manera me falta cual es valor de n , me pueden orientar por favor 

6
Hola tengo una duda con el enunciado me parece contradictorio las lo que se pide

Sea \( T:R^3 \to R^3/T(x.y,z)=(3x-3y+z,(k-1)y+3z.kz) \) para cierto k perteneciente a los reales , se sabe que existe un vector no nulo  \( v\in R^3 \)
tal que \( T(v)=2v \) y que T es un monomorfismo.

Consideremos las siguientes proposiciones

1 La matriz asociada en bases canónicas es diagonalizable
2 T no es isomorfo

No entiendo las proposiciones , o sea 2 es falsa , dado que el enunciado ya inidca que es un monomorfismo por ende debe ser epimorfimos para que se cumpla el teorema de las dimensiones , no ???

No se para que esta el dato de  \( T(v)=2v \) ??? si ni en 1 ni 2 me lo piden , entiendo que solo debo trabajar con la matriz asociada , alguna ayuda  ?

7
Cálculo 1 variable / Integral impropia
« en: 16 Febrero, 2021, 03:03 am »
Hola tengo el siguiente enunciado.

Con la información proporcionada por el siguiente gráfico, el valor de \( \displaystyle\int_{1}^{\infty}f(x)dx \) es:



Seleccione una:

\( \circ{}\,\dfrac{2}{3}\qquad\qquad
\circ{}\,2e^{-1}\qquad\qquad
\circ{}\,\dfrac{1}{4}e\qquad\qquad
\circ{}\,1\qquad\qquad
\circ{}\,\dfrac{3}{4} \)

Pude plantear que

\( \displaystyle\int_{1}^{\infty} \dfrac{ln(kx)}{x^3}=\dfrac{1}{4}(ln(k)+1) \)

el problema que encuentro es el como determinar k, dado que cuando hago

\( f(x)=\dfrac{e^2}{3} \)

es imposible despejar x por formas tradicionales , también se me vino a la cabeza el plantear que \( f'(x)=0 \), y con eso hallar el valor del punto en el cual la pendiente vale 0, pero sucede que tampoco puedo despejar la variable x , es posible que este mal el enunciado ??? o hay alguna otra manera de determinar el valor de k que no sea por los caminos que intente?

8
Cálculo 1 variable / duda con una serie
« en: 24 Diciembre, 2020, 03:16 am »
Hola tengo el siguiente enunciado 

\( \displaystyle\sum_{i=0}^{ \infty}{\dfrac{(-1)^n\cdot k^n \cdot 2^{n+1}}{7^n}} \)

Hallar los valores de k para los cuales la serie converge

Aplique el criterio de la raíz de Cauchi y llego a que

\( |k|<7/2 \)

sin embargo la respuesta es 

\( |k|<9/2 \)

no se de donde sale ese valor  :banghead:

9
Cálculo 1 variable / Funciones integrables
« en: 12 Diciembre, 2020, 03:34 pm »
Hola , tengo el siguiente enunciado  , es un verdadero falso
Si f y g son integrables en los reales tal que

\( \displaystyle\int_{1}^{5} f(x) dx+\displaystyle\int_{5}^{10} f(x)dx=3 \)  y

\( \displaystyle\int_{1}^{10} g(x)=1.5
 \)

entonces \( f(x)=2g(x) \)

intente lo siguiente

\( \displaystyle\int_{1}^{5} f(x) dx+\displaystyle\int_{5}^{10} f(x)dx=\displaystyle\int_{1}^{10} f(x)=3 \)

como f y g son integrables en el mismo intervalo planteo que

\( \displaystyle\int_{1}^{10} f(x) dx+\displaystyle\int_{1}^{10} g(x)dx=\displaystyle\int_{1}^{10} (f(x)+g(x))dx=3+1.5=4.5 \)

por lo que la afirmación es falsa, es correcto o me fui por las ramas 

10
Cálculo de Varias Variables / Continuidad de una función
« en: 09 Septiembre, 2020, 05:58 pm »
Tengo la siguiente función de la cual debo analizar su continuidad

\( f(x,y)=\dfrac{x-y}{x^2+y^2} \)

claramente en el origen tengo problemas de continuidad , si tomo la recta y=x el limite me queda 0, ahora si tomo los iterados x=0 el limite queda infinito , si tomo y=0 sucede lo mismo , la pregunta que tengo es ,
¿ si los iterados me dan limites infinitos alcanza para afirmar que f no es continua ?
Me cuesta encontrar otra curva que haga que el limite sea distinto de 0

11
Hola tengo el siguiente enunciado 

Sea \( f S\subset{R^2}\longrightarrow{\dfrac{R}{f(x,y)}}=\dfrac{arcsin(x^2-y^2)}{\sqrt {xy}} \)

Determine si S es acotado, si es abierto o cerrado, sus puntos interiores y frontera y el conjunto derivado de S, ¿S es compacto? Fundamente sus respuestas

Bueno lo que hice es lo siguiente

Puntos interiores

\( A=\left\{{X\in R^2}/-1<x^2-y^2<1, \quad xy>0\right\} \)

Puntos de frontera

\( B\left\{{X\in R^2}/-1=x^2-y^2\quad x^2+y^2=1\quad xy=0\right\} \)

aca tengo dudas, viendo el gráfico de f me don cuenta que no hay intersección entre las ecuaciones que planteo , entonces, B debería ser el conjunto vacio???

¿Cómo obtengo el conjunto derivado de S?

S no es acotado dado que no existe \( |z|=R \)/ contenga puntos interiores y exteriores

S es abierto  eso lo puedo ver por observación en el dibujo pero no entiendo como lo puedo justificar

S no es compacto , dado que por definición un conjunto compacto es cerrado y acotado


Me pueden orientar /corregir lo que vean que me fui por las ramas  ?? gracias 

12
Cálculo de Varias Variables / Duda con distancia de un punto a una recta
« en: 07 Septiembre, 2020, 03:32 pm »
Hola, tengo una duda con este tema , en especial cuando me piden calcular masas o centros de masa y me dicen en los enunciados que  "la densidad es proporcional a la distancia del punto P  a la recta de ecuacion \( x+y=1 \)"

La duda que me surge es , como defino la densidad?? si tomo los puntos de la recta \( A(x,1-x) \) y el punto \( P(x,y) \)

\( d(P,A)=\sqrt{(y+x-1)^2}=|x+y-1| \)

Pero después esta la formula \( d(A,r)=\dfrac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \) me queda

\( d(A,r)=\dfrac{|x+y-1|}{\sqrt{2}} \)

La diferencia esta en los denominadores , cual de las dos debo usar en los ejercicios ???


13
Cálculo de Varias Variables / Extremos condicionados
« en: 03 Julio, 2020, 05:21 pm »
Hola una consulta con este ejercicio , tengo que analizar los extremos de la siguiente función

\( f(x,y)=x^2+xy+y^2 \) en la region  \( R: x^2+y^2\leq{4}\quad x\leq{0} \)

Dibujando la region obtengo que los posibles extremos están en el interior, frontera y vértices

En el interior igualo, las derivadas parciales de f a 0 y con el criterio de le hessiano obtuve que A(0,0) es minimo

En la frontera \( R_1: x^2+y^2=4 \quad x\leq{0} \)

Utilizando Lagrange obtengo los puntos \( y=x\quad y=-x \) con

\( y=x \) obtengo el punto \( B(-\sqrt 2,-\sqrt 2) \) con

\( y=-x \) obtengo el punto \( C(-\sqrt 2,\sqrt 2) \)

En la frontera \( R_2: x^2+y^2\leq{4}\quad x=0 \)

Parametrizando como \( g(y)=(0,y) \) obtengo el punto \( D(0,0)=A \) también mínimo

La duda la tengo en los vértices \( R_3: x^2+y^2=4 \quad x=0 \)

Los puntos que obtengo son \( E(0,2)\quad F(0,-2) \)

pero en esos puntos \( f(0,2)=f(0,-2)=4 \) no sé como determinar si eso es un máximo relativo o mínimo dado que

\( f(A)=f(D)=0\quad \textrm{min  abs}\\\quad f(B)=6\quad \textrm{max abs}\\f(C)=2\quad \textrm{min rel} \\\quad f(D)=f(E)=4\quad ??? \)

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Tengo el siguiente enunciado

Dada la TL : \( T(x,y)=(x-2y,x+y) \) el subespacio S=gen{(4,2)} y el vector

\( \vec u=(1,a) \), determine los valores de a , si existen para que

\( \vec u\in T^{-1}(S) \)

Lo que intente fue \( T(\vec u)=S  \) , pero al hacer eso me queda un absurdo , por ende no existen valores de a, puede ser que este bien ?

15
Cálculo de Varias Variables / Diferenciabilidad de una función
« en: 03 Julio, 2020, 05:32 am »
Hola , me surgió una duda conceptual sobre este tema , yo tenia entendido que si una función es clase 1 en un punto  A entonces seguro la función es diferenciable.

Entonces para que una función sea diferenciable , ambas derivadas parciales tienen que ser continuas en A

Ahora entre en dudas , dado que encontre un apunte en el cual se afirma lo siguiente

"Se puede demostrar que es suficiente que una sola de las derivadas parciales sea continua para que la  función sea diferenciable"
El libro es el "analisis 2, Garcia/Venturini"

¿Esto es asi , o puede ser un error del libro?

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Hola tengo el siguiente enunciado , es un verdadero falso


La función  \( f:R^2\to R \) es derivable en toda dirección en cualquier punto de \( R^2 \) siendo

\( \hat r=(u,v) \), si  \( f' ((1,2)\cdot \hat r)=4u+3v^2\rightarrow{f(1,2)} \) puede ser un extremo local

Para mi es F, dado que puedo calcular las derivadas parciales y con ellas obtener el gradiente de f,

\( \nabla f(1,2)=(4,3)\neq (0,0) \), no cumple la condición necesaria , solo que no se si esta bien justificado

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Cálculo 1 variable / Microeconomía
« en: 27 Junio, 2020, 05:27 am »
Hola tengo el siguiente enunciado

La curva de demanda y de oferta respectivamente están dadas por las siguientes funciones: \( Qd_x = 6000-1000p \) y \( Qs_x= 2000p \)
El gobierno considera que el precio es demasiado alto y decide intervenir para reducirlo a la mitad por unidad vendida.
Tiene dos posibilidades: Establecer un precio máximo o conceder a los productores un subsidio por unidad vendida.

a) Calcule el precio y la cantidad intercambiada en el mercado sin intervención y con cada una de las medidas gubernamentales. (Realice los gráficos correspondientes)

b) Calcule la cuantía del subsidio, la expresión matemática de la nueva curva de oferta, así como el porcentaje del subsidio que repercute en los consumidores y el porcentaje que repercute en los productores.

c) Explique qué medida conviene más a los consumidores y que medida conviene a los productores

d) Calcule el costo para el gobierno de ambas medidas.

Lo que hice fue lo siguiente

a) Sin intervención

\( Qd_x=Qs_x\to 6000-1000p=2000p\to p=2\quad q=4000 \)

Después no me queda claro cuales son las ecuaciones con las medidas gubernamentales,  esta bien si :

Con subsidio al productor la curva de oferta no cambia , y la curva de demanda es

\( Qd_x=6000-500p \)  ??

¿El precio máximo de dónde lo saco  ?? En los ejercicios que hice me daban el valor numérico de dicho precio , pero acá no lo tengo , los demás items podría resolverlos teniendo lo del punto a) que justamente es donde me quedé  :(
 
 

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Cálculo de Varias Variables / Extremos
« en: 25 Junio, 2020, 03:55 pm »
Hola tengo el siguiente problema

Llamemos F a la ecuación

\( 3xyz+z^3y+z^2+x-y+zx-xy=0 \)

a) Verificar  que  \( (0-1,1) \) es solución de la ecuación  y utilizar el teorema de la función implícita para para mostrar que existe una función \( g(x,y) \) de clase infinita, definida en un entorno de \( (0,-1) \) en \( R^2 \) tal que la ecuación F se cumple para todo \( (x,y,z)=(x,y,g(x,y)) \)

b) Mostrar que \( (0,-1) \) es un punto crítico de g

c) Decidir si g tiene o no un extremo en (0,-1)

Bueno la parte a) b) no tuve problemas, en la parte c) ¿cómo hago para ver si g tiene o no un extremo dado que no tengo g? .

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Hola tengo que analizar los máximos y mínimos de la siguiente función

\( f(x,y)=x^2+xy+y^2 \)  en la región \( x^2+y^2\leq{8} \)

Tengo dudas en la frontera , cuando planteo

\( L(x,y,\lambda)=x^2+xy+y^2-\lambda(x^2+y^2-8) \)

obtengo los puntos

\( A(2,2)\quad B(2,-2)\quad C(2,-2)\quad D(-2,2) \)

Al ser la región compacta y acotada , el teorema de Weirstrass me garantiza la existencia de extremos , ahora como sé si esos extremos son máximos o mínimos sin recurrir al criterio del Hessiano?

Desde ya gracias por su tiempo 

20
Hola , tengo una duda con el siguiente ejercicio, .
Hallar la solución general de la ecuación diferencial

\( y''-y'=2x-1 \)

La solución general es de la forma \( y=y_h+y_p \)

Para \( y_h \) considero la base \( B=(1,e^x)=(y_1,y_2) \)

Por ende \( y_h=A+Be^x \)

Para \( y_p=u(x)+v(x)e^x \quad W=e^x\quad f(x)=2x-1 \)

Luego resuelvo
\(
u(x)=-\displaystyle\int \dfrac{y_2f(x)}{W}dx=-x^2+x \)

\(
v(x)=\displaystyle\int \dfrac{y_1f(x)}{W}dx=-e^{-x}(2x+1) \)

Reemplazando , la solución general me queda

\( y=A+Be^x-x^2-x-1 \)

Sin embargo por coeficientes indeterminados me queda

\( y=A+Be^x-x^2-x \) lo cual verifique en Wolfram.

Me pueden orientar por favor , ese 1 que queda a ahí no me lo puedo sacar de encima

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