Hola
Dos bases tienen la misma orientación si el determinante de la matriz de cambio de base es positivo; es decir tenemos un criterio para comparar orientaciones de dos bases.
De aquí lo que no entiendo es qué es la matriz cambio de base y por qué si el determinante es positivo tienen la misma orientación
¡Es qué esa frase en rojo es la definición de orientación! Es el significado preciso de "tener la misma orientación". Es la formalización de la idea intuitiva o vaga de orientación.
¿Por qué se define así? ¿Cómo se motiva esa definición?. Pensemos en dos dimensiones. La idea intuitiva de orientación en el plano es dar un sentido a la medida de un ángulo. ¿Qué consideramos sentido positivo o cual negativo?. Una forma de fijar un sentido es dar un par ordenado de vectores no colineales \( \{u_1,u_2\} \); el sentido que están definiendo es "ir de \( u_1 \) a \( u_2 \) por el camino más corto".
Tienes tres ejemplos en el dibujo.
Visualmente identificamos que los dos pares con ángulo marcado en verde definen el mismo sentido de giro mientras que el tercer par, en rojo, define el sentido opuesto.
¿Pero cómo indentificamos este hecho sin dibujar, algebraicamente? Pues bien, puede verse que la matriz de cambio de base (la matriz que multiplicada por un par de vectores los transforma en el otro par) entre pares de vectores que definen el mismo sentido tiene determinante positivo; mientras que si tienen sentido opuesto se obtiene determinante negativo.
Esto tiene que ver también con el hecho de que las matrices de giro tienen determinante positivo: si giramos cualquier par de vectores ordenados no varía el sentido del ángulo que están definiendo; por contraste una matriz de una simetría respecto a una recta tiene determinante negativo y de hecho geométricamente uno puede ver que una simetría (reflejar en un espejo) cambia la orientación (las agujas del reloj girarían en sentido opuesto en el espejo).
Por resumir la idea: uno tiene una noción intuitiva de orientación; intenta buscar un criterio objetivo para formalizarla; los ejemplos muestran que el criterio del determinante funciona y se adopta por tanto como definición de tener la misma orientación.
Esta misma idea se extiende a dimensión \( 3 \) (la interpretación geométrica es un poco más complicada: regla del sacacorchos, mano derecha) y a dimensión superior (la interpretación geométrica se hace ya inviable).
Por último, recalco una última observación. Todo eso que he descrito es un criterio para
comparar orientaciones; el llamarle orientación positiva a una o a otra es cuestión de convenio; es decir en el dibujo, lo que sabemos es que los ángulos verdes tienen la misma orientación y el rojo opuesta. Llamarle a la verde orientación positiva o negativa, es arbitrario. El convenio es considerar que la base canónica es la que define la orientación positiva (sentido opuesto al giro de las agujas del reloj) y si lo seguimos la verde sería la positiva; pero podría perfectamente haberse establecido el convenio contrario.
La duda que tengo entonces es cómo se demuestra que éste determinante nos devuelve el vector en el sentido que buscamos y no el contrario. (No se si tiene que ver con la matriz cambio de base).
Pues tienes que comprobar que con la fórmula propuesta para el producto vectorial:
\( A\times B=det\begin{bmatrix}{i}&{j}&{k}\\{Aa}&{Ab}&{Ac}\\{Ba}&{Bb}&{Bc}\end{bmatrix} \)
se cumple que la tripleta \( \{A,B,A\times B\} \) tiene la misma orientación que la base canónica. Dicho de otra manera que el determinante de la matriz formada por las coordenadas de \( A,B,A\times B \) (en este orden) es positivo.
Pues bien, comprueba que ese determinante es precisamente el módulo del \( A\times B \) al cuadrado y por tanto es positivo.
Saludos.
