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Último Teorema de Fermat
Una demostración algebraica
Enunciado:
Si \( n \) es un número positivo mayor o igual que 3, entonces no existen números enteros positivos \( x, y, z \), tales que se cumpla la igualdad:
\( x^n + y^n = z^n \)
Para demostrarlo, se utilizará el método por Contraejemplo y se reformulará el enunciado anterior además se ampliará a los racionales, puesto que todo número racional es el cociente de dos números enteros. Tenemos entonces el siguiente enunciado:
Enunciado:
Para todo \( n ≥ 1 \), existen racionales positivos \( a, b , c \), tales que se cumpla la igualdad: (REF.01)
\( a^n + b^n = c^n \)
Consideremos las siguientes condiciones:
1. \( \mathbb{N}\subseteq n \)
2. \( a<b<c \)
3. \( \left\{a,\ b,\ c\right\}\in\mathbb{Q} \)
De las condiciones anteriores, podemos establecer que la expresión de (REF.01) tiene los siguientes rangos y dominios:
Puesto que \( n \) contienen a todos los naturales, tiene su dominio en los enteros positivos, entonces:
\( n=1,\ \ldots,\ +\infty \)
Ya que \( \left\{a,\ b,\ c\right\}\in\mathbb{Q} \) y estos son positivos, además están restringidos según Condición 3, entonces:
\( a=\ \frac{u}{v};\ \left\{u,\ v\right\}\in\mathbb{N};u\geq1,\ v\geq1,\ por\ tanto:\ \frac{u}{v},\ \ldots,+\infty \)
\( b=a+\frac{1}{v},\ \ldots,+\infty \)
\( c=b+\frac{1}{v},\ \ldots,+\infty \)
Podemos establecer que la expresión de (REF.01) tiene las siguientes propiedades:
1. Conmutativa:
Consideremos la expresión \( w_0^{n_1n_2} \) donde \( w_0\in\mathbb{Q} \); por las propiedades de los exponentes podemos reescribirla como \( \left(w_0^{n_1}\ \right)^{n_2} \) o como \( \left(w_0^{n_2}\ \right)^{n_1} \).
Considerando la expresión de (REF.01), podemos reescribirla utilizando la propiedad de los exponentes descrita anteriormente:
\( (a^{n/k})^k \) + \( (b^{n/k})^k \) = \( (c^{n/k})^k \)
Donde \( k\in\mathbb{N} \)
2. Terna de Unidad:
Si la expresión de (REF.01) es dividida entre \( c^n \) obtenemos:
(REF.02)
\( 1=\ \left(\frac{a}{c}\right)^n+\left(\frac{b}{c}\right)^n \) es equivalente a \( 1=\ P^n+\ Q^n \)
Donde \( P,\ Q\in\mathbb{Q} \)
3. Pertenencia:
Para \( n=1 \), tenemos el caso: \( a+b=c \).
Tomando en cuenta el dominio de (REF.01) habrá valores tales que:
\( a=\ a_1^n \)
\( b=\ b_1^n \)
\( c=\ c_1^n \)
donde \( a_1,\ b_1,\ c_1\in\mathbb{Q} \), tenemos entonces:
\( a_1^n+\ b_1^n=\ c_1^n \)
De modo que para el caso \( n=1 \), este contendrá las soluciones racionales \( a,\ b,\ c \) para cualquier \( n>1 \).
\( \left(soluciones\ a,b,c\ para\ n>1\right)\subseteq\left(soluciones\ a,b,c\ para\ n=1\right) \)
Con las propiedades descritas anteriormente, podemos establecer ciertos principios que cumple la expresión de (REF.01).
1. Relación de estructura:
Reescribiendo la expresión de (REF.01) de acuerdo a la Propiedad Conmutativa:
\( (a^{n/k})^k \) + \( (b^{n/k})^k \) = \( (c^{n/k})^k \)
Podemos establecer que:
\( (a^{n/k})^k=A_0^k \)
\( (b^{n/k})^k=A_1^k \)
\( (c^{n/k})^k=A_2^k \)
Por tanto:
(REF.03)
\( A_0^k\ \ \ +\ \ \ A_1^k\ \ \ =\ \ \ A_2^k \)
Sucede algo interesante, supóngase que encontremos una forma de generar racionales para el exponente \( k \) de acuerdo a la expresión de (REF.03) se sigue entonces que la expresión de (REF.01) es igual a (REF.03), por tanto: (REF.04)
\begin{pmatrix}{(a^{n/k})^k=A_0^k}\\{(b^{n/k})^k=A_1^k}\\{(c^{n/k})^k=A_2^k}\end{pmatrix} Despejamos las expresiones \( a, b, c \) del lado izquierdo y tenemos: \begin{pmatrix}{a=\sqrt[ n]{A_0^k}}\\{b=\sqrt[ n]{A_1^k}}\\{c=\sqrt[ n]{A_2^k}}\end{pmatrix}
Esto nos demuestra dos cosas:
1. Existe una relación de estructura de (REF.03) con la expresión de (REF.01).
2. En consecuencia del punto anterior, si encontramos una estructura que genere racionales para (REF.03), podemos utilizar dicha estructura para determinar si también podemos generarlos para todo \( n \). Dicha relación se establece en (REF.04).
Si sustituimos los valores de (REF.04) en la expresión de (REF.01) obtenemos:
\( A_0^k\ \ \ +\ \ \ A_1^k\ \ \ =\ \ \ A_2^k \)
Para lo cual tenemos dos casos:
CASO 1:
\( A_0,\ A_1,\ A_2\in\mathbb{Q} \), eso se debe a que \( k \) es un número natural, entonces \( k\in\mathbb{N} \), por (REF.01) se tiene entonces que existirán racionales positivos \( A_0,\ A_1,\ A_2 \)
CASO 2:
\( A_0,\ A_1,\ A_2 \) son irracionales especiales, por ejemplo:
\( \left(\sqrt[3]{9}\right)^3 \)+\( \left(\sqrt[3]{16}\right)^3 \)=\( \left(\sqrt[3]{25}\right)^3 \)
Podemos establecer: \( 9 + 16 = 25 \)
Por lo cual:
\( A_0=\ \sqrt[3]{9} \)
\( A_1=\ \sqrt[3]{16} \)
\( A_2=\ \sqrt[3]{25} \)
Esto nos demuestra que la hipotética estructura en (REF.03) puede contener a \( A_0,\ A_1,\ A_2 \) como irracionales especiales.
Obsérvese en (REF.03) que esta es generada por los valores de (REF.04) en la expresión de (REF.01) y que la expresión de (REF.01) para todo \( n \) tiene racionales positivos \( a,\ b,\ c \), por tanto \( A_0^k,\ A_1^k,\ A_2^k \) deben pertenecer a los racionales.
2. Conjunto de ternas de unidad:
Consideremos \( a^n + b^n = c^n \); por la Propiedad Conmutativa podemos reescribirla:
\( (a^{n/k})^k \) + \( (b^{n/k})^k \) = \( (c^{n/k})^k \); \( k\in\mathbb{N} \)
\( A_0^k\ \ \ +\ \ \ A_1^k\ \ \ =\ \ \ A_2^k \)
Por (REF.01) se tiene que habrá racionales \( A_0,\ A_1,\ A_2 \)
Por (REF.02): \( 1=\ \left(\frac{A_1}{A_3}\right)^k+\left(\frac{A_2}{A_3}\right)^k \), eso implica que \( 1=\ P_1^k+\ Q_1^k \)
Si \( n=s;s\in\mathbb{N} \):
\( (a^{s/k})^k \) + \( (b^{s/k})^k \) = \( (c^{s/k})^k \); \( k\in\mathbb{N} \)
\( A_3^k\ \ \ +\ \ \ A_4^k\ \ \ =\ \ \ A_5^k \)
Por (REF.01) se tiene que habrá racionales \( A_3,\ A_4,\ A_5 \)
Por (REF.02): \( 1=\ \left(\frac{A_3}{A_5}\right)^k+\left(\frac{A_4}{A_5}\right)^k \), eso implica que \( 1=\ P_2^k+\ Q_2^k \)
Si \( n=s+1;s\in\mathbb{N} \):
\( (a^{s+1/k})^k \) + \( (b^{s+1/k})^k \) = \( (c^{s+1/k})^k \); \( k\in\mathbb{N} \)
\( A_6^k\ \ \ +\ \ \ A_7^k\ \ \ =\ \ \ A_8^k \)
Por (REF.01) se tiene que habrá racionales \( A_6,\ A_7,\ A_8 \)
Por (REF.02): \( 1=\ \left(\frac{A_6}{A_8}\right)^k+\left(\frac{A_7}{A_8}\right)^k \), eso implica que \( 1=\ P_3^k+\ Q_3^k \)
Por tanto, habrá infinitas ternas. Ya que \( k\in\mathbb{N} \), y que \( \mathbb{N}\subseteq n \), entonces habrá infinitas ternas también para \( n \). Denotemos a estas ternas como:
(REF.05)
\( 1=\ P_n^n+\ Q_n^n \)
Donde \( P_n,\ Q_n\in\mathbb{Q} \)
2.1 Multiplicación por terna de unidad:
Sea \( z_1 \) un racional positivo cualquiera, elevemos \( z_1\ \) a la potencia \( n \) y la multiplicamos por (REF.05), tenemos entonces:
(REF.06)
\( z_1^n=\ \left(z_1P_n\right)^n+\left(z_1Q_n\right)^n \)
Un número racional positivo \( z_1 \) cualquiera, al elevarlo a la potencia \( n \) puede escribirse como la suma de dos racionales positivos elevados a la potencia \( n \) cada uno.
Ya que (REF.05) tiene infinitas ternas, entonces (REF.06) tendrá también infinitas formas de ternas.
De lo anterior sucede algo interesante, si sustituimos \( z_1 \) con los racionales positivos \( a, b, c \) de (REF.01) en (REF.06) tenemos:
\begin{pmatrix}{a^n=\ \left(aP_n\right)^n+\ \left(aQ_n\right)^n}\\{b^n=\ b^n}\\{c^n=\ c^n}\end{pmatrix} \( a^n \) es la suma de dos racionales positivos elevados a la potencia \( n \) cada uno
(REF.07)
\begin{pmatrix}{a^n=\ a^n}\\{b^n=\ \left(bP_n\right)^n+\ \left(bQ_n\right)^n}\\{c^n=\ c^n}\end{pmatrix} \( b^n \) es la suma de dos racionales positivos elevados a la potencia \( n \) cada uno
\begin{pmatrix}{a^n=\ a^n}\\{b^n=\ b^n}\\{c^n=\ \left(cP_n\right)^n+\ \left(cQ_n\right)^n}\end{pmatrix} \( c^n \) es la suma de dos racionales positivos elevados a la potencia \( n \) cada uno
Enfoquémonos en (REF.07) y consideremos la terna \( b^n=\ m_1^n+\ r_1^n \) donde \( m_1,\ r_1\ \in\mathbb{Q} \).
Sea \( m_1\ \)un valor específico, ¿es posible que exista un valor de \( b\ \) que cumpla dicha igualdad?
Comparemos (REF.07) con \( b^n=\ m_1^n+\ r_1^n \)
\( b^n=\ \left(bP_n\right)^n+\ \left(bQ_n\right)^n \)
Podemos establecer:
\( b^n=\ m_1^n+\ r_1^n \)
Igualando: \( m_1^n=\ \left(bP_n\right)^n \),despejando \( b \) tenemos:
\( b=\ \frac{m_1}{P_n} \), luego \( r_1=\ \frac{m_1Q_n}{P_n} \)
Por tanto: (REF.08)
Existe un valor de \( b \) tal que \( b^n=\ m_1^n+\ r_1^n \); donde \( {b,\ m}_1,\ r_1\ \in\mathbb{Q} \) cuando \( m_1 \) es un valor específico.
Para demostrar el enunciado (REF.01) utilizaremos sus propiedades y principios, recordemos que estas propiedades son verdaderas solo si el enunciado es verdadero
Sea la expresión:(REF.09)
\( a_n^n+\ b_n^n=\ c_n^n \)
La expresión anterior es subgrupo de la expresión (REF.01), por tanto, todas sus propiedades y principios se heredan.
Por (REF.01), tenemos que \( a_n,\ b_n,\ c_n\ \in\mathbb{Q} \) (REF.10)
Estudiemos el caso \( n=1 \), esto es: \( a_1+\ b_1=\ c_1 \)
Dentro del conjunto de soluciones racionales positivos de (REF.10) sabemos que, por la propiedad de Pertenencia, que las soluciones para \( n>1 \), están contenidas en (REF.10).(REF.11)
Entonces \( c_1 \) contendrá un valor racional para \( n>1 \). (REF.12)
Por (REF.06) podemos dividir \( c_1 \) en suma de racionales:
\( {c_1.1=\ c_1.P}_n+\ c_1.Q_n \), por tanto \( c_1=x+y;\ \ \ x,y\ \in\mathbb{Q} \)
Estudiemos el caso \( n=2 \), esto es: \( a_2^2+\ b_2^2=\ c_2^2 \)
Por (REF.11), podemos tomar (REF.12), ya que \( c_{2\ }\subseteq\ c_1 \), tenemos:
\( a_2^2+\ b_2^2=\ \left(x+y\right)^2 \)
Desarrollando:
\( x^2+2xy+y^2=\ \left(x+y\right)^2 \)
Podemos establecer:
\begin{pmatrix}{a_2^2\ =\ x^x}\\{b_2^2=2xy+\ y^2}\\{c_2^2=\ \left(x+y\right)^2}\end{pmatrix}, eso implica que \begin{pmatrix}{a_2=x}\\{c_2=x+y}\\{}\end{pmatrix}
Evaluemos \( b_2^2=2xy+\ y^2 \)
Sea \( x=ky;k\ es\ entero\ o\ una\ fracción \)
Sustituyendo tenemos:
\( b_2^2=2ky^2+\ y^2 \), agrupando por factor común: \( b_2^2=y^2\left(2k+1\right) \)
Entonces: \( 2k+1=\ s^2;s\ es\ un\ entero\ o\ una\ fracción \)
Despejamos y tenemos: \( k=\ \frac{s^2-1}{2} \)
Conociendo el valor de \( k \), entonces \( a_2,\ b_2,\ c_2 \) toman sus valores:
\begin{pmatrix}{a_2=\ \left(\frac{s^2-1}{2}\right)y}\\{b_2=sy}\\{c_2=\ \left(\frac{s^2+1}{2}\right)y}\end{pmatrix}, Terna racional para \( n = 2 \)
\( s,y \) enteros o racionales
Por (REF.04) podemos utilizar esta estructura para (REF.09), entonces tenemos:
(REF.13)
\begin{pmatrix}{a_n=\ \sqrt[n]{y^2\left(\frac{s^2-1}{2}\right)^2}}\\{b_n=\sqrt[n]{y^2s^2}}\\{c_n=\ \sqrt[n]{y^2\left(\frac{s^2+1}{2}\right)^2}}\end{pmatrix}, Terna para (REF.09)
Bastaría entonces determinar si existen valores \( s, y \) que puedan generar \( a_n,\ b_n,\ c_n \) como racionales.
Por (REF.06) podemos reescribir (REF.09) de la siguiente manera:
\( c_n^n=\left(c_nP_n\right)^n+\left(c_nQ_n\right)^n \), esto equivale a \begin{pmatrix}{a_n^n=\left(c_nP_n\right)^n}\\{b_n^n=\left(c_nQ_n\right)^n}\\{c_n^n=c_n^n}\end{pmatrix}
Si \( c_n=u_1.v_1 \); \( c_n \) es el producto de dos variables, entonces tenemos dos casos:
Caso 1: \( u_1,v_2 \) son racionales, por tanto:
\( a_n^n\ \ \ \ \ +\ \ \ \ \ \ b_n^n\ \ \ \ \ =\ \ \ \ \ \ c_n^n \)
Podemos establecer:
\( u_1^n.\left(v_1P_n\right)^n+u_1^n{.\left(v_1Q_n\right)}^n=\left(u_1\right)^n.\left(v_1\right)^n \)
Entonces: \begin{pmatrix}{a_n\ es\ el\ producto\ de\ dos\ racionales}\\{b_n\ es\ el\ producto\ de\ dos\ racionales}\\{c_n\ es\ el\ producto\ de\ dos\ racionales}\end{pmatrix}
Caso 2: \( u_1,v_2 \) son irracionales especiales, por tanto:
\( a_n^n\ \ \ \ \ +\ \ \ \ \ \ b_n^n\ \ \ \ \ =\ \ \ \ \ \ c_n^n \)
Podemos establecer:
\( u_1^n.\left(v_1P_n\right)^n+u_1^n{.\left(v_1Q_n\right)}^n=\left(u_1\right)^n.\left(v_1\right)^n \)
Entonces: \begin{pmatrix}{a_n\ es\ el\ producto\ de\ dos\ irracionales\ especiales}\\{b_n\ es\ el\ producto\ de\ dos\ irracionales\ especiales}\\{c_n\ es\ el\ producto\ de\ dos\ irracionales\ especiales}\end{pmatrix}
Supongamos que \( u_1,v_2 \) son racionales, entonces \( b_n\ es\ el\ producto\ de\ dos\ racionales \).
Elevemos (REF.13) a la potencia \( n \) y tenemos:
Terna elevada a \( n \): \begin{pmatrix}{a_n^n=\ y^2\left(\frac{s^2-1}{2}\right)^2}\\{b_n^n=y^2s^2}\\{c_n^n=\ y^2\left(\frac{s^2+1}{2}\right)^2}\end{pmatrix}
Por lo cual, las variables \( y^2{,s}^2 \) toman valores racionales, esto es: \( y^2=m^n, s^2=w^n \), donde \( m, w \) son racionales, entonces (REF.13) la reescribimos de la siguiente manera:
(REF.14)
Terna para cualquier \( n \): \begin{pmatrix}{a_n=\ m\sqrt[n]{\left(\frac{w^n-1}{2}\right)^2}}\\{b_n=m.w}\\{m\sqrt[n]{\left(\frac{w^n+1}{2}\right)^2}}\end{pmatrix}
Si \( u_1,v_2 \) fueran irracionales, entonces habría que considerar a \( m, w \) como irracionales especiales tales que cumplan (REF.14) con \( a_n,\ b_n,\ c_n \in\mathbb{Q} \).
Si despejamos \( m^n, w^n \) de \( a_n \) y \( c_n \) tenemos:
(REF.15)
\( m^n=\ c_n^n+a_n^n+2\sqrt{c_n^na_n^n} \)
(REF.16)
\( w^n=\ \frac{c_n^n-a_n^n}{c_n^n+a_n^n+2\sqrt{c_n^na_n^n}} \)
Con los valores anteriores, podemos obtener \( a_n \) y \( c_n \) como racionales.
Si despejamos \( c_n^n \) en (REF.15) y lo sustituimos en (REF.16) tenemos:
\( m^n.w^n=\ m^n+2\sqrt{a_n^nm^n}\ \), ya que \( m^n.w^n=\ b_n^n \), entonces:
\( b_n^n=\ m^n+2\sqrt{a_n^nm^n} \)
Por (REF.08) sabemos que habrá un valor de \( b_n^n \) tal que:
\( b_n^n=\ m^n+r^n \)
Donde \( b_n,m,\ r\ \in\mathbb{Q}\ \)
Entonces:
\( m^n+r^n=\ m^n+2\sqrt{a_n^nm^n} \)
Despejamos \( a_n \), luego tenemos la terna:
(REF.17)
\begin{pmatrix}{a_n=\frac{r^2}{m}\sqrt[ n]{\frac{1}{4}}}\\{b_n^n=\ m^n+r^n}\\{c_n=\ \sqrt[n]{\left(\sqrt{m^n}+\frac{r^n}{2\sqrt{m^n}}\right)^2}}\end{pmatrix}
(REF.17) es subconjunto de (REF.07).
Vemos que para los casos \( n=1 \), \( n=2 \); podemos obtener valores racionales para \( a_n,\ b_n,\ c_n \). Pero para \( n\geq3 \), vemos que \( a_n \) será un irracional, puesto que \( m,\ r\ \in\mathbb{Q} \)
Recordemos que (REF.09) es subconjunto de la expresión de (REF.01).
Aplicando las propiedades y principios de (REF.01) sobre (REF.09), se determinó que (REF.09) no cumple el enunciado (REF.01), por lo cual (REF.09) es un Contraejemplo de (REF.01), por tanto (REF.01) es falso.
CORREGIDO
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Enunciado: (REF.01)
Para todo \( n ≥ 1 \), existen racionales positivos \( a, b , c \), tales que se cumpla la igualdad:
\( a^n + b^n = c^n \)
Consideremos las siguientes condiciones:
\( \mathbb{N}\subseteq n \)
\( a<b<c \)
\( {a,\ b,\ c}\in\mathbb{Q} \)
De las condiciones anteriores, podemos establecer que la expresión de (REF.01) tiene los siguientes rangos y dominios:
Hola.
No sé aún de qué va, pero es obvio que no existen (teniendo en cuenta que el teorema ya está demostrado para enteros).
Suponiendo enteros a,b,c,x,y,z:
\( \dfrac{a}{x^{n}}^{n}+\dfrac{b^{n}}{y^{n}}=\dfrac{c^{n}}{z^{n}}
\)
\( \dfrac{a^{n}}{x^{n}}(xyz)^{n}+\dfrac{b^{n}}{y^{n}}(xyz)^{n}=\dfrac{c^{n}}{z^{n}}(xyz)^{n}
\)
\( (ayz)^{n}+(bxz)^{n}=(cxy)^{n}
\)
Entonces, si la igualdad existiera para racionales, existiría para enteros también necesariamente.
Saludos.
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Perdona, no había terminado de redactar. Tu observación ejemplifica mi punto, muchas gracias por tu aporte
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Hola
La demostración no está bien.
Los problemas empiezan en esta afirmación, que no tengo claro que significado le has querido dar exactamente.
Esto nos demuestra dos cosas:
1. Existe una relación de estructura de (REF.03) con la expresión de (REF.01).
2. En consecuencia del punto anterior, si encontramos una estructura que genere racionales para (REF.03), podemos utilizar dicha estructura para determinar si también podemos generarlos para todo \( n \). Dicha relación se establece en (REF.04).
Tal como está escrito (2) da a a entender que si tenemos racionales que cumplan \( A_0^k+A_1^k=A_2^k \), podemos obtener para cualquier \( n \), racionales que cumplan \( a^n+b^n=c^n \) para cualquier \( n \). Lo cual NO es cierto. Porque lo que haces es tomar \( a=\sqrt[n]{A_0^k} \) (y lo análogo para las otras variables) que NO tiene porque ser racional.
Digo "da a entender" porque después, en un primer momento, parece que eres consciente de esto, cuando continúas:
Si sustituimos los valores de (REF.04) en la expresión de (REF.01) obtenemos:
\( A_0^k\ \ \ +\ \ \ A_1^k\ \ \ =\ \ \ A_2^k \)
Para lo cual tenemos dos casos:
CASO 1:
\( A_0,\ A_1,\ A_2\in\mathbb{Q} \), eso se debe a que \( k \) es un número natural, entonces \( k\in\mathbb{N} \), por (REF.01) se tiene entonces que existirán racionales positivos \( A_0,\ A_1,\ A_2 \)
CASO 2:
\( A_0,\ A_1,\ A_2 \) son irracionales especiales, por ejemplo:
\( \left(\sqrt[3]{9}\right)^3 \)+\( \left(\sqrt[3]{16}\right)^3 \)=\( \left(\sqrt[3]{25}\right)^3 \)
Podemos establecer: \( 9 + 16 = 25 \)
Por lo cual:
\( A_0=\ \sqrt[3]{9} \)
\( A_1=\ \sqrt[3]{16} \)
\( A_2=\ \sqrt[3]{25} \)
Esto nos demuestra que la hipotética estructura en (REF.03) puede contener a \( A_0,\ A_1,\ A_2 \) como racionales especiales.
Ahí si pareces notar que esa relación entre soluciones para exponente distintos es un tanto falaz ya que si son racionales para un mismo exponente nada garantiza que lo sean para el otro.
Por cierto donde pusiste racionales especiales no se si querías poner irracionales especiales.
El caso es que después llega un momento en que todo el razonamiento lo haces bajo la siguiente premisa:
Por (REF.04) podemos utilizar esta estructura para (REF.09), entonces tenemos:
(REF.13)
\begin{pmatrix}{a_n=\ \sqrt[n]{y^2\left(\frac{s^2-1}{2}\right)^2}}\\{b_n=\sqrt[n]{y^2s^2}}\\{c_n=\ \sqrt[n]{y^2\left(\frac{s^2+1}{2}\right)^2}}\end{pmatrix}, Terna para (REF.09)
Nada te garantiza que una posible solución RACIONAL para \( n=3 \) provenga de una solución RACIONAL para \( n=2 \).
Entonces si en lo sigue utilizas que \( y,s \) son racionales, sólo estás estudiando la posible existencia de soluciones racionales para otro exponente que al mismo tiempo provengan de soluciones racionales para exponente dos. Por tanto NO descartas que pudieran existir soluciones racionales para exponente \( n>2 \) que NO provengan de soluciones racionales para exponente dos. Esto ya invalida la demostración.
Por en medio hay alguna cosa rara. Dices:
Si \( c_n=u_1.v_1 \); \( c_n \) es el producto de dos variables, entonces tenemos dos casos:
Cualquier número real se puede poner como producto de otros dos. Si el número es racional siempre se puede poner como producto de dos racionales. No veo para que haces ese estudio; y realmente no veo que lo uses después en nada útil.
Si \( u_1,v_2 \) fueran irracionales, entonces habría que considerar a \( m, w \) como irracionales especiales tales que cumplan (REF.14) con \( a_n,\ b_n,\ c_n \in\mathbb{Q} \).
Aquí parece que te das cuenta de la crítica que te hacía; pareciera que dejas la puerta abierta a explorar que ocurre si realmente la terna de racionales para el caso \( n \) proviene de una terna de NO racionales para el caso \( n=2 \); digo parece porque no se si quisiste decir eso. Sea como sea es un camino que NO explorar. Queda en el olvido en lo que sigue.
\( b_n^n=\ m^n+2\sqrt{a_n^nm^n} \) (*)
Por (REF.08) sabemos que habrá un valor de \( b_n^n \) tal que:
\( b_n^n=\ m^n+r^n \) (**)
Donde \( b_n,m,\ r\ \in\mathbb{Q}\ \)
Aquí no se con que derecho supones que el \( m \) de (*) y el \( m \) de (**) que viene de la descomposición que razonas en REF.08 tienen que ser el mismo. A priori podrían ser "emes diferentes".
Saludos.
-
Hola
La demostración no está bien.
Los problemas empiezan en esta afirmación, que no tengo claro que significado le has querido dar exactamente.
Esto nos demuestra dos cosas:
1. Existe una relación de estructura de (REF.03) con la expresión de (REF.01).
2. En consecuencia del punto anterior, si encontramos una estructura que genere racionales para (REF.03), podemos utilizar dicha estructura para determinar si también podemos generarlos para todo \( n \). Dicha relación se establece en (REF.04).
Tal como está escrito (2) da a a entender que si tenemos racionales que cumplan \( A_0^k+A_1^k=A_2^k \), podemos obtener para cualquier \( n \), racionales que cumplan \( a^n+b^n=c^n \) para cualquier \( n \). Lo cual NO es cierto. Porque lo que haces es tomar \( a=\sqrt[n]{A_0^k} \) (y lo análogo para las otras variables) que NO tiene porque ser racional.
Digo "da a entender" porque después, en un primer momento, parece que eres consciente de esto, cuando continúas:
Si sustituimos los valores de (REF.04) en la expresión de (REF.01) obtenemos:
\( A_0^k\ \ \ +\ \ \ A_1^k\ \ \ =\ \ \ A_2^k \)
Para lo cual tenemos dos casos:
CASO 1:
\( A_0,\ A_1,\ A_2\in\mathbb{Q} \), eso se debe a que \( k \) es un número natural, entonces \( k\in\mathbb{N} \), por (REF.01) se tiene entonces que existirán racionales positivos \( A_0,\ A_1,\ A_2 \)
CASO 2:
\( A_0,\ A_1,\ A_2 \) son irracionales especiales, por ejemplo:
\( \left(\sqrt[3]{9}\right)^3 \)+\( \left(\sqrt[3]{16}\right)^3 \)=\( \left(\sqrt[3]{25}\right)^3 \)
Podemos establecer: \( 9 + 16 = 25 \)
Por lo cual:
\( A_0=\ \sqrt[3]{9} \)
\( A_1=\ \sqrt[3]{16} \)
\( A_2=\ \sqrt[3]{25} \)
Esto nos demuestra que la hipotética estructura en (REF.03) puede contener a \( A_0,\ A_1,\ A_2 \) como racionales especiales.
Ahí si pareces notar que esa relación entre soluciones para exponente distintos es un tanto falaz ya que si son racionales para un mismo exponente nada garantiza que lo sean para el otro.
El propósito es demostrar efectivamente que existen tanto valores racionales como irracionales para esas variables.
Por cierto donde pusiste racionales especiales no se si querías poner irracionales especiales.
Efectivamente, perdón por el error.
El caso es que después llega un momento en que todo el razonamiento lo haces bajo la siguiente premisa:
Por (REF.04) podemos utilizar esta estructura para (REF.09), entonces tenemos:
(REF.13)
\begin{pmatrix}{a_n=\ \sqrt[n]{y^2\left(\frac{s^2-1}{2}\right)^2}}\\{b_n=\sqrt[n]{y^2s^2}}\\{c_n=\ \sqrt[n]{y^2\left(\frac{s^2+1}{2}\right)^2}}\end{pmatrix}, Terna para (REF.09)
Nada te garantiza que una posible solución RACIONAL para \( n=3 \) provenga de una solución RACIONAL para \( n=2 \).
Claro que una solución racional para determinado \( n \) no necesariamente pueda generar otra solución racional para otra \( n \), lo que interesa es ver la relación de estructura que existe en cada caso \( n \), dicha relación esta establecida en (REF.04), por ejemplo: considera esta expresión: \( a + b = c \), sustituimos las letras por paréntesis y tenemos esta estructura: ( ) + ( ) = ( ), podemos utilizarla para realizar una suma, si nos enfocamos en los enteros positivos, por ejemplo sería: (5) + (4) = (9), pero también podemos utilizar esa misma ESTRUCTURA de suma para números enteros negativos: (-5) + (-6) = (-11), aunque la primera estructura nos funciona para números enteros positivos dándonos un resultado de entero positivo, también la podemos utilizar para suma de enteros negativos, lo que nos interesa es la ESTRUCTURA que genera \( a, b \) para obtener \( c \)
Entonces si en lo sigue utilizas que \( y,s \) son racionales, sólo estás estudiando la posible existencia de soluciones racionales para otro exponente que al mismo tiempo provengan de soluciones racionales para exponente dos. Por tanto NO descartas que pudieran existir soluciones racionales para exponente \( n>2 \) que NO provengan de soluciones racionales para exponente dos. Esto ya invalida la demostración.
Ya explique este punto, lo que se demuestra en (REF.04) es que existe una relación de estructura, pondré un ejemplo numérico:
Utilizaremos la expresión de (REF.13)
\begin{pmatrix}{a_n=\ \sqrt[n]{y^2\left(\frac{s^2-1}{2}\right)^2}}\\{b_n=\sqrt[n]{y^2s^2}}\\{c_n=\ \sqrt[n]{y^2\left(\frac{s^2+1}{2}\right)^2}}\end{pmatrix},
Ahora sustituimos n=3:
\begin{pmatrix}{a_3=\ \sqrt[3]{y^2\left(\frac{s^2-1}{2}\right)^2}}\\{b_3=\sqrt[3]{y^2s^2}}\\{c_3=\ \sqrt[3]{y^2\left(\frac{s^2+1}{2}\right)^2}}\end{pmatrix},
Dando valor a las variables \( y, s \)
\( y = 19 \), \( s = \sqrt[ ]{\frac{35}{19}} \)
Obtenemos:
\( (4)^3+(\sqrt[ 3]{665})^3 = (9)^3 \)
\( y = \frac{\sqrt[ ]{125}}{\sqrt[ ]{\frac{179}{125}+\sqrt[ ]{\frac{65664}{62500}}}} \), \( s = \sqrt[ ]{\frac{179}{125}+\sqrt[ ]{\frac{65664}{62500}}} \)
Obtenemos:
\( (3)^3+(5)^3 = (\sqrt[3]{152})^3 \)
\( y = 2 \), \( s = 3 \)
Obtenemos:
\( (4)^3+(\sqrt[ 3]{36})^3 = (\sqrt[3]{100})^3 \)
\( y = 2 \), \( s = \sqrt[ ]{2} \)
\( (1)^3+(2)^3 = (\sqrt[3]{9})^3 \)
Como ves, la ESTRUCTURA es la misma para cualquier \( n \), tal como se describe esta relación en (REF..04), por lo tanto, habría que determinar si existen valores \( s, y \) que generen racionales para todo \( n \)
Por en medio hay alguna cosa rara. Dices:
Si \( c_n=u_1.v_1 \); \( c_n \) es el producto de dos variables, entonces tenemos dos casos:
Cualquier número real se puede poner como producto de otros dos. Si el número es racional siempre se puede poner como producto de dos racionales. No veo para que haces ese estudio; y realmente no veo que lo uses después en nada útil.
Claro que sí y esta es muy importante, esto nos permite dividir \( c_n \) en el producto de dos números ya sean racionales o irracionales, para que luego los valores \( a_n, b_n \) se pueda dividir en producto de dos números ya sean racionales o irracionales, lo que deriva en las variables \( m, w \)
Si \( u_1,v_2 \) fueran irracionales, entonces habría que considerar a \( m, w \) como irracionales especiales tales que cumplan (REF.14) con \( a_n,\ b_n,\ c_n \in\mathbb{Q} \).
Aquí parece que te das cuenta de la crítica que te hacía; pareciera que dejas la puerta abierta a explorar que ocurre si realmente la terna de racionales para el caso \( n \) proviene de una terna de NO racionales para el caso \( n=2 \); digo parece porque no se si quisiste decir eso. Sea como sea es un camino que NO explorar. Queda en el olvido en lo que sigue.
Efectivamente esa es la idea.
\( b_n^n=\ m^n+2\sqrt{a_n^nm^n} \) (*)
Por (REF.08) sabemos que habrá un valor de \( b_n^n \) tal que:
\( b_n^n=\ m^n+r^n \) (**)
Donde \( b_n,m,\ r\ \in\mathbb{Q}\ \)
Aquí no se con que derecho supones que el \( m \) de (*) y el \( m \) de (**) que viene de la descomposición que razonas en REF.08 tienen que ser el mismo. A priori podrían ser "emes diferentes".
Si te sitúas en (REF.08) el valor de \( m_1 \), al que se refiere, es a un valor ESPECÍFICO, quiere decir que puede ser CUALQUIER VALOR, por tanto puede ser \( m \)
Voy a ejemplificarlo para el caso n = 2
Usemos la expresión de (REF.08)
\( b^2=\ m_1^2+\ r_1^2 \)
Sea el valor específico \( m_1 \) = 3, entonces tenemos:
\( (5)^2=\ 3^2+\ (4)^2 \)
\( (\frac{39}{5})^2=\ 3^2+\ (\frac{36}{5})^2 \)
\( (\frac{75}{7})^2=\ 3^2+\ (\frac{72}{7})^2 \)
Como ves, \( m_1 \), puede ser cualquier valor, siempre existirá un valor de \( b \) que lo cumpla
Saludos.
Saludos a ti también, muchas gracias por haberlo leído y por tus comentarios
-
Hola
El propósito es demostrar efectivamente que existen tanto valores racionales como irracionales para esas variables.
No entiendo. El Teorema de Fermat lo que afirma es que para \( n\geq 3 \) NO existen racionales cumpliendo \( a^n+b^n=c^n \).
Si pretendes demostrarlo tienes que probar entonces que NO existen racionales para esas variables. Irracionales verificando la ecuación es trivial que existen y eso no nos dice nada a favor o en contra del Teorema de Fermat.
Entonces no comprendo que has querido decir con esa frase.
Claro que una solución racional para determinado \( n \) no necesariamente pueda generar otra solución racional para otra \( n \), lo que interesa es ver la relación de estructura que existe en cada caso \( n \), dicha relación esta establecida en (REF.04), por ejemplo: considera esta expresión: \( a + b = c \), sustituimos las letras por paréntesis y tenemos esta estructura: ( ) + ( ) = ( ), podemos utilizarla para realizar una suma, si nos enfocamos en los enteros positivos, por ejemplo sería: (5) + (4) = (9), pero también podemos utilizar esa misma ESTRUCTURA de suma para números enteros negativos: (-5) + (-6) = (-11), aunque la primera estructura nos funciona para números enteros positivos dándonos un resultado de entero positivo, también la podemos utilizar para suma de enteros negativos, lo que nos interesa es la ESTRUCTURA que genera \( a, b \) para obtener \( c \)
Sinceramente esta respuesta no responde nada sobre el fondo de mi crítica. Desde mi punto de vista sólo has estudiado la posiblidad de que una solución racional para \( n>2 \) provenga de otra racional para \( n=2 \) y entiendo que has descartado que eso pueda darse. Pero eso no llega para probar el Teorema de Fermat por el motivo que te expuse en mi anterior mensaje. Incido en esto después.
Adicionalmente incluso en ese caso, como también te he indicado, hay puntos oscuros en lo que has hecho.
Ya explique este punto, lo que se demuestra en (REF.04) es que existe una relación de estructura, pondré un ejemplo numérico:
Utilizaremos la expresión de (REF.13)
\begin{pmatrix}{a_n=\ \sqrt[n]{y^2\left(\frac{s^2-1}{2}\right)^2}}\\{b_n=\sqrt[n]{y^2s^2}}\\{c_n=\ \sqrt[n]{y^2\left(\frac{s^2+1}{2}\right)^2}}\end{pmatrix},
Ahora sustituimos n=3:
\begin{pmatrix}{a_3=\ \sqrt[3]{y^2\left(\frac{s^2-1}{2}\right)^2}}\\{b_3=\sqrt[3]{y^2s^2}}\\{c_3=\ \sqrt[3]{y^2\left(\frac{s^2+1}{2}\right)^2}}\end{pmatrix},
Dando valor a las variables \( y, s \)
\( y = 19 \), \( s = \sqrt[ ]{\frac{35}{19}} \)
Obtenemos:
\( (4)^3+(\sqrt[ 3]{665})^3 = (9)^3 \)
\( y = \frac{\sqrt[ ]{125}}{\sqrt[ ]{\frac{179}{125}+\sqrt[ ]{\frac{65664}{62500}}}} \), \( s = \sqrt[ ]{\frac{179}{125}+\sqrt[ ]{\frac{65664}{62500}}} \)
Obtenemos:
\( (3)^3+(5)^3 = (\sqrt[3]{152})^3 \)
\( y = 2 \), \( s = 3 \)
Obtenemos:
\( (4)^3+(\sqrt[ 3]{36})^3 = (\sqrt[3]{100})^3 \)
\( y = 2 \), \( s = \sqrt[ ]{2} \)
\( (1)^3+(2)^3 = (\sqrt[3]{9})^3 \)
Como ves, la ESTRUCTURA es la misma para cualquier \( n \), tal como se describe esta relación en (REF..04), por lo tanto, habría que determinar si existen valores \( s, y \) que generen racionales para todo \( n \)
Esto lo entiendo perfectamente. El problema es que luego usas de manera decisiva que \( y,s \) son racionales (de ahí deduces que \( m,w \) son racionales; y finalmente de ahí que \( a_n \) es irracional). Si tratas el asunto con generalidad, \( y,s \) pudieran ser irracionales y tu argumento ya no funciona. No descarta que \( a_n \) pudiera ser racional.
Claro que sí y esta es muy importante, esto nos permite dividir \( c_n \) en el producto de dos números ya sean racionales o irracionales, para que luego los valores \( a_n, b_n \) se pueda dividir en producto de dos números ya sean racionales o irracionales, lo que deriva en las variables \( m, w \)
Yo lo sigo viendo como algo intrascendente... ¡es obvio que cualquier número racional se puede poner tanto como producto de racionales y uno irracional como producto de irracionales!. Pero en cualquier caso no es que vea ningún error ahí; simplemente algo innecesario. Así que dejemos ese punto aparcado por ahora.
Si \( u_1,v_2 \) fueran irracionales, entonces habría que considerar a \( m, w \) como irracionales especiales tales que cumplan (REF.14) con \( a_n,\ b_n,\ c_n \in\mathbb{Q} \).
Aquí parece que te das cuenta de la crítica que te hacía; pareciera que dejas la puerta abierta a explorar que ocurre si realmente la terna de racionales para el caso \( n \) proviene de una terna de NO racionales para el caso \( n=2 \); digo parece porque no se si quisiste decir eso. Sea como sea es un camino que NO explorar. Queda en el olvido en lo que sigue.
Efectivamente esa es la idea.
¿Esa es la idea?¿Pero dónde has estudiado ese caso?¡Por qué es el caso interesante!. Es lo que te falta. Como te he dicho antes en este mensaje y también en mi primera respuesta te falta estudiar que ocurre si \( y,s \) son irracionales.
Si te sitúas en (REF.08) el valor de \( m_1 \), al que se refiere, es a un valor ESPECÍFICO, quiere decir que puede ser CUALQUIER VALOR, por tanto puede ser \( m \)
Voy a ejemplificarlo para el caso n = 2
Usemos la expresión de (REF.08)
\( b^2=\ m_1^2+\ r_1^2 \)
Sea el valor específico \( m_1 \) = 3, entonces tenemos:
\( (5)^2=\ 3^2+\ (4)^2 \)
\( (\frac{39}{5})^2=\ 3^2+\ (\frac{36}{5})^2 \)
\( (\frac{75}{7})^2=\ 3^2+\ (\frac{72}{7})^2 \)
Como ves, \( m_1 \), puede ser cualquier valor, siempre existirá un valor de \( b \) que lo cumpla
Ojo, pero es que en tu argumento tanto \( m \) como \( b \) están fijados previamente: ¡los dos!. Por una parte tienes:
\( b_n^n=\ m^n+2\sqrt{a_n^nm^n} \) (*)
y por otra afirmas que existe \( r^n \) tal que:
\( b_n^n=m^n+r^n \) (**)
En realidad tu dices que hay un valor de \( b_n \) tal que...., pero para que luego puedas continuar como lo haces necesitas que ese \( b_n \) de (**) sea el mismo que el de (*) ya que luego igualas ambas expresiones para despejar \( a \) y afirmar que es irracional.
Saludos.
-
Hola
Ojo, pero es que en tu argumento tanto \( m \) como \( b \) están fijados previamente: ¡los dos!. Por una parte tienes:
\( b_n^n=\ m^n+2\sqrt{a_n^nm^n} \) (*)
y por otra afirmas que existe \( r^n \) tal que:
\( b_n^n=m^n+r^n \) (**)
En realidad tu dices que hay un valor de \( b_n \) tal que...., pero para que luego puedas continuar como lo haces necesitas que ese \( b_n \) de (**) sea el mismo que el de (*) ya que luego igualas ambas expresiones para despejar \( a \) y afirmar que es irracional.
En cuanto a tus comentarios anteriores y este, los contestaré usando ejemplos numéricos y una aplicación de ESTRUCTURA, espero hacerme entender.
Para esto nos situaremos en el final de todo el razonamiento (REF.17), esto es:
\begin{pmatrix}{a_n=\frac{r^2}{m}\sqrt[ n]{\frac{1}{4}}}\\{b_n^n=\ m^n+r^n}\\{c_n=\ \sqrt[n]{\left(\sqrt{m^n}+\frac{r^n}{2\sqrt{m^n}}\right)^2}}\end{pmatrix}
Veamos el caso \( n=1 \)
\begin{pmatrix}{a_1=\frac{r^2}{4m}}\\{b_1=\ m+r}\\{c_1=\ \left(\sqrt{m}+\frac{r}{2\sqrt{m}}\right)^2}\end{pmatrix}
Ubiquémonos en \( b_1= m+r \), según el enunciado (REF.01), esto es: Para todo \( n ≥ 1 \), existen racionales positivos \( a, b , c \), tales que se cumpla la igualdad: \( a^n + b^n = c^n \), entonces para \( b_1= m+r \), deberían existir por lo menos un valor de \( m, r \) que pertenezcan a los racionales, partiendo de esto entonces:
Sea \( m = 1, r = 2 \), obtenemos:
(1) + (3) = (4)
Sea \( m = 1, r = 4 \), obtenemos:
(4) + (5) = (9)
Sea \( m = 2, r = 3 \), obtenemos:
\( (\frac{9}{8}) + (5) = (\frac{49}{8}) \)
En este caso \( m, r \) son racionales
Ahora mira esto, cuando he dicho que las variables \( y, s, u_1, v_1 \) pueden ser racionales o irracionales especiales, si existen números que generen los racionales \( a, b, c \) en la expresión de (REF.01) con las variables \( y, s, u_1, v_1 \) como racionales, también habrán variables \( y, s, u_1, v_1 \) como irracionales especiales, las variables \( m, r \) derivan de las variables \( y, s, u_1, v_1 \)
espero que ahora si comprendas esto:
Sea \( m =4 -\sqrt[ ]{12} , r = -2+\sqrt[ ]{12} \), obtenemos:
(1) + (2) = (3)
Sea \( m =6 -\sqrt[ ]{12} , r = -2+\sqrt[ ]{20} \), obtenemos:
(1) + (4) = (5)
Vemos que en este caso \( m, r \) son irracional, sin embargo obtuvimos valores racionales para \( a, b, c \)
Veamos el caso \( n=2 \)
\begin{pmatrix}{a_2=\frac{r^2}{2m}}\\{b_2^2=\ m^2+r^2}\\{c_2= m + \frac{r^2}{2m}}\end{pmatrix}
Ubiquémonos en \( b_2^2= m^2+r^2 \), según el enunciado (REF.01), esto es: Para todo \( n ≥ 1 \), existen racionales positivos \( a, b , c \), tales que se cumpla la igualdad: \( a^n + b^n = c^n \), entonces para \( b_2^2= m^2+r^2 \), deberían existir por lo menos un valor de \( m, r \) que pertenezcan a los racionales, partiendo de esto entonces:
Sea \( m = 3, r = 4 \), obtenemos:
\( (\frac{8}{3})^2 + (5)^2 = (\frac{17}{3})^2 \)
Sea \( m = 6, r = 8 \), obtenemos:
\( (\frac{16}{3})^2 + (10)^2 = (\frac{34}{3})^2 \)
En este caso \( m ,r \) son racionales
Ahora mira esto,
Sea \( m = 2, r = \sqrt[ ]{45} \), obtenemos:
\( (\frac{45}{4})^2 + (7)^2 = (\frac{53}{4})^2 \)
Sea \( m = 1, r = \sqrt[ ]{8} \), obtenemos:
\( (4)^2 + (3)^2 = (5)^2 \)
En este caso \( r \) es irracional especial, sin embargo obtuvimos valores racionales para \( a_2, b_c, c_2 \)
Como ves, las variables \( m ,r \) pueden ser racionales o irracionales especiales, y esto se deriva de las variables \( y, s, u_1, v_1 \). ¡Ojo! no todos los irracionales \( m, r, \) pueden producir racionales \( a_n, b_n, c_n \), por lo cual no podemos abarcar a todos los irracionales .
Pero es importante notar, que si existen racionales \( a, b, c \) en la expresión de (REF.01) las variables \( m, r \) podrán ser racionales o irracionales especiales.
Veamos el caso \( n = 3 \)
\begin{pmatrix}{a_3=\frac{r^2}{m}\sqrt[ 3]{\frac{1}{4}}}\\{b_3^3=\ m^3+r^3}\\{c_3=\ \sqrt[3]{\left(\sqrt{m^3}+\frac{r^3}{2\sqrt{m^3}}\right)^2}}\end{pmatrix}
Ubiquémonos en \( b_3^3= m^3+r^3 \), según el enunciado (REF.01), esto es: Para todo \( n ≥ 1 \), existen racionales positivos \( a, b , c \), tales que se cumpla la igualdad: \( a^n + b^n = c^n \), entonces para \( b_3^3= m^3+r^3 \), deberían existir por lo menos un valor de \( m, r \) que pertenezcan a los racionales, pero aquí ocurre el absurdo, puesto que según el enunciado por lo menos un valor de \( m, r \) pertenecería a los racionales, luego vemos en \( a_3 \) que el cociente de \( \frac{r^2}{m} \) es racional pero al multiplicarlo por \( \sqrt[3]{\frac{1}{4}} \), se convertiría en un irracional
Que pasa si consideramos que solo existan irracionales especiales para \( m, r \), cuando \( n>2 \) si así fuese, estaríamos contradiciendo el enunciado: Para todo \( n ≥ 1 \), existen racionales positivos \( a, b , c \), tales que se cumpla la igualdad: \( a^n + b^n = c^n \), puesto que estaríamos afirmando que no existe por lo menos un valor \( m ,r \) que sea racional
Como ves, cuando \( n>2 \) el valor de \( a_n \) será irracional si \( m, r \) son racionales y según el enunciado debería haber por lo menos un valor de de \( m, r \) como racionales.
Espero que hayas comprendido la relación de ESTRUCTURA que existe en (REF.04), como ves, se puede aplicar para cualquier \( n \), no es que una solución de n=2, podamos extraer las soluciones para todo \( n \), sino, que se refiere a la ESTRUCTURA que puede utilizarse para cualquier \( n \), te pondré este ejemplo, donde podemos utilizar una estructura para encontrar valores racionales en una expresión totalmente diferente:
Sea la expresión:
\( y^2=x^2+ax \)
Queremos encontrar las soluciones racionales \( x, y \) siendo \( a \) una constante.
Por la Propiedad Conmutativa de (REF.01) podemos reescribirla:
\( y^2=(x)^2+(\sqrt[ ]{ax})^2 \)
Usando la terna racional para \( n = 2 \), podemos establecer los valores:
\begin{pmatrix}{x=\ \left(\frac{w^2-1}{2}\right)m}\\{\sqrt[ ]{ax}=mw}\\{y=\ \left(\frac{w^2+1}{2}\right)m}\end{pmatrix}
Despejamos \( m \) de \( \sqrt[ ]{ax}=mw \), y lo sustituimos en el resto de variables, tenemos:
\begin{pmatrix}{x = (\frac{w^2-1}{2w})\sqrt[ ]{ax}}\\{y = (\frac{w^2+1}{2w})\sqrt[ ]{ax}}\\{}\end{pmatrix}
Despejamos \( x \) en la primera expresión, entonces tenemos:
\( x = a(\frac{w^2-1}{2w})^2 \)
\( y = a(\frac{w^4-1}{4w^2}) \)
Donde \( w \) pertenece a los racionales o \( w^2 \) pertenece a los racionales.
Como ves, en \( y^2=x^2+ax \) habia una estructura similar al caso \( n =2 \)
Saludos
-
Hola
Nada de lo que te has escrito responde a las críticas que te he hecho. Me centro en el caso \( n=3 \), y si quieres en lo sucesivo podemos centrarnos en ese caso que es el primero no trivial.
Veamos el caso \( n = 3 \)
\begin{pmatrix}{a_3=\frac{r^2}{m}\sqrt[ 3]{\frac{1}{4}}}\\{b_3^3=\ m^3+r^3}\\{c_3=\ \sqrt[3]{\left(\sqrt{m^3}+\frac{r^3}{2\sqrt{m^3}}\right)^2}}\end{pmatrix}
Ubiquémonos en \( b_3^3= m^3+r^3 \), según el enunciado (REF.01), esto es: Para todo \( n ≥ 1 \), existen racionales positivos \( a, b , c \), tales que se cumpla la igualdad: \( a^n + b^n = c^n \), entonces para \( b_3^3= m^3+r^3 \), deberían existir por lo menos un valor de \( m, r \) que pertenezcan a los racionales, pero aquí ocurre el absurdo, puesto que según el enunciado por lo menos un valor de \( m, r \) pertenecería a los racionales, luego vemos en \( a_3 \) que el cociente de \( \frac{r^2}{m} \) es racional pero al multiplicarlo por \( \sqrt[3]{\frac{1}{4}} \), se convertiría en un irracional
Vuelves a caer en lo mismo. Entiendo que de la existencia de una sola terna de racionales \( (P,Q,R) \) que cumpla \( \color{red}P\color{black}^3+Q^3=R^3 \), razonas que fijado un \( b_n \) cualquiera existen racionales \( m,\color{red}r\color{black} \) tales que \( b_n^3=m^3+r^3 \). Es lo que has razonado en lo que llamas (REF.07) y está bien. Es decir, digamos que estoy de acuerdo con lo que he marcado en azul.
Pero el problema es que ese \( m \) no tiene porque coincidir con el \( m \) que apareció en tus cálculos previos y que usaste de manera decisiva para poder deducir \( a_3=\frac{r^2}{m}\sqrt[ 3]{\frac{1}{4}} \). Usas dos "emes" a priori distintos y tu los consideras sin justificación alguna iguales.
Saludos.
CORREGIDO
-
Hola
Vuelves a caer en lo mismo. Entiendo que de la existencia de una sola terna de racionales \( (P,Q,R) \) que cumpla \( Q^3+Q^3=R^3 \), razonas que fijado un \( b_n \) cualquiera existen racionales \( m,n \) tales que \( b_n^3=m^3+r^3 \). Es lo que has razonado en lo que llamas (REF.07) y está bien. Es decir, digamos que estoy de acuerdo con lo que he marcado en azul.
Pero el problema es que ese \( m \) no tiene porque coincidir con el \( m \) que apareció en tus cálculos previos y que usaste de manera decisiva para poder deducir \( a_3=\frac{r^2}{m}\sqrt[ 3]{\frac{1}{4}} \). Usas dos "emes" a priori distintos y tu los consideras sin justificación alguna iguales.
Pues esto es lo más fácil de comprender
Dirijámonos en (REF.07)
\begin{pmatrix}{a^n=\ a^n}\\{b^n=\ \left(bP_n\right)^n+\ \left(bQ_n\right)^n}\\{c^n=\ c^n}\end{pmatrix} \( b^n \) es la suma de dos racionales positivos elevados a la potencia \( n \) cada uno
Enfoquemnos en esto: \( b^n=\ \left(bP_n\right)^n+\ \left(bQ_n\right)^n \), en algún momento, las expresiones del lado derecho me refiero a esto: \( \left(bP_n\right)^n+\ \left(bQ_n\right)^n \) producirán esto: \( m^n+r^n \), ¿en que me base para afirmar esto?, simplemente cuando \( b = \frac{m}{P_n} \)
Ahora, ya que \( b^n = m^n+2\sqrt{a_n^nm^n} \) y \( b^n=\ \left(bP_n\right)^n+\ \left(bQ_n\right)^n \), donde prácticamente es lo mismo, entonces hacemos la igualdad:
\( \left(bP_n\right)^n+\ \left(bQ_n\right)^n \) = \( m^n+2\sqrt{a_n^nm^n} \)
En algún momento la expresión del lado derecho me refiero a esto: \( m^n+2\sqrt{a_n^nm^n} \), será igual a esto: \( m^n+r^n \), ¿en que me base para afirmar esto?, simplemente cuando \( b = \frac{m}{P_n} \)
Obtenemos:
\( m^n+r^n=\ m^n+2\sqrt{a_n^nm^n} \)
Saludos
-
Hola
Pues esto es lo más fácil de comprender
Dirijámonos en (REF.07)
\begin{pmatrix}{a^n=\ a^n}\\{b^n=\ \left(bP_n\right)^n+\ \left(bQ_n\right)^n}\\{c^n=\ c^n}\end{pmatrix} \( b^n \) es la suma de dos racionales positivos elevados a la potencia \( n \) cada uno
Enfoquemnos en esto: \( b^n=\ \left(bP_n\right)^n+\ \left(bQ_n\right)^n \), en algún momento, las expresiones del lado derecho me refiero a esto: \( \left(bP_n\right)^n+\ \left(bQ_n\right)^n \) producirán esto: \( m^n+r^n \), ¿en que me base para afirmar esto?, simplemente cuando \( b = \frac{m}{P_n} \)
Eso es cierto, pero con el siguiente matiz. Si tomas \( b = \frac{m}{P_n} \) los valores de \( b \) y \( m \) no son los que tu quieres. Hay una relación entre ambos. El valor de b queda determinado por el de \( m \) o al revés. No puedes escoger el par de valores \( (b,m) \) que tu quieras.
Ahora, ya que \( b^n = m^n+2\sqrt{a_n^nm^n} \) y \( b^n=\ \left(bP_n\right)^n+\ \left(bQ_n\right)^n \), donde prácticamente es lo mismo, entonces hacemos la igualdad:
\( \left(bP_n\right)^n+\ \left(bQ_n\right)^n \) = \( m^n+2\sqrt{a_n^nm^n} \)
En algún momento la expresión del lado derecho me refiero a esto: \( m^n+2\sqrt{a_n^nm^n} \), será igual a esto: \( m^n+r^n \), ¿en que me base para afirmar esto?, simplemente cuando \( b = \frac{m}{P_n} \)
De \( \left(bP_n\right)^n+\ \left(bQ_n\right)^n \) = \( m^n+2\sqrt{a_n^nm^n} \)
NO se deduce necesariamente que:
\( \left(bP_n\right)^n=m^n \)
\( \left(bQ_n\right)^n=2\sqrt{a_n^nm^n} \)
Es decir en general de \( R+S=T+U \) no se deduce que \( R=T \) y \( S=U \).
Por ejemplo:
\( 5^3+12^3=7^3+1510 \)
pero obviamente \( 5^3\neq 7^3 \) y \( 12^3\neq 1510 \).
Saludos.
-
Hola
De \( \left(bP_n\right)^n+\ \left(bQ_n\right)^n \) = \( m^n+2\sqrt{a_n^nm^n} \)
NO se deduce necesariamente que:
\( \left(bP_n\right)^n=m^n \)
\( \left(bQ_n\right)^n=2\sqrt{a_n^nm^n} \)
Es decir en general de \( R+S=T+U \) no se deduce que \( R=T \) y \( S=U \).
Por ejemplo:
\( 5^3+12^3=7^3+1510 \)
pero obviamente \( 5^3\neq 7^3 \) y \( 12^3\neq 1510 \).
Tu razonamiento es acertado, pero no está completo ni contextualizado, con tu permiso tomaré tu ejemplo:
\( 5^3+12^3=7^3+1510 \)
Lo agruparemos de esta manera:
\( 5^3+12^3=(\sqrt[3]{7^3+1510})^3 \)
Por tanto:
\( a_3^3 = 5^3 \)
\( b_3^3 = 12^3 \)
\( c_3^3 = (\sqrt[3]{7^3+1510})^3 \)
Recordemos el caso n = 3:
\begin{pmatrix}{a_3=\frac{r^2}{m}\sqrt[ 3]{\frac{1}{4}}}\\{b_3^3=\ m^3+r^3}\\{c_3=\ \sqrt[3]{\left(\sqrt{m^3}+\frac{r^3}{2\sqrt{m^3}}\right)^2}}\end{pmatrix}
Entonces:
\( r^3 = -250+\sqrt[ ]{926500} \)
\( m^3 = 1978-\sqrt[ ]{926500} \)
Ahora, contextualicemos la expresión para n= 3:
\( \left(bP_3\right)^3+\ \left(bQ_3\right)^3 \) = \( m^3+2\sqrt{a_3^3m^3} \)
Recordemos que \( P_3^3+Q_3^3=1 \)
Entonces:
\( P_3^3 = \frac{1978-\sqrt[ ]{926500}}{12^3} \)
\( Q_3^3 = \frac{-250+\sqrt[ ]{926500}}{12^3} \)
Por tanto:
\( (b\sqrt[3]{\frac{1978-\sqrt[ ]{926500}}{12^3}})^3+(b\sqrt[ ]{\frac{-250+\sqrt[]{926500}}{12^3}})^3 = (\sqrt[ ]{1978-\sqrt[]{926500}})^3 + 2\sqrt[ ]{5^3(\sqrt[ 3]{1978-\sqrt[]{926500}})^3} \)
Aquí es donde cabe tu observación y cito textualmente tu razonamiento en color rojo:
No se deduce necesariamente que \( (b\sqrt[3]{\frac{1978-\sqrt[ ]{926500}}{12^3}})^3 \) sea igual a \( (\sqrt[ 3]{1978-\sqrt[]{926500}})^3 \)
No discuto tu razonamiento, pero como indique no es completo ni contextualizado, observa ahora esto
Si \( b = \frac{m}{P_3} \), tenemos:
\( b = 12 \), si sustituimos este valor de \( b \) en esta expresión: \( (b\sqrt[3]{\frac{1978-\sqrt[ ]{926500}}{12^3}})^3 \) tenemos: \( (\sqrt[3]{1978-\sqrt[]{926500}})^3 \),
Entonces:
\( (12\sqrt[3]{\frac{1978-\sqrt[ ]{926500}}{12^3}})^3 + (12\sqrt[ 3]{\frac{-250+\sqrt[]{926500}}{12^3}})^3 = (\sqrt[ 3]{1978-\sqrt[]{926500}})^3 + 2\sqrt[ ]{5^3(\sqrt[ 3]{1978-\sqrt[]{926500}})^3} \)
Simplificando:
\( (\sqrt[3]{1978-\sqrt[ ]{926500}})^3 + (\sqrt[ 3]{-250+\sqrt[]{926500}})^3 = (\sqrt[ 3]{1978-\sqrt[]{926500}})^3 + 2\sqrt[ ]{5^3(\sqrt[ 3]{1978-\sqrt[]{926500}})^3} \)
Que nos recuerda esta expresión:
\( m^3+r^3 \) = \( m^3+2\sqrt{a_3^3m^3} \)
Al terminar de simplificar la expresión anterior tenemos:
\( 12^3 = 12^3 \)
Son la misma cosa.
Por cierto, si ves las variables \( m, r \) son irracionales, porque \( a_3 \) es racional, como ya había indicado, si \( m, r \) son racionales, entonces \( a_3 \) es irracional.
Ahora si consideras que \( m = 5, r = 12 \), sucede esto:
Volviendo a tu argumento:
\( 5^3+12^3=7^3+1510 \)
Ahora, contextualicemos la expresión para n= 3:
\begin{pmatrix}{a_3=\frac{r^2}{m}\sqrt[ 3]{\frac{1}{4}}}\\{b_3^3=\ m^3+r^3}\\{c_3=\ \sqrt[3]{\left(\sqrt{m^3}+\frac{r^3}{2\sqrt{m^3}}\right)^2}}\end{pmatrix}
Podemos calcular los valores de \( a_3, b_3, c_3 \), tenemos entonces:
\( a_3 = \frac{144}{5}\sqrt[3]{\frac{1}{4}} \)
\( b_3 = 5^3 + 12^3 \)
\( c_3 = \sqrt[3]{\frac{746496}{125}} \)
Tomando en cuenta la expresión:
\( m^3+r^3 \) = \( m^3+2\sqrt{a_3^3m^3} \)
Tenemos entonces:
\( 5^3+12^3 = 5^3 + 12^3 \)
Como vez, tu razonamiento esta bien, pero no esta completo ni contextualizado
Saludos
-
Hola
Tu razonamiento es acertado, pero no está completo ni contextualizado, con tu permiso tomaré tu ejemplo:
\( 5^3+12^3=7^3+1510 \)
Lo agruparemos de esta manera:
\( 5^3+12^3=(\sqrt[3]{7^3+1510})^3 \)
Por tanto:
\( a_3^3 = 5^3 \)
\( b_3^3 = 12^3 \)
\( c_3^3 = (\sqrt[3]{7^3+1510})^3 \)
No entiendo mucho del tema de ternas pitagóricas y todo eso, pero ¿tú mismo no has dicho que el razonamiento de Luis es correcto?
La modificación que propones, ¿cómo se relaciona entonces con tu razonamiento inicial?
Si no me equivoco, tú en un principio tenías una suma del lado derecho, pero si expresas \( a+b=(\sqrt[3]{a+b})^3 \) entonces ya no son 2 términos sino 1 solo del lado derecho. Por eso el ejemplo de Luis creo que ataca principalmente a la falsa deducción de que si tenemos \( a+b=c+d \), debe deducirse \( a=c,b=d \) porque es falso.
Saludos
-
Hola
No entiendo mucho del tema de ternas pitagóricas y todo eso, pero ¿tú mismo no has dicho que el razonamiento de Luis es correcto?
La modificación que propones, ¿cómo se relaciona entonces con tu razonamiento inicial?
Si no me equivoco, tú en un principio tenías una suma del lado derecho, pero si expresas \( a+b=(\sqrt[3]{a+b})^3 \) entonces ya no son 2 términos sino 1 solo del lado derecho. Por eso el ejemplo de Luis creo que ataca principalmente a la falsa deducción de que si tenemos \( a+b=c+d \), debe deducirse \( a=c,b=d \) porque es falso.
Como tu lo dices: \( a+b=c+d \), no se puede deducir que \( a=c,b=d \) porque es falso.
la situación es que no es ese el contexto, tal cual, por eso le indique a Luis que su razonamiento es correcto, pero no esta completo ni contextualizado. En tu caso sucede lo mismo, supones que \( a, b, c, d \) no tienen ninguna relación, si es así, entonces es válido tu razonamiento, pero en el contexto en que hago la premisa, el contexto es diferente, porque las variables vienen de un razonamiento y no son puestas al azar.
Usare tu ejemplo: \( a+b=c+d \), tratare de resumir lo más que pueda
Sea \( z \) una variable
Tenemos entonces:
\( z = c+d \)
Sea \( p+q = 1 \)
Si multiplico \( z \) por la expresión anterior tenemos:
\( (zp) + (zq) = c + d \),
Entonces: \( a = (zp); b = (zq) \), podemos comparar:
1. \( (zp) + (zq) = c + d \)
2. \( a + b = c + d \)
Si tomamos \( a, b, c, d \) como variables sin relación, entonces como tu dices: \( a+b=c+d \), no se puede deducir que \( a=c,b=d \) porque es falso.
Pero en este razonamiento, SI están relacionados, mira:
Partimos de esto: \( (zp) + (zq) = c + d \),
Si \( z = \frac{c}{p} \) tienes:
\( (\frac{c}{p}p) + (\frac{c}{p}q) = c + d \)
Simplificando:
\( c + (\frac{cq}{p}) = c + d \)
Entonces: \( (\frac{cq}{p}) = d \), por tanto:
\( c + d = c + d \)
Saludos
-
Hola
Recordemos el caso n = 3:
\begin{pmatrix}{a_3=\frac{r^2}{m}\sqrt[ 3]{\frac{1}{4}}}\\{b_3^3=\ m^3+r^3}\\{c_3=\ \sqrt[3]{\left(\sqrt{m^3}+\frac{r^3}{2\sqrt{m^3}}\right)^2}}\end{pmatrix}
Entonces:
\( r^3 = -250+\sqrt[ ]{926500} \)
\( m^3 = 1978-\sqrt[ ]{926500} \)
¡Pero si partes de ahí claro que no vas a encontrar problemas!¡Claro que tus dos "emes" van a ser la misma, porque en ese caso NO hay dos emes!.
Precisamente yo lo que critico es que no puedes deducir estas expresiones:
\begin{pmatrix}{a_3=\frac{r^2}{m}\sqrt[ 3]{\frac{1}{4}}}\\{b_3^3=\ m^3+r^3}\end{pmatrix}
si PRETENDES que el \( m \) y el \( r \) sean los que traías de antes en tu razonamiento.
Tu partes de aquí:
\( \begin{pmatrix}{a_n=\ \sqrt[n]{y^2\left(\frac{s^2-1}{2}\right)^2}}\\{b_n=\sqrt[n]{y^2s^2}}\\{c_n=\ \sqrt[n]{y^2\left(\frac{s^2+1}{2}\right)^2}}\end{pmatrix} \)
de ahí obtienes \( m \) como un RACIONAL cumpliendo \( \color{red}\cancel{m^2=y^2}m^n=y^2\color{black} \). Y jugando con esas expresiones llegas a:
\( b_n^n=m^n+2\sqrt{a_n^nm^n} \)
Ahora de otra forma DIFERENTE dices que existen racionales \( m',r \) tales que \( b_n^n=m'^n+r^n \). Y lo que te digo es que NADA te garantiza que \( m=m' \).
La trampa que haces en tus ejemplos es partir de aquí:
\begin{pmatrix}{a_3=\frac{r^2}{m}\sqrt[ 3]{\frac{1}{4}}}\\{b_3^3=\ m^3+r^3}\\{c_3=\ \sqrt[3]{\left(\sqrt{m^3}+\frac{r^3}{2\sqrt{m^3}}\right)^2}}\end{pmatrix}
De ahí despejas \( m,r \) en función de \( a_3,b_3 \) y todo cuadra (bueno, casi todo como te matizaré en un momento)...¡claro!. Hallas \( P,Q \) ajustados con esos valores de \( m,r \). Bien.
Problema: hecho así NADA garantiza que esos \( m,r \) sean racionales. Con lo cual tu razonamiento no vale para nada. Porque tu pretendes concluir que \( a_n \) no puede ser racional porque es de la forma \( \dfrac{r^2}{m}\sqrt[ n]{\frac{1}{4}} \), con \( m,r \) racionales. Si \( m,r \) no son racionales: adiós al argumento.
Saludos.
P.D. Y por cierto que más allá de todo esto, está la otra crítica todavía más importante en tu argumento. Si todo eso estuviera bien, sólo estarías probando que es imposible que \( (a,b,c) \) racionales cumplan \( a^n+b^n=c^n \) si al mismo tiempo \( (\sqrt{a^n},\sqrt{b^n},\sqrt{c^n}) \) son racionales. Pero quedaría abierta la posibilidad de que existiesen \( (a,b,c) \) cumpliendo \( a^n+b^n=c^n \) pero tales que \( (\sqrt{a^n},\sqrt{b^n},\sqrt{c^n}) \) no son racionales.
CORREGIDO
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Hola
¡Pero si partes de ahí claro que no vas a encontrar problemas!¡Claro que tus dos "emes" van a ser la misma, porque en ese caso NO hay dos emes!.
Luis, creo que ya vas por buen camino comprendiendo el razonamiento, partiendo de la expresión antes mencionada, llegas a comprender como tu dices dos "emes" son la misma; lo que sucede es que aún te confunde esta expresión: \( b_n^n = (b_nP_n)^n+(b_nQ_n)^n \), explicaré esto más a fondo, mientras tanto, quédate con la idea que partiendo de la expresión antes mencionada no va haber problema, pues las dos "emes son lo mismo"
Tu partes de aquí:
\( \begin{pmatrix}{a_n=\ \sqrt[n]{y^2\left(\frac{s^2-1}{2}\right)^2}}\\{b_n=\sqrt[n]{y^2s^2}}\\{c_n=\ \sqrt[n]{y^2\left(\frac{s^2+1}{2}\right)^2}}\end{pmatrix} \)
de ahí obtienes \( m \) como un RACIONAL cumpliendo \( m^2=y^2 \). Y jugando con esas expresiones llegas a:
\( b_n^n=m^n+2\sqrt{a_n^nm^n} \)
Luis, cada vez vas comprendiendo más el razonamiento, hasta este punto es correcto. Solo te confundiste un poco en el texto en rojo, pues la expresión correcta es: \( m^n=y^2 \), en cuanto a que \( m \) o \( y^2 \) son RACIONALES, también pueden ser IRRACIONALES ESPECIALES (ya lo expliqué con ejemplos numéricos), lo se, parece que no tiene sentido que eso sea RACIONAL o también IRRACIONAL, parece que no tiene relevancia, pero como verás hasta el final, en algún momento \( m \) tendrá NECESARIAMENTE que ser racional, pues el enunciado (REF.01) así lo dicta.
Ahora de otra forma DIFERENTE dices que existen racionales \( m',r \) tales que \( b_n^n=m'^n+r^n \). Y lo que te digo es que NADA te garantiza que \( m=m' \).
Comprendo que aquí radica tu duda, verás Luis, la situación, quizás no me he sabido expresar explícitamente, es que \( b_n \), puede expresarse de dos maneras diferentes y ambas son la misma cosa. Un ejemplo a lo absurdo:
Considera el número \( 7 \) (mi número favorito), este puede escribirse así: \( 4+3 = 7 \), pero también: \( 10 - 3 = 7 \)
Esta es la idea en que se basa el razonamiento, que quizás no me he sabido explicar con lujo de detalle, por favor, no pierdas la idea de este concepto.
Ahora, usando esa idea anteriormente, puedo escribir \( b_n \) de dos maneras diferentes:
1. \( b_n^n = m^n + 2\sqrt[ ]{a^nm^n} \)
2. \( b_n^n = (b_nP_n)^n + (b_nQ_n)^n \) (Recuerda que \( P_n^n + Q_n^n = 1, P_n, Q_n \) son racionales y además hay infinitos valores para cada \( n \)
Lo que hice es partir de un valor \( b_n \) (usando el ejemplo absurdo este sería equivalente a 7) y usar dos razonamientos en paralelo para llegar a las expresiones (1 y 2), ya que son prácticamente lo mismo, entonces ahí formamos la expresión:
\( (b_nP_n)^n + (b_nQ_n)^n \) = \( m^n + 2\sqrt[ ]{a^nm^n} \)
Son dos expresiones que valen lo mismo, pero están escritas en forma diferente (por ser dos expresiones diferentes aquí es donde haces tus críticas \( m = m_1 \), no se garantiza)
Pero sabiendo que esta expresión: \( (b_nP_n)^n + (b_nQ_n)^n \) VALE lo mismo que esta: \( m^n + 2\sqrt[ ]{a^nm^n} \)
Entonces lo que hago es convertir esta expresión \( (b_nP_n)^n + (b_nQ_n)^n \) en la otra, pues VALEN lo mismo. (usando el ejemplo que te di: 4 + 3 = 10 - 3, por supuesto que 4 \( \neq \) 10 ni que 3\( \neq \)-3, lo que hacemos es convertir 4 + 3 en la expresión 10 - 3, para obtener la igualdad 10 - 3 = 10 - 3, no hemos cambiado el valor, sino la forma en que esta escrita)
Al sustituir \( b_n = \frac{m}{P_n} \) en la expresión: \( (b_nP_n)^n + (b_nQ_n)^n \), no estoy cambiando su VALOR sino la forma en que esta expresada
De ahi tu comentario:
¡Pero si partes de ahí claro que no vas a encontrar problemas!¡Claro que tus dos "emes" van a ser la misma, porque en ese caso NO hay dos emes!.
cobra sentido, al ver que son las mismas emes
De ahí despejas \( m,r \) en función de \( a_3,b_3 \) y todo cuadra (bueno, casi todo como te matizaré en un momento)...¡claro!. Hallas \( P,Q \) ajustados con esos valores de \( m,r \). Bien.
Muy acertado, con los valores \( m, r \), puedes calcular \( a_3, b_3, c_3 \), explicaré hasta el final un poco más sobre \( m ,r \)
Problema: hecho así NADA garantiza que esos \( m,r \) sean racionales. Con lo cual tu razonamiento no vale para nada.
Aquí estas equivocado.
Situémonos en esta expresión: \( b_3^3 = m^3 + r^3 \), según el enunciado (REF.01), esto es: Para todo n≥1, existen racionales positivos \( a,b,c \), tales que se cumpla la igualdad: \( a^n+b^n=c^n \), entonces la expresión: \( b_3^3 = m^3 + r^3 \), NECESARIAMENTE tendrá por lo mínimo un valor donde \( m, r \) sea RACIONAL. Una vez que existan RACIONALES entonces también habrán IRRACIONALES ESPECIALES.
Porque tu pretendes concluir que \( a_n \) no puede ser racional porque es de la forma \( \dfrac{r^2}{m}\sqrt[ n]{\frac{1}{4}} \), con \( m,r \) racionales. Si \( m,r \) no son racionales: adiós al argumento.
Verás, como lo he expliqué anteriormente según el enunciado (REF.01), esto es: Para todo n≥1, existen racionales positivos \( a,b,c \), tales que se cumpla la igualdad: \( a^n+b^n=c^n \), entonces la expresión: \( b_3^3 = m^3 + r^3 \), NECESARIAMENTE tendrá por lo mínimo un valor donde \( m, r \) sea RACIONAL, si solo consideramos que \( m, r \) fueran irracionales especiales como tú lo planteas, entonces estaríamos contradiciendo el enunciado (REF.01): Para todo n≥1, existen racionales positivos \( a,b,c \), tales que se cumpla la igualdad: \( a^n+b^n=c^n \), puesto que estaríamos afirmando que no existe NINGÚN racional que cumpla \( a^n+b^n=c^n \)
Saludos.
... Si todo eso estuviera bien, sólo estarías probando que es imposible que \( (a,b,c) \) racionales cumplan \( a^n+b^n=c^n \) si al mismo tiempo \( (\sqrt{a^n},\sqrt{b^n},\sqrt{c^n}) \) son racionales...
En ninguna parte he dicho eso...
Mira, haré un resumen de todo para que tengas una idea más precisa:
Partimos de esto:
\( a_n^n + b_n^n = c_n^n \)
Luego, la convertimos en una expresión en función de dos variables \( s, y \):
\begin{pmatrix}{a_n=\ \sqrt[n]{y^2\left(\frac{s^2-1}{2}\right)^2}}\\{b_n=\sqrt[n]{y^2s^2}}\\{c_n=\ \sqrt[n]{y^2\left(\frac{s^2+1}{2}\right)^2}}\end{pmatrix}
Luego a esta otra, veamos los dos posibles valores de \( m , w \). Situémonos en: \( b_n=m.w \), ya que \( b_n \) es racional, entonces \( m, r \) pueden ser racionales (ya que el producto de dos racionales es otro racional) o pueden ser irracionales especiales.
\begin{pmatrix}{a_n=\ m\sqrt[n]{\left(\frac{w^n-1}{2}\right)^2}}\\{b_n=m.w}\\{m\sqrt[n]{\left(\frac{w^n+1}{2}\right)^2}}\end{pmatrix}
Para luego finalizar en esta:
\begin{pmatrix}{a_n=\frac{r^2}{m}\sqrt[ n]{\frac{1}{4}}}\\{b_n^n=\ m^n+r^n}\\{c_n=\ \sqrt[n]{\left(\sqrt{m^n}+\frac{r^n}{2\sqrt{m^n}}\right)^2}}\end{pmatrix}
Y de esta expresión, usaremos el enunciado (REF.01): Para todo n≥1, existen racionales positivos \( a,b,c \), tales que se cumpla la igualdad: \( a^n+b^n=c^n \), para deducir que la expresión: \( b_3^3 = m^3 + r^3 \), NECESARIAMENTE tendrá por lo mínimo un valor donde \( m, r \) sea RACIONAL, por lo tanto cuando \( m, r \) sean racionales entonces \( a_n \) será irracional para todo \( n>2 \)
Mira, te propongo algo, en esta expresión:
\begin{pmatrix}{a_n=\frac{r^2}{m}\sqrt[ n]{\frac{1}{4}}}\\{b_n^n=\ m^n+r^n}\\{c_n=\ \sqrt[n]{\left(\sqrt{m^n}+\frac{r^n}{2\sqrt{m^n}}\right)^2}}\end{pmatrix}
juega con las variables \( m, r \) dale los valores que tú quieras ya sean racionales o irracionales, usando cualquier \( n \).
Si al sustituir los valores de las variables \( m, r \) en \( (a_n=\frac{r^2}{m}\sqrt[ n]{\frac{1}{4}} \)) y (\( b_n^n=\ m^n+r^n \)), no obtienes esta: \( (c_n=\ \sqrt[n]{\left(\sqrt{m^n}+\frac{r^n}{2\sqrt{m^n}}\right)^2}) \) al realizar la operación: \( a_n^n + b_n^n = c_n^n \), entonces todo todo lo que he escrito no tendría sentido, pues toda la demostración se basa en la premisa de estructura, pero si por el contrario vez que si se cumple, entonces razona esto: ¿Qué sucede con \( a_n \) si \( m, r \) son racionales?
Saludos
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Hola
Luis, creo que ya vas por buen camino comprendiendo el razonamiento, partiendo de la expresión antes mencionada, llegas a comprender como tu dices dos "emes" son la misma; lo que sucede es que aún te confunde esta expresión: \( b_n^n = (b_nP_n)^n+(b_nQ_n)^n \), explicaré esto más a fondo, mientras tanto, quédate con la idea que partiendo de la expresión antes mencionada no va haber problema, pues las dos "emes son lo mismo"
Si, de manera más precisa si sólo partes de esa expresión, NO HAY DOS emes.
Luis, cada vez vas comprendiendo más el razonamiento, hasta este punto es correcto.
Desde mi punto de vista y por lo que me has contestado hasta ahora, inlcuido este mensaje, el razonamiento que intentas lo comprendo desde el principio. Y está mal. No concluye nada útil sobre el Teorema de Fermat.
Solo te confundiste un poco en el texto en rojo, pues la expresión correcta es: \( m^n=y^2 \),
Si, fue una errata al escribir.
Een cuanto a que \( m \) o \( y^2 \) son RACIONALES, también pueden ser IRRACIONALES ESPECIALES (ya lo expliqué con ejemplos numéricos), lo se, parece que no tiene sentido que eso sea RACIONAL o también IRRACIONAL, parece que no tiene relevancia,
¡Desde luego que tiene relevancia! Por que si son IRRACIONALES todo tu desarrollo, como ya he indicado, no vale para nada.
pero como verás hasta el final, en algún momento \( m \) tendrá NECESARIAMENTE que ser racional, pues el enunciado (REF.01) así lo dicta.
No. Ese es tu error. No das ninguna razón correcta que sustente que \( m \) es necesariamente racional.
Ahora, usando esa idea anteriormente, puedo escribir \( b_n \) de dos maneras diferentes:
1. \( b_n^n = m^n + 2\sqrt[ ]{a^nm^n} \)
2. \( b_n^n = (b_nP_n)^n + (b_nQ_n)^n \) (Recuerda que \( P_n^n + Q_n^n = 1, P_n, Q_n \) son racionales y además hay infinitos valores para cada \( n \)
Hasta ahí de acuerdo.... con un matiz.
¿De dónde te sacas que fijado \( n \), hay INFINITOS racionales cumpliendo \( P_n^n + Q_n^n = 1 \)?. He leído tu primer mensaje donde se supone que justificas eso; pero está mal. Allí lo afirmas al final, pero en realidad nada de lo que haces antes lo justifica.
De hecho me he dado cuenta que además de todos los errores que te estoy marcando tienes un error conceptual desde el principio. Pretendes razonar por reducción al absurdo (tu le llamas "por contraejemplo"). Pero que el Teorema de Fermat sea falso significa que existe algún exponente \( n\geq 3 \) y naturales \( (a,b,c) \) tales que \( a^n+b^n=c^n \); pero tu pones que PARA TODO \( n\neq 3 \), existen naturales bla, bla, bla... Eso es más fuerte que negar el Teorema de Fermat. Conste que inlcuso con tu interpretación siguen estando mal los otros argumentos que te he indicado.
Volviendo a lo que te decía antes. Que exista para \( n=3 \) una terna \( a^3+b^3=c^3 \) significa que, dividiendo por \( c \), puedes llegar a: \( (a/c)^3+(b/c)^3=1 \). Por tanto existe un par de racionales \( P_3,Q_3 \) tales que \( P_3^3+Q_3^3=1 \). Pero entiendo que tu afirmas que hay infinitos. Es decir afirmas que hay infinitos pares de racionales \( (P,Q) \) verificando \( P^3+Q^3=1. \) ¿Es así?¿Afirmas eso? En ese caso, ¿cómo lo demuestras?.
Leyendo tu primer mensaje parece que todo lo basas en pasar de \( (a,b,c) \) cumpliendo \( a^n+b^n=c^n \) a la terna \( (A_0,A_1,A_2)=(a^{n/k},b^{n/k},c^{n/k}) \) cumpliendo \( A_0^k+A_1^k=A_2^k \).
El problema es que esa terna \( (A_0,A_1,A_2)=(a^{n/k},b^{n/k},c^{n/k}) \) , podría ser de IRRACIONALES ("especiales" les llamas). Lo curioso es que tu mismo apuntas esa posibilidad; sin embargo cuando te conviene le das a esas ternas categorías de racionales, olvidando que pueden ser irracionales, sin mayor justificación.
Pero sabiendo que esta expresión: \( (b_nP_n)^n + (b_nQ_n)^n \) VALE lo mismo que esta: \( m^n + 2\sqrt[ ]{a^nm^n} \)
Entonces lo que hago es convertir esta expresión \( (b_nP_n)^n + (b_nQ_n)^n \) en la otra, pues VALEN lo mismo. (usando el ejemplo que te di: 4 + 3 = 10 - 3, por supuesto que 4 \( \neq \) 10 ni que 3\( \neq \)-3, lo que hacemos es convertir 4 + 3 en la expresión 10 - 3, para obtener la igualdad 10 - 3 = 10 - 3, no hemos cambiado el valor, sino la forma en que esta escrita)
Al sustituir \( b_n = \frac{m}{P_n} \) en la expresión: \( (b_nP_n)^n + (b_nQ_n)^n \), no estoy cambiando su VALOR sino la forma en que esta expresada
Al sustituir \( b_n = \frac{m}{P_n} \), con el \( m \) que tenías antes., hay varias opciones:
- Si pretendes que \( P_n,Q_n \) eran racionales prefijados cumpliendo \( P_n^n+Q_n^n=1 \), estás cambiando el valor de \( b_n \) porque nada te garantiza que ese \( m/P_n \) coincida con el \( b_n \) de antes.
- O bien si, entendiendo que \( b_n \) y \( m \) vienen fijados de antes y escoges \( P_n \) cumpliendo \( b_n = \frac{m}{P_n} \), entonces nada te garantiza que exista un \( Q_n \) racional tal que \( P_n^n+Q_n^n=1 \). Y si pierdes la "racionalidad" de las variables implicadas.. adiós al argumento.
- Si resulta que el \( m \) no venía prefijado de antes, entonces de acuerdo. \( b_n^n=m^n+r^n \), con \( m,n \) racionales. Pero ANTES decías también que \( b_n^n=m^n+2\sqrt{a_nm^m} \). ¿Ese \( m \) es viejo o nuevo?. Si es nuevo, entonces también estás escogiendo un nuevo \( a_n \) que cumpla esta igualdad \( b_n^n=m^n+2\sqrt{a_nm^m} \). Es decir ese \( a_n \) no tiene nada que ver con el inicial. Entonces todo tu argumento no descartaría que la terna INICIAL, fuese una posible terna racional solución de la ecuación de Fermat. Al respecto de esto es bueno que eches un vistazo a los ejemplos que he puesto al final de este hilo.
Aquí estas equivocado.
Situémonos en esta expresión: \( b_3^3 = m^3 + r^3 \), según el enunciado (REF.01), esto es: Para todo n≥1, existen racionales positivos \( a,b,c \), tales que se cumpla la igualdad: \( a^n+b^n=c^n \), entonces la expresión: \( b_3^3 = m^3 + r^3 \), NECESARIAMENTE tendrá por lo mínimo un valor donde \( m, r \) sea RACIONAL. Una vez que existan RACIONALES entonces también habrán IRRACIONALES ESPECIALES.
Exacto como mínimo UN valor de \( m,r \). Pero no el valor que a ti te de la gana o te interese en cada caso. Y el valor de \( m \) lo tenías fijado antes.
Verás, como lo he expliqué anteriormente según el enunciado (REF.01), esto es: Para todo n≥1, existen racionales positivos \( a,b,c \), tales que se cumpla la igualdad: \( a^n+b^n=c^n \), entonces la expresión: \( b_3^3 = m^3 + r^3 \), NECESARIAMENTE tendrá por lo mínimo un valor donde \( m, r \) sea RACIONAL, si solo consideramos que \( m, r \) fueran irracionales especiales como tú lo planteas, entonces estaríamos contradiciendo el enunciado (REF.01): Para todo n≥1, existen racionales positivos \( a,b,c \), tales que se cumpla la igualdad: \( a^n+b^n=c^n \), puesto que estaríamos afirmando que no existe NINGÚN racional que cumpla \( a^n+b^n=c^n \)
No. Lo que yo digo es que, fijado \( b_n \), hay infinitas parejas de números reales \( (m,r) \) verificando que\( b_n=m^n+r^n \). Tenemos garantizada bajo el supuesto de existencia de una solución entera de la ecuación para \( n=3 \), que al menos UNA de esas parejas es de racionales. Pero no para el valor de m que nos de la gana; sino para uno concreto (el que sea).
... Si todo eso estuviera bien, sólo estarías probando que es imposible que \( (a,b,c) \) racionales cumplan \( a^n+b^n=c^n \) si al mismo tiempo \( (\sqrt{a^n},\sqrt{b^n},\sqrt{c^n}) \) son racionales...
En ninguna parte he dicho eso...
Lo "dices" cuando partes de aquí:
\begin{pmatrix}{a_n=\ \sqrt[n]{y^2\left(\frac{s^2-1}{2}\right)^2}}\\{b_n=\sqrt[n]{y^2s^2}}\\{c_n=\ \sqrt[n]{y^2\left(\frac{s^2+1}{2}\right)^2}}\end{pmatrix}
¿A qué viene esa expresión si no es del caso \( n=2 \)?.
Luego a esta otra, veamos los dos posibles valores de \( m , w \). Situémonos en: \( b_n=m.w \), ya que \( b_n \) es racional, entonces \( m, r \) pueden ser racionales (ya que el producto de dos racionales es otro racional) o pueden ser irracionales especiales.
Si admites que \( m,r \) PUEDEN SER IRRACIONALES.. ¡de acuerdo!. Pero entonces...¡adios a tu argumento final!.
Para luego finalizar en esta:
\begin{pmatrix}{a_n=\frac{r^2}{m}\sqrt[ n]{\frac{1}{4}}}\\{b_n^n=\ m^n+r^n}\\{c_n=\ \sqrt[n]{\left(\sqrt{m^n}+\frac{r^n}{2\sqrt{m^n}}\right)^2}}\end{pmatrix}
Y de esta expresión, usaremos el enunciado (REF.01): Para todo n≥1, existen racionales positivos \( a,b,c \), tales que se cumpla la igualdad: \( a^n+b^n=c^n \), para deducir que la expresión: \( b_3^3 = m^3 + r^3 \), NECESARIAMENTE tendrá por lo mínimo un valor donde \( m, r \) sea RACIONAL, por lo tanto cuando \( m, r \) sean racionales entonces \( a_n \) será irracional para todo \( n>2 \)
¡Entramos en bucle!. Pero es que el valor de \( m \) lo traías prefijado de antes. No tiene porque coincidir con ese valor que sabemos que verifica \( b_3^3 = m^3 + r^3 \). ¡Lo acabas de recordar tu mismo!. Ese valor de \( m \) venía de aquí:
\( \begin{pmatrix}{a_n=\ \sqrt[n]{y^2\left(\frac{s^2-1}{2}\right)^2}}\\{b_n=\sqrt[n]{y^2s^2}}\\{c_n=\ \sqrt[n]{y^2\left(\frac{s^2+1}{2}\right)^2}}\end{pmatrix} \)
y luego \( m^n=y^2 \).
Mira, te propongo algo, en esta expresión:
\begin{pmatrix}{a_n=\frac{r^2}{m}\sqrt[ n]{\frac{1}{4}}}\\{b_n^n=\ m^n+r^n}\\{c_n=\ \sqrt[n]{\left(\sqrt{m^n}+\frac{r^n}{2\sqrt{m^n}}\right)^2}}\end{pmatrix}
juega con las variables \( m, r \) dale los valores que tú quieras ya sean racionales o irracionales, usando cualquier \( n \).
Si al sustituir los valores de las variables \( m, r \) en \( (a_n=\frac{r^2}{m}\sqrt[ n]{\frac{1}{4}} \)) y (\( b_n^n=\ m^n+r^n \)), no obtienes esta: \( (c_n=\ \sqrt[n]{\left(\sqrt{m^n}+\frac{r^n}{2\sqrt{m^n}}\right)^2}) \) al realizar la operación: \( a_n^n + b_n^n = c_n^n \), entonces todo todo lo que he escrito no tendría sentido, pues toda la demostración se basa en la premisa de estructura, pero si por el contrario vez que si se cumple, entonces razona esto: ¿Qué sucede con \( a_n \) si \( m, r \) son racionales?
No sé que me quieres decir con esto. Ya sé que con esas expresiones siempre es cierto que \( a^n+b^n=c^n \). Pero el problema es que no tenemos garantizado que \( m,r \) sean racionales. Es más, en esa misma línea también funcionan estas igualdades:
\begin{pmatrix}{a_n=\dfrac{r^2}{m}\sqrt[ n]{\dfrac{1}{\color{red}k^2\color{black}}}}\\{b_n^n=\ m^n+r^n}\\{c_n=\ \sqrt[n]{\left(\sqrt{m^n}+\dfrac{r^n}{\color{red}k\color{black}\sqrt{m^n}}\right)^2+\color{red}\dfrac{(k-2)r^n}{k}\color{black}}}\end{pmatrix}
Puedes poner el valor de \( k \) que te de la gana. Por ejemplo \( k \) cualquier número primo. Siempre se cumple que \( a_n^n+b_n^n=c_n^n \) Entonces si \( m,n \) son racionales \( a_n \) no puede serlo. ¿Prueba esto el Teorema de Fermat? ¿Prueba eso que no existen racionales \( a,b,c \) tales que \( a^n+b^n=c^n \)?.
O más simpático...
\( a_2=\dfrac{m}{n}\sqrt{2} \)
\( b_2^2=m^2+n^2 \)
\( c_2=\sqrt{m^2+n^2+(2m^2/n^2)} \)
cumplen \( a_2^2+b_2^2=c_2^2 \). Pero si \( m,n \) son racionales... \( a_2 \) no puede serlo. ¿Prueba esto que no existen racionales \( a,b,c \) cumpliendo \( a^2+b^2=c^2 \)?.
En fin...
Saludos.
-
Hola
¿De dónde te sacas que fijado \( n \), hay INFINITOS racionales cumpliendo \( P_n^n + Q_n^n = 1 \)?.
Considera:
\( a^n+b^n = c^n \), por el teorema (REF.01) "para todo \( n\geq{}1 \) bla. bla. bla" habrá por lo menos un valor racional \( a, b, c \)
\( d^n+e^n = f^n \), por el teorema (REF.01) "para todo \( n\geq{}1 \) bla. bla. bla" habrá por lo menos un valor racional \( d, e, f \)
\( g^n+h^n = i^n \), por el teorema (REF.01) "para todo \( n\geq{}1 \) bla. bla. bla" habrá por lo menos un valor racional \( g, h, i \)
Si el enunciado (REF.01) es cierto, entonces habrán infinitas ternas, si hay infinitas ternas, habrán infinitas ternas \( P_n, Q_n \) para \( P_n^n+Q_n^n \)
Así como tú lo dices:
...Que exista para \( n=3 \) una terna \( a^3+b^3=c^3 \) significa que, dividiendo por \( c \), puedes llegar a: \( (a/c)^3+(b/c)^3=1 \). Por tanto existe un par de racionales \( P_3,Q_3 \) tales que \( P_3^3+Q_3^3=1 \).
En cuanto a las "emes", te lo mostraré desde otro punto de vista:
Partamos de esto:
\( b_3^3 = m^3 + 2\sqrt[ ]{a_3^3m^3} \)
Si \( z^3 = 2\sqrt[ ]{a_3^3m^3} \), entonces:
\( b_3^3 = m^3 + z^3 \)
por el teorema (REF.01) "para todo \( n\geq{}1 \) bla. bla. bla" habrá por lo menos un valor racional \( b_3, m, z \)
Entonces despejo \( a_3 \) y tenemos:
\( a_3 = \frac{z^2}{m}\sqrt[3]{\frac{1}{4}} \) como lo vimos anteriormente por lo menos un valor racional \( b_3, m, z \), no estoy diciendo que todos los valores \( b_3, m, z \), sino por lo menos uno.
Y esa es la situación Luis, que por el enunciado (REF.01) tendría que haber por lo menos un valor racional \( b_3, m, z \), por ese único valor que existe es que \( a_3 \) llega hacer irracional
Desde otra perspectiva: para que \( a_3 \) sea racional, entonces \( m \) o \( r \) tendrían que ser SIEMPRE irracionales, entones no se cumpliría el enunciado (REF.01) "para todo \( n\geq{}1 \) ..."
Lo "dices" cuando partes de aquí:
Lo que yo digo es esto:
\begin{pmatrix}{a_n=\ \sqrt[n]{y^2\left(\frac{s^2-1}{2}\right)^2}}\\{b_n=\sqrt[n]{y^2s^2}}\\{c_n=\ \sqrt[n]{y^2\left(\frac{s^2+1}{2}\right)^2}}\end{pmatrix}
No esto:
sólo estarías probando que es imposible que \( (a,b,c) \) racionales cumplan \( a^n+b^n=c^n \) si al mismo tiempo \( (\sqrt{a^n},\sqrt{b^n},\sqrt{c^n}) \) son racionales.
Te falto colocar la \( n \) en los radicales: \( (\sqrt{a^n},\sqrt{b^n},\sqrt{c^n}) \)
¿A qué viene esa expresión si no es del caso \( n=2 \)?.
Me da la impresión que tu piensas esto: sea \( (3k)^2 + (4k)^2 = (5k)^2 \) que es una solución racional para \( n=2 \) y que luego de esa solución partamos a esto: \( (3k)^n + (4k)^n = (5k)^n \) pretendiendo que esta sea una solución racional para todo \( n \), esto NO es lo que doy a entender, sino la idea de usar una estructura como ya te indiqué en los comentarios anteriores sobre el uso de las estructuras
Es más, en esa misma línea también funcionan estas igualdades:
\begin{pmatrix}{a_n=\dfrac{r^2}{m}\sqrt[ n]{\dfrac{1}{\color{red}k^2\color{black}}}}\\{b_n^n=\ m^n+r^n}\\{c_n=\ \sqrt[n]{\left(\sqrt{m^n}+\dfrac{r^n}{\color{red}k\color{black}\sqrt{m^n}}\right)^2+\color{red}\dfrac{(k-2)r^n}{k}\color{black}}}\end{pmatrix}
Luis, déjame felicitarme primero, eres grande entre los grandes, esta expresión está muy chula.
Después del saludo, paso a las observaciones:
Desde tu expresión, se puede observar que ya no son solo dos variables sino tres, eso cambia el juego, para que comprendas, partamos de tu expresión:
O más simpático...
\( a_2=\dfrac{m}{n}\sqrt{2} \)
\( b_2^2=m^2+n^2 \)
\( c_2=\sqrt{m^2+n^2+(2m^2/n^2)} \)
Situémonos en la expresión: \( b_2^2=m^2+n^2 \), por el teorema (REF.01) "para todo \( n\geq{}1 \) bla. bla. bla" habrá por lo menos un valor racional \( b_2, m, n \)
(desde este punto vista, entonces \( a_2 \) es irracional, y todo el razonamiento al carajo.. ¿o NO?)
Resulta Luis que como tú lo indicas:
Puedes poner el valor de \( k \) que te de la gana
(en tu caso has elegido esto \( k = \frac{nr^2}{m^2\sqrt[ ]{2}} \))
Resulta que la línea de investigación se central en \( k \), puesto que por el enunciado (REF.01) por lo menos habrá un valor de \( m, n \) que sea racional, entonces habría que determinar si existe algún \( k \) que permita que \( a_2 \) sea racional, siendo \( m, n \) racionales
Y resulta que para \( n=2 \), si existe tal \( k \).
Si \( k = 2 \), entonces \( a_2 = \frac{n^2}{2m} \) y por tanto \( a_2 \) es racional siendo \( m, n \) racionales
Saludos.
-
Hola
Considera:
\( a^n+b^n = c^n \), por el teorema (REF.01) "para todo \( n\geq{}1 \) bla. bla. bla" habrá por lo menos un valor racional \( a, b, c \)
\( d^n+e^n = f^n \), por el teorema (REF.01) "para todo \( n\geq{}1 \) bla. bla. bla" habrá por lo menos un valor racional \( d, e, f \)
\( g^n+h^n = i^n \), por el teorema (REF.01) "para todo \( n\geq{}1 \) bla. bla. bla" habrá por lo menos un valor racional \( g, h, i \)
Si el enunciado (REF.01) es cierto, entonces habrán infinitas ternas, si hay infinitas ternas, habrán infinitas ternas \( P_n, Q_n \) para \( P_n^n+Q_n^n \)
No entiendo lo que haces ahí. Repites muchas veces la misma frase cambiando el nombre de las letras. ¿Eso hace que salgan infinitas?¿Por qué cambias el nombre a las letras?. ¿Por que no son las mismas en cada renglón?.
En enunciado (REF.01) tu lo has escrito así:
Para todo \( n ≥ 1 \), existen racionales positivos \( a, b , c \), tales que se cumpla la igualdad: (REF.01)
\( a^n + b^n = c^n \)
Es decir para \( n=3 \) existen racionales positivos \( a,b,c \) tales que \( a^3+b^3=c^3 \).
1) ¿Has querido decir en ese enunciado existen INFINITOS racionales positivos? Si es eso, pues nada que decir. Lo afirmas por decreto. Es parte de tu suposición. Ok.
2) Lo que yo entendía es que eso significaba es que para \( n=3 \) existe AL MENOS tres racionales \( a^3+b^3=c^3. \) Con esta interpretación no veo de donde te sacas los infinitos cumpliendo \( P^3+Q^3=1 \) (si existen infinitos racionales dividiendo la terna inicial por una constate; pero si fuerzas que esté la suma igualda a uno sólo puedes dividir por \( c \)).
Aclárame a cuál de las dos interpretaciones te refieres si (1) y (2).
Vaya por delante que si quieres probar el Teorema de Fermat tienes que probar que no puede existir un \( n \) para el cual la ecuación \( a^n+b^n=c^n \) tenga soluciones enteras. Es decir tu enunciado REF.01 es más fuerte que la negación del Teorema de Fermat.
En cuanto a las "emes", te lo mostraré desde otro punto de vista:
Partamos de esto:
\( b_3^3 = m^3 + 2\sqrt[ ]{a_3^3m^3} \)
Si \( z^3 = 2\sqrt[ ]{a_3^3m^3} \) (*), entonces:
\( b_3^3 = m^3 + z^3 \)
¿Y ese \( z \) es racional?¿Por qué? No tiene porque serlo.
por el teorema (REF.01) "para todo \( n\geq{}1 \) bla. bla. bla" habrá por lo menos un valor racional \( b_3, m, z \)
Aquí vuelves a cometer el error. ¿El \( z \) es el que obtienes por está fórmula (*) o es un \( z \) que viene de algunas ternas de racionales (no las que nosotros queramos) que cumplen \( b_3^3=m^3+z^3 \)? O una cosa o la otra: pero no justificas por ningún lado que se tengan que cumplir ambas al tiempo.
Una y otra y otra y otra vez repites el mismo error.
Entonces despejo \( a_3 \) y tenemos:
\( a_3 = \frac{z^2}{m}\sqrt[3]{\frac{1}{4}} \) como lo vimos anteriormente por lo menos un valor racional \( b_3, m, z \), no estoy diciendo que todos los valores \( b_3, m, z \), sino por lo menos uno.
Y esa es la situación Luis, que por el enunciado (REF.01) tendría que haber por lo menos un valor racional \( b_3, m, z \), por ese único valor que existe es que \( a_3 \) llega hacer irracional
Aquí más de lo mismo. ¿El \( a_3 \) venía prefijado o lo escoges con esa pinta \( a_3 = \frac{z^2}{m}\sqrt[3]{\frac{1}{4}} \)?.
- Si \( a_3,b_3,c_3 \) venían prefijados como una terna que cumplía \( a_3^3+b_3^3=c_3^3 \) y querías analizar si es posible que los tres sean o no racionales, entonces los valores de \( m,z \) dependen de \( a_3 \). NO SON Los que tu quieras. NO SON esos racionales que cumplen \( b_3=m^3+z^3 \). Es aquí donde hay "emes" distintas.
- Si por el contrario el valor de \( a_3 \), lo defines así \( a_3 = \frac{z^2}{m}\sqrt[3]{\frac{1}{4}} \), entonces ¡claro que es irracional!. Pero así solo pruebas que no existen ternas racionales \( a_3,b_3,c_3 \) cumpliendo \( a_3^3+b_3^3=c_3^3 \) con esa forma particular que TU le has FORZADO a \( a_3 \). La demostración es tan absurda como las variantes que yo te he mostrado y que igualmente servirían para probar que tampoco hay ternas racionales para \( n=2 \) (lo cual es falso).
O más simpático...
\( a_2=\dfrac{m}{n}\sqrt{2} \)
\( b_2^2=m^2+n^2 \)
\( c_2=\sqrt{m^2+n^2+(2m^2/n^2)} \)
Situémonos en la expresión: \( b_2^2=m^2+n^2 \), por el teorema (REF.01) "para todo \( n\geq{}1 \) bla. bla. bla" habrá por lo menos un valor racional \( b_2, m, n \)
(desde este punto vista, entonces \( a_2 \) es irracional, y todo el razonamiento al carajo.. ¿o NO?)
No se que me has querido decir ahí, francamente. Mi pregunta es. ¿Ese razonamiento que he puesto probaría que no hay ternas racionales para \( n=2 \)?¿Por qué no?¿Dónde está el error?. Si el único error es que sabemos que realmente si hay ternas para \( n=2 \), eso ¡ya!. Pero la cuestión es que indiques que es lo que para ti falla ahí.
Resulta Luis que como tú lo indicas:
Puedes poner el valor de \( k \) que te de la gana
(en tu caso has elegido esto \( k = \frac{nr^2}{m^2\sqrt[ ]{2}} \))
Resulta que la línea de investigación se central en \( k \), puesto que por el enunciado (REF.01) por lo menos habrá un valor de \( m, n \) que sea racional, entonces habría que determinar si existe algún \( k \) que permita que \( a_2 \) sea racional, siendo \( m, n \) racionales
Y resulta que para \( n=2 \), si existe tal \( k \).
Si \( k = 2 \), entonces \( a_2 = \frac{n^2}{2m} \) y por tanto \( a_2 \) es racional siendo \( m, n \) racionales
¿Y si encuentro un \( k \) para el cual \( a_3 \) es racional siendo \( m,n \) racionales?. ¿Entonces ya no funciona tu demostración?¿qué pasa entonces?.
Por ejemplo para \( k=8 \):
\( a_n=\dfrac{r^2}{m}\sqrt[ n]{\dfrac{1}{\color{red}k^2\color{black}}}=\dfrac{r^2}{m}\sqrt[ 3]{\dfrac{1}{\color{red}64\color{black}}}=\dfrac{r^2}{4m} \) es racional.
Saludos.
-
Hola
Repites muchas veces la misma frase cambiando el nombre de las letras
Es decir, que cada expresión con letras diferentes, representan cantidades diferentes y por eso se obtienen racionales diferentes
Aclárame a cuál de las dos interpretaciones te refieres si (1) y (2).
Podría decirse que la (1), te explico:
\( a, b, c \) serán racionales suponiendo que el enunciado es verdadero.
¿pero qué representan estas variables? un solo valor? o varios?
Pues, representan varios valores, por así decirlo, son un rango o conjunto de valores. ¿y cuál es mi base para suponer eso? Pues verás, supongamos que tomamos una terna de esas infinitas que tiene, digamos que sea \( a_1, b_1, c_1 \), ahora si esta terna la multiplico por un valor racional digamos \( v \) obtengo esto: \( (a_1v)^n+(b_1v)^n =(c_1v)^n \), entonces esta es otra terna racional, digamos \( (a_2)^n+(b_2)^n=(c_2)^n \), luego si a esta terna la multiplico por otro valor racional, digamos \( u \), obtenemos esto: \( (a_2u)^n+(b_2u)^n =(c_2u)^n \), entonces esta es otra terna racional, digamos \( (a_3)^n+(b_3)^n=(c_3)^n \), entonces, a todas esas \( a_n, b_n, c_n \) (que son ternas racionales) las reunimos en un conjunto, y ese conjunto lo denotaremos como \( a, b, c \) (significa que para todos los subconjuntos de \( a, b, c \) todos ellos son racionales)
Es decir tu enunciado REF.01 es más fuerte que la negación del Teorema de Fermat.
No es que sea más fuete, solo que se amplia al conjunto de los racionales. Puedes ubicarte en el primer comentario, feriva hizo una deducción brillante, mostrando la relación entre racionales y enteros.
¿Y ese \( z \) es racional?¿Por qué? No tiene porque serlo.
Te mostraré la idea, desde otro punto de vista:
Partamos desde la misma expresión:
\( b_n^n = m^n + 2\sqrt[ ]{a_n^nm^n} \)
me preguntas si esas "emes" vienen prefijadas o yo las escojo, pues la verdad, es que son la misma y están intrínsecas en ambos miembros, mira:
Por obviedad: \( b_n^n = b_n^n \)
Entonces:
\( m^n + 2\sqrt[ ]{a_n^nm^n} \) = \( m^n + 2\sqrt[ ]{a_n^nm^n} \)
Sustituyamos \( z = 2\sqrt[ ]{a_n^nm^n} \) en el miembro izquiero. (\( z \) es un Real, nótese que solo hemos cambiado la forma de la expresión, no su valor)
Tenemos:
\( m^n + z \) = \( m^n + 2\sqrt[ ]{a_n^nm^n} \)
Despejamos \( a_n \) y llegamos a la expresión:
\( a_n = \frac{1}{m}\sqrt[n]{\frac{z^2}{4}} \)
\( b_n^n = m^n + z \)
\( c_n^n = (\sqrt[ ]{m^n}+\frac{z}{2\sqrt[ ]{m^n}})^2 \)
Mira, los valores de \( m, z \) son Reales, pueden ser racionales o irracionales. Ahora, jugando con los valores llegará un valor donde \( z = r^n \) (nada impide que así sea, pues si \( z \) es Real, entonces \( r^n \) es real, solo estoy cambiando la forma de la variable, no su valor)
Y llegamos a esta expresión:
\( a_n = \frac{r^2}{m}\sqrt[n]{\frac{1}{4}} \)
\( b_n^n = m^n + r^n \)
\( c_n^n = (\sqrt[ ]{m^n}+\frac{r^n}{2\sqrt[ ]{m^n}})^2 \)
Los valores \( m, r \) son Reales, pueden ser racionales o irracionales(no son los valores que yo quiera o los que me convenga colocar son aquellos valores que permitan que \( a_n, b_n, c_n \) sean racionales). Pero, por el enunciado, habrá por lo menos un valor entre todos los Reales de \( m, r \) donde estos sean racionales (no es que yo forzosamente desee que sean racionales, es que así lo indica el enunciado), entonces cuando existan esos racionales sucederá que \( a_n \) será irracional para \( n>2 \). ¿Qué significa esto? ¿estoy probando que el UTF es verdadero?
Significa así de simple que un elemento de la terna \( a_n, b_n, c_n \) no es racional, ¿y eso qué implica?
(contexto)
Pues \( a_n, b_n, c_n \) es subconjunto de \( a, b, c \) (así como lo indiqué en la demostración y al principio de este comentario)
Entonces según el enunciado, la terna \( a, b, c \) tendría que ser racional para CUALQUIERA sus subconjuntos.
Luego encontramos que el subconjunto \( a_n, b_n, c_n \) no cumple el enunciado (puesto que uno de sus elementos es irracional), por tanto, el enunciado es falso.
¿Ese razonamiento que he puesto probaría que no hay ternas racionales para \( n=2 \)?¿Por qué no?¿Dónde está el error?
Solo estas probando que \( a_2, b_2, c_2 \) no son una terna racional cuando \( m, n \) son racionales.
No se de donde vienen \( a_2, b_2, c_2 \), a que conjunto o subconjunto pertenecen ni que premisa hay antes de ellas, solo las has colocado sin un contexto.
Aquí tienes otras:
\( a_3 = 5m^2n^2 \)
\( b_3^2 = m^2+n^2 \)
\( a_3^2 =m^2+n^2+ 5m^2n^2 \)
Y otra
\( a_4 = 7m^2n^2 \)
\( b_4^2 = m^2+n^2 \)
\( a_4^2 =m^2+n^2+ 7m^2n^2 \)
Y las que quieras:
\( a_p = pm^2n^2 \) (\( p \) es un número primo)
\( b_p^2 = m^2+n^2 \)
\( a_p^2 =m^2+n^2+ pm^2n^2 \)
¿Y si encuentro un \( k \) para el cual \( a_3 \) es racional siendo \( m,n \) racionales?. ¿Entonces ya no funciona tu demostración?¿qué pasa entonces?.
Si encuentras tal \( k \) tienes entonces \( a_3, b_3 \) como racionales, siendo \( m,n \) racionales, ahora debes determinar si también lo será \( c_3 \)
\begin{pmatrix}{a_n=\dfrac{r^2}{m}\sqrt[ n]{\dfrac{1}{\color{red}k^2\color{black}}}}\\{b_n^n=\ m^n+r^n}\\{c_n=\ \sqrt[n]{\left(\sqrt{m^n}+\dfrac{r^n}{\color{red}k\color{black}\sqrt{m^n}}\right)^2+\color{red}\dfrac{(k-2)r^n}{k}\color{black}}}\end{pmatrix}
Me gusta mucho tu expresión, ¿de dónde la has deducido? y ¿Cómo la relacionas con la que yo he hecho?
Saludos
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Hola
Es decir, que cada expresión con letras diferentes, representan cantidades diferentes y por eso se obtienen racionales diferentes
En realidad cuando se usan letras diferentes, no quiere decir que sus valores tengan que ser diferentes. Pero bueno eso es lo de menos.
En cualquier caso más allá de lo que lo expreses así o asá, se trata de justificar porque hay ternas diferentes que cumplen la igualdad para nada \( n \).
Pues, representan varios valores, por así decirlo, son un rango o conjunto de valores. ¿y cuál es mi base para suponer eso? Pues verás, supongamos que tomamos una terna de esas infinitas que tiene, digamos que sea \( a_1, b_1, c_1 \), ahora si esta terna la multiplico por un valor racional digamos \( v \) obtengo esto: \( (a_1v)^n+(b_1v)^n =(c_1v)^n \), entonces esta es otra terna racional, digamos \( (a_2)^n+(b_2)^n=(c_2)^n \), luego si a esta terna la multiplico por otro valor racional, digamos \( u \), obtenemos esto: \( (a_2u)^n+(b_2u)^n =(c_2u)^n \), entonces esta es otra terna racional, digamos \( (a_3)^n+(b_3)^n=(c_3)^n \), entonces, a todas esas \( a_n, b_n, c_n \) (que son ternas racionales) las reunimos en un conjunto, y ese conjunto lo denotaremos como \( a, b, c \) (significa que para todos los subconjuntos de \( a, b, c \) todos ellos son racionales)
Eso de multiplicar por \( u \) es lo que te decía yo aquí:
2) Lo que yo entendía es que eso significaba es que para \( n=3 \) existe AL MENOS tres racionales \( a^3+b^3=c^3. \) Con esta interpretación no veo de donde te sacas los infinitos cumpliendo \( P^3+Q^3=1 \) (si existen infinitos racionales dividiendo la terna inicial por una constate; pero si fuerzas que esté la suma igualda a uno sólo puedes dividir por \( c \)).
Pero el problema es que así NO consigues infinitos racionales cumpliendo \( P_3^3+Q_3^3=1 \). Porque al pasar de:
\( (a_3u)^3+(b_3u)^3 =(c_3u)^3 \)
a
\( \left(\dfrac{a_3u}{c_3u}\right)^3+\left(\dfrac{b_3u}{c_3u}\right)^3=1\qquad \Leftrightarrow{}\qquad \left(\dfrac{a_3}{c_3}\right)^3+\left(\dfrac{b_3}{c_3}\right)^3=1 \)
esas \( u \) se cancelan y realmente siempre se obtiene el mismo par \( (P,Q) \) cumpliendo \( P^3+Q^3=1 \).
Es decir tu enunciado REF.01 es más fuerte que la negación del Teorema de Fermat.
No es que sea más fuete, solo que se amplia al conjunto de los racionales. Puedes ubicarte en el primer comentario, feriva hizo una deducción brillante, mostrando la relación entre racionales y enteros.
No. No me refiero a que sea más fuerte porque lo amplies a los racionales. Es más fuerte porque afirmas la existencia de una terna para todo \( n \). Es decir para que el Teorema de Fermat se falso basta, por ejemplo, que para \( n=3 \) existan tres naturales tales que \( a^3+b^3=c^3 \) aunque no existan esos naturales para \( n>3 \).
De todas formas y por resumir lo esencial hasta aquí: por el motivo que acabo de indicarte, NO has justificado que, incluso bajo tus supuestos, tengas garantizados INFINITOS pares de racionales \( (P_n,Q_n) \) tales que \( P_n^n+Q_n^n=1 \).
Como consecuencias de esto, fijado un \( b_n \) tampoco tienes garantizados INFINITOS racionales \( m,r \) tales que \( b_n=m^n+n^n. \) A lo sumo puedes garantizar uno, multiplicando \( P_n^n+Q_n^n=1 \) por \( b_n^n \).
Los valores \( m, r \) son Reales, pueden ser racionales o irracionales(no son los valores que yo quiera o los que me convenga colocar son aquellos valores que permitan que \( a_n, b_n, c_n \) sean racionales). Pero, por el enunciado, habrá por lo menos un valor entre todos los Reales de \( m, r \) donde estos sean racionales (no es que yo forzosamente desee que sean racionales, es que así lo indica el enunciado), entonces cuando existan esos racionales sucederá que \( a_n \) será irracional para \( n>2 \).
Veamos, bajo el supuesto de que al menos hay una solución racional de la ecuación de Fermat para exponente \( n \), puedes escoger en esas ecuaciones \( m,r \) racionales tales que \( b^n=m^n+r^n \). Y a partir de ahí obtener una terna \( (a_n,b_n,c_n) \) donde \( a_n \) no es racional y que cumple la ecuación. ¿Y qué?. Eso no sirve para nada.
La terna \( (\sqrt{33},4,7) \) cumple \( (\sqrt{33})^2+4^2=7^2 \), ¿quiere decir que no puedan existir otras ternas de racionales que cumplan \( a^2+b^2=c^2 \)?. ¡No! Porque de hecho sabemos que existen.
¿Qué significa esto? ¿estoy probando que el UTF es verdadero?
Significa así de simple que un elemento de la terna \( a_n, b_n, c_n \) no es racional, ¿y eso qué implica?
(contexto)
Pues \( a_n, b_n, c_n \) es subconjunto de \( a, b, c \) (así como lo indiqué en la demostración y al principio de este comentario)
Entonces según el enunciado, la terna \( a, b, c \) tendría que ser racional para CUALQUIERA sus subconjuntos.
Luego encontramos que el subconjunto \( a_n, b_n, c_n \) no cumple el enunciado (puesto que uno de sus elementos es irracional), por tanto, el enunciado es falso.
Todo lo que he marcado en rojo no tiene sentido ninguno, y parece que es el fondo de tu error.
Hablas de "subconjunto de \( a, b, c \)". Entiendo que te refieres a que es un subconjunto de todas las ternas racionales que si cumplen \( a^n+b^n=c^n. \) Pero, ¿en que quedamos?.
¿Esa terna \( (a_n,b_n,c_n) \) la escoges PREVIAMENTE entre una de esas soluciones RACIONALES que supones que existen? Si es así, entonces \( a_n,b_n,c_n \), no son cualesquiera. Están prefijados. Y por tanto eso que hacías antes de coger los valores racionales de \( m,n \) que sabemos que verifican \( b_n^n=m^n+r^n \) ya no valen, porque esos podrían dar un valor de \( a_n \)que NADA tiene que ver con el que estaba PREFIJADO. Es aquí donde cobra sentido todo lo que te estado diciendo sobre las dos "emes".
¿O bien esa terna \( (a_n,b_n,c_n) \) la ha formado a partir de los valores de \( m,r \) racionales que cumplen \( b_n^n=m^n+r^n \) escogiendo el valor de \( a_n \) a partir de \( m,r \)? Entonces efectivamente \( a_n \) no es racional y simplemente lo que tenemos es que esa terna NO es una de las soluciones racionales de la ecuación de Fermat. Pero eso no contradice nada. Por que esa terna no estaba previamente seleccionada entre las racionales que cumplían la ecuación. No. La hemos formado de tal manera que resulta ser irracional.
Solo estas probando que \( a_2, b_2, c_2 \) no son una terna racional cuando \( m, n \) son racionales.
Efectivamente igual que tu solo pruebas que \( a_n,b_n,c_n \) no son una terna racional cuando \( m, n \) son racionales.
No se de donde vienen \( a_2, b_2, c_2 \), a que conjunto o subconjunto pertenecen ni que premisa hay antes de ellas, solo las has colocado sin un contexto.
Y en tu caso entramos en el problema que te comenté antes. Si tu terna viene seleccionada de un subconjunto, no puedes garantizar que tu \( m,r \) sean racionales. Si tu terna la creas a partir de los racionales \( m,r \) entonces ya no proviene de ningún conjunto, subconjunto o premisa previa.
Saludos.
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Hola Luis, perdona que he tardado en responder, he tenido unos días complicados
Pero el problema es que así NO consigues infinitos racionales cumpliendo \( P_3^3+Q_3^3=1 \)... esas \( u \) se cancelan y realmente siempre se obtiene el mismo par \( (P,Q) \) cumpliendo \( P^3+Q^3=1 \).
En ninguna parte dije que así se debían conseguir todas, fue un ejemplo para demostrarte que existen infinitas ternas \( a_n, b_n, c_n \)
Todo lo que he marcado en rojo no tiene sentido ninguno, y parece que es el fondo de tu error.
Pues la verdad me gustaría que me explicaras concretamente por qué ese razonamiento está mal.
Veo que si un Argumento me dice que para tal conjunto y sus subconjuntos se debe cumplir cierta condición y resulta que para un subconjunto no se cumple el Argumento, entonces ese Argumento es falso
¿Esa terna \( (a_n,b_n,c_n) \) la escoges PREVIAMENTE entre una de esas soluciones RACIONALES que supones que existen?
Así es
Si es así, entonces \( a_n,b_n,c_n \), no son cualesquiera. Están prefijados.
Exacto, cada palabra que dijiste.
Y por tanto eso que hacías antes de coger los valores racionales de \( m,n \) que sabemos que verifican \( b_n^n=m^n+r^n \) ya no valen, porque esos podrían dar un valor de \( a_n \)que NADA tiene que ver con el que estaba PREFIJADO. Es aquí donde cobra sentido todo lo que te estado diciendo sobre las dos "emes".
Ya lo comprenderás mas abajo
¿O bien esa terna \( (a_n,b_n,c_n) \) la ha formado a partir de los valores de \( m,r \) racionales que cumplen \( b_n^n=m^n+r^n \) escogiendo el valor de \( a_n \) a partir de \( m,r \)?
No la he formado ni pretendí crearla (aunque no sería mala idea)
Y en tu caso entramos en el problema que te comenté antes. Si tu terna viene seleccionada de un subconjunto, no puedes garantizar que tu \( m,r \) sean racionales.
La terna viene seleccionada de un conjunto, más abajo daré otro ejemplo de las \( m,r \)
Si tu terna la creas a partir de los racionales \( m,r \) entonces ya no proviene de ningún conjunto, subconjunto o premisa previa.
No la he creado
Bueno, comenzaré otra vez a explicarte:
Como te había explicado anteriormente, la terna \( a, b, c \) son un conjunto que contiene a todos aquellos subconjuntos que sí cumplen esta igualdad, partiendo de esto:
Por el enunciado (REF.01) la terna \( a, b, c \) será racional para todo \( n \), entonces para todos sus subconjuntos también lo serán:
\( a_k^n + b_k^n = c_k^n \) es subconjunto de \( a, b, c \), por tanto la terna \( a_k, b_k, c_k \) tendrá por lo menos un valor racional
\( a_v^n + b_v^n = c_v^n \) es subconjunto de \( a, b, c \), por tanto la terna \( a_v, b_v, c_v \) tendrá por lo menos un valor racional
\( a_u^n + b_u^n = c_u^n \) es subconjunto de \( a, b, c \), por tanto la terna \( a_u, b_u, c_u \) tendrá por lo menos un valor racional
\( a_n^n + b_n^n = c_n^n \) es subconjunto de \( a, b, c \), por tanto la terna \( a_n, b_n, c_n \) tendrá por lo menos un valor racional
(además podría indicar que \( b_n^n = m^n + r^n \) es subconjunto de \( a, b, c \), por tanto la terna \( b_n, m, r \) tendrá por lo menos un valor racional, ¿Qué me impide que no pertenezca esta terna al conjunto de \( a, b, c \)?, pues nada)
Y así puedes continuar, cada terna tiene diferente valor y por tanto diferentes racionales.
Si se divide el último elemento entre los primeros dos, obtenemos: \( P^n+Q^n=1 \) para cada subconjunto de \( a, b, c \)
Ahora, reunimos todas esas ternas en un solo conjunto y lo denotaremos como \( P_n^n+Q_n^n=1 \) y aquí tienes a todas las ternas infinitas, además, esta terna es formada por los subconjuntos de \( a, b, c \), entonces esta terna también es subconjunto de \( a, b, c \)
Pero ¿Por qué sucede esto?, pues por el enunciado
Ahora, si el enunciado fuera diferente, por ejemplo algo así:
Para todo \( n ≥ 1 \), existen a lo más tres racionales positivos \( a, b , c \), tales que se cumpla la igualdad: (REF.01)
\( a^n + b^n = c^n \)
Aquí si ya no funciona el razonamiento anterior, pues estaría diciendo que para el caso \( n=2 \) solamente existen tres racionales positivos y no más y por tanto solo una terna \( P^2+Q^2 = 1 \))
En la demostración que yo propongo, de todos sus conjuntos de \( a, b, c \), tomo uno, que es \( a_n , b_n, c_n \), luego dentro de este subconjunto habrán otras ternas, usando tus palabras, diré que estas ternas están prefijadas, por así decirlo
Luego llevo el razonamiento en paralelo para \( b_n \)
Y tengo estas dos líneas:
1. \( b_n^n = m^n+2\sqrt[ ]{m^na_n^n} \)
2. \( b_n^n = (b_nP_n)^n + (b_nQ_n)^n \)
(La expresión 2. se obtiene al multiplicar \( b_n^n \) por \( P_n^n+Q_n^n=1 \))
Pero ¿que significa la expresión 2. y que importancia tiene?, pues que \( b_n \) se puede escribir de infinitas formas como la suma de dos racionales elevados a la potencia \( n \) cada uno, por ejemplo para el caso \( n=2 \), sea \( b_2 = 7 \), entonces: \( 7^2 = (7P_2)^2+(7Q_2)^2 \):
\begin{pmatrix}{7^2 = (\frac{21}{5})^2+(\frac{28}{5})^2}\end{pmatrix} Aquí otra \begin{pmatrix}{7^2 = (\frac{35}{13})^2+(\frac{84}{13})^2}\end{pmatrix} otra \begin{pmatrix}{7^2 = (\frac{56}{17})^2+(\frac{105}{17})^2}\end{pmatrix}, ahora mira esto:
Terna racional para \( n=2 \): \( a = (\frac{56}{15}), b = 7, c=(\frac{119}{15}) \)
\begin{pmatrix}{a^2}\\{b^2}\\{c^2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{(\frac{56}{15})^2}\\{(7)^2}\\{(\frac{119}{15})^2}\end{pmatrix}, usando 2., tengo: \begin{pmatrix}{(\frac{56}{15})^2}\\{7^2 = (\frac{21}{5})^2+(\frac{28}{5})^2}\\{(\frac{119}{15})^2}\end{pmatrix} o esta \begin{pmatrix}{(\frac{56}{15})^2}\\{7^2 = (\frac{56}{17})^2+(\frac{105}{17})^2}\\{(\frac{119}{15})^2}\end{pmatrix}, ves como puedo estar jugando con \( 7^2 \), puedo escribirlo de infinitas formas como suma de racionales cuadrados cada uno.
(no olvides por favor este razonamiento)
Consideremos ahora la terna \( a_n, b_n, c_n \), (esta terna a su vez, contendrá subternas), la dividiremos en dos líneas:
Primera:
\begin{pmatrix}{(a_n)^n}\\{(b_n)^n}\\{(c_n)^n}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{(a_n)^n}\\{(b_n)^n = m^n + 2\sqrt[ ]{m^na^n}}\\{(c_n)^n = (\sqrt[ ]{m^n}+\frac{r^n}{2\sqrt[ ]{m^n}})^2}\end{pmatrix} Luego la transformamos \begin{pmatrix}{a_n = \frac{r^2}{m}\sqrt[3]{1/4}}\\{b_n^n = m^n+r^n}\\{c_n^n = (\sqrt[ ]{m^n}+\frac{r^2}{2\sqrt[ ]{m^n}})^2}\end{pmatrix} (\( m, r \) Reales), sustituyamos: \( k_1 = \frac{r^2}{m}\sqrt[3]{1/4} \), \( k_2 = (\sqrt[ ]{m^n}+\frac{r^2}{2\sqrt[ ]{m^n}})^2 \), tenemos entonces: \begin{pmatrix}{a_n = k_1}\\{b_n^n = m^n+r^n}\\{c_n^n = k_2}\end{pmatrix} (*)
Segunda
\begin{pmatrix}{(a_n)^n}\\{(b_n)^n}\\{(c_n)^n}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{(a_n)^n}\\{b_n^n = (b_nP_n)^n + (b_nQ_n)^n}\\{(c_n)^n}\end{pmatrix}, Sustituyamos \( m_k^n = (b_nP_n)^n \), \( r_k^n = (b_nQ_n)^n \), tenemos entonces \begin{pmatrix}{(a_n)^n}\\{b_n^n = (m_k)^n + (r_k)^n}\\{(c_n)^n}\end{pmatrix}(**)
Comparemos (**) y (*):
\begin{pmatrix}{(a_n)^n}\\{b_n^n = (m_k)^n + (r_k)^n}\\{(c_n)^n}\end{pmatrix} \( \Leftrightarrow{} \) \begin{pmatrix}{a_n = k_1}\\{b_n^n = m^n+r^n}\\{c_n^n = k_2}\end{pmatrix}
La expresión del lado izquierdo está en su forma general, es decir, no hay variables que me permitan generar (\( a_n, c_n \)), pero me da la certeza que \( a_n \) es racional, cuando \( b_n^n \) es la suma de dos racionales elevados a la potencia \( n \) cada uno. La expresión del lado derecho, por el contrario, me permite generar \( a_n, b_n, c_n \) utilizando las variables \( m, r \).
La expresión del lado izquierdo, tiene infinitas combinaciones en cuanto a \( b_n \), la expresión del lado derecho, me permite tomar una de esas combinaciones de \( b_n \) y generar (\( a_n, b_n, c_n \)).
Por tanto, tomaremos una terna racional (\( a_u, b_u^n = m_1^n + r_1^n, c_u \)) en donde ambas expresiones (izquierda y derecha) converjan.
Comparamos esta terna con la expresión del lado derecho:
\begin{pmatrix}{a_u = k_1}\\{m_1^n+r_1^n = m^n + r^n}\\{c_u^n = k_2}\end{pmatrix}
Ya que ambas expresiones convergen, entonces \( m = m_1 \), \( r = r_1 \), (Ya que ambas expresiones VALEN lo mismo, entonces en algún momento las variables \( m, r \) valdrán lo mismo que \( m_1, r_1 \) y que con estos valores obtendremos la terna \( a_u, b_u^n = m_1^n + r_1^n, c_u \)) lo que nos lleva a:
\begin{pmatrix}{a_u = k_1}\\{b_u^n= m^n + r^n}\\{c_u^n = k_2}\end{pmatrix}
Entonces \( m, r \) toman valores racionales, pero cuando esto sucede, entonces \( a_u \) es irracional para todo \( n>2 \)
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Hola
Pues la verdad me gustaría que me explicaras concretamente por qué ese razonamiento está mal.
Ya te lo he explicado; varias veces, además. Nada de lo que expones subsana los errores. La esencia (aunque hay más detalles erróneos) es esto:
Hablas de "subconjunto de \( a, b, c \)". Entiendo que te refieres a que es un subconjunto de todas las ternas racionales que si cumplen \( a^n+b^n=c^n. \) Pero, ¿en que quedamos?.
¿Esa terna \( (a_n,b_n,c_n) \) la escoges PREVIAMENTE entre una de esas soluciones RACIONALES que supones que existen? Si es así, entonces \( a_n,b_n,c_n \), no son cualesquiera. Están prefijados. Y por tanto eso que hacías antes de coger los valores racionales de \( m,n \) que sabemos que verifican \( b_n^n=m^n+r^n \) ya no valen, porque esos podrían dar un valor de \( a_n \)que NADA tiene que ver con el que estaba PREFIJADO. Es aquí donde cobra sentido todo lo que te estado diciendo sobre las dos "emes".
¿O bien esa terna \( (a_n,b_n,c_n) \) la ha formado a partir de los valores de \( m,r \) racionales que cumplen \( b_n^n=m^n+r^n \) escogiendo el valor de \( a_n \) a partir de \( m,r \)? Entonces efectivamente \( a_n \) no es racional y simplemente lo que tenemos es que esa terna NO es una de las soluciones racionales de la ecuación de Fermat. Pero eso no contradice nada. Por que esa terna no estaba previamente seleccionada entre las racionales que cumplían la ecuación. No. La hemos formado de tal manera que resulta ser irracional.
Yo no sé explicarlo mejor; no tiene sentido que te repita una y otra vez lo mismo. Además no tengo mucho tiempo ahora. Pero no hay duda para mi de que está mal lo que haces.
Si tu crees que no, si quieres pide otras opiniones.
Suerte.
Saludos.