Autor Tema: Funciones continuas de R al espacio de Sierpinski

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28 Febrero, 2022, 02:47 am
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Julian Franco

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Hola me pueden ayudar con un ejercicio :laugh: :laugh: :laugh:
Determine todas las funciones continuas definidas de \( \Bbb R \) en el espacio de Sierpinski

28 Febrero, 2022, 07:45 am
Respuesta #1

geómetracat

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El espacio de Sierpinski es el espacio de dos puntos, \[ S=\{0,1\} \], con abiertos \[ \emptyset, \{1\} \] y \[ S \]. Una función \[ f:\Bbb R \to S \] es continua si y solo si la antiimagen de cualquier abierto de \[ S \] es un abierto en \[ \Bbb R \]. Además fíjate que \[ f^{-1}(\emptyset)=\emptyset \] y \[ f^{-1}(S)=\Bbb R \] siempre son abiertos. Te dejo que acabes.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

28 Febrero, 2022, 04:04 pm
Respuesta #2

Julian Franco

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Hola  :laugh:

 Muchas gracias, creo que lo que me falta hacer es para el otro abierto probar que la pre imagen también es un abierto si no estoy mal.

Apenas estoy empezando con esto de topología por eso me falta tanta experiencia, muchas gracias bro...

28 Febrero, 2022, 05:16 pm
Respuesta #3

geómetracat

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No, eso no va a ser verdad para una función \[ f:\Bbb R \to \{0,1\} \] arbitraria. Lo que tienes que decir es que una tal función es continua si y solo si \[ f^{-1}(1) \] es un abierto en \[ \Bbb R \].
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

01 Marzo, 2022, 03:23 am
Respuesta #4

Julian Franco

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