[zorropardo]

Es verdadero o falso las siguientes desigualdades, y porque?

i)$$\cos(\frac{\pi}{16 n}) \geq{  \cos (\frac{\pi}{16})} , \forall n \in \mathbb{N}.$$

ii)$$  \mbox{ sen } (\frac{\pi}{16 n}) \geq{  \mbox{ sen } (\frac{\pi}{16})} , \forall n \in \mathbb{N}. $$

[Juan Pablo Sancho]

Sólo tienes que usar que la función \( \cos(x) \) es decreciente en \( [0,\dfrac{\pi}{2}] \) y la función \( \sen(x) \) creciente, luego la primera es cierta y la segunda falsa.

[zorropardo]

Hola, la segunda surge de mostrar que la funcion $$\mbox{sen} x$$ no es uniformemente continua. Lo hice asi:

Tomar 2 sucesiones $$x_{n}=n \pi , \qquad  y_{n}=n \pi+\frac{\pi}{2n} \Rightarrow{   x_{n}-y_{n} =-\frac{\pi}{2n}  \rightarrow{ 0 }}$$
Pero

$$|f(x_{n})-f(y_{n})|= \mbox{ sen } (\frac{\pi}{2n})  $$

siendo la desigualdad ii) falsa ,  nose como acotar la ultima desigualdad 

[Juan Pablo Sancho]

Pero yo sólo uso que en ese intervalo la función \( \sen(x) \) es creciente de \( 0 \) a \( \dfrac{\pi}{2} \) y tenemos \( 0 < \dfrac{\pi}{16n} \leq \dfrac{\pi}{16} < \dfrac{\pi}{2}  \)

[zorropardo]

Si, pero para mi caso me gustaria tener:

$$|f(x_{n})-f(y_{n})|= \mbox{ sen } (\frac{\pi}{2n}) \geq{  \mbox{ sen } (\frac{\pi }{2})}$$
 pero esa ultima desigualdad es falsa .

[Juan Pablo Sancho]

Pero la función \( \sen(x) \) es uniformemente continua en \( \mathbb{R} \) en particular en \( [0,\dfrac{\pi}{2}] \)
Lo siguiente no lo entiendo muy bien:

Si, pero para mi caso me gustaria tener:

$$|f(x_{n})-f(y_{n})|= \mbox{ sen } (\frac{\pi}{2n}) \geq{  \mbox{ sen } (\frac{\pi }{2})}$$
 pero esa ultima desigualdad es falsa .

La primera pregunta iba sobre una desigualdad y ahora cambia para ir sobre continuidad uniforme.

Dado \( 1 > \epsilon > 0  \) tenemos que como \( \displaystyle \lim_{h \to 0} \sen(h) = 0 \) existe \( h_{\epsilon}  \) con \( |\sen(h_{\epsilon})| < \dfrac{\epsilon}{2}  \) luego si \( |x-y| < |h_{\epsilon}|  \)
Tenemos \(  |\sen(y) - \sen(x)|  \) podemos suponer \(  y > x \) luego \(  y = x + h'  \) con \( h' < |h_{\epsilon}| < \epsilon  \)
\(  |\sen(y) - \sen(x)| = |\sen(x+h') - \sen(x)| = |\sen(x) \cdot \cos(h') + \sen(h') \cdot \cos(x) - \sen(x)| \leq \\\qquad \leq|\sen(x) \cdot (1-\cos(h'))| + |\sen(h')| \cdot |\cos(x)| \leq |1-\cos(h')| + |\sen(h')|= \\\qquad=\dfrac{\sen^2(h')}{1+\cos(h)} + |\sen(h')| < \dfrac{\epsilon^2}{4 \cdot (1+\cos(h'))} + \dfrac{\epsilon}{2}  \)

[zorropardo]

Es que para mostrar la convergencia uniforme, necesitaba la desigualdad. Pero veo que es falsa que $$\sin$$  sea uniformemente continua. Gracias por la aclaracion.

 

[Juan Pablo Sancho]

Pero hablabas de continuidad uniforme no de convergencia uniforme.

[Luis Fuentes]

Hola

Es que para mostrar la convergencia uniforme, necesitaba la desigualdad. Pero veo que es falsa que $$\sin$$  sea uniformemente continua. Gracias por la aclaracion.

De hecho toda función \( f:\Bbb R\to \Bbb R \) continua y periódica es uniformemente continua. En esencia la idea es que, siendo \( T \) el período, en el compacto \( [0,T] \) es uniformemente continua (porque toda función continua en un compacto es uniformemente continua) y la periodicidad extiende esa propiedad a todo \( \Bbb R \).

Saludos.