Autor Tema: Probabilidad de la unión es menor o igual que la suma de probabilidades

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

23 Junio, 2022, 05:15 am
Leído 82 veces

obvidio

  • $$\Large \color{#6a84c0}\pi$$
  • Mensajes: 11
  • País: co
  • Karma: +0/-0
Buenas, necesito despejar una duda con este ejercicio:
Sean \( B_1, B_2,...,B_n \in F (Eventos) \). Mostrar que \( P(B_1, B_2,...,B_n)\leq P(B_1)+P(B_2)+...+P(B_n) \).

Por los axiomas se sabe que \( P(B_1, B_2,...,B_n)=P(B_1)+P(B_2)+...+P(B_n) \) se cumple siempre que  \( A_n\cap A_m\neq \emptyset \), pero si se deja de asumir que son incompatibles ¿sólo se daría la desigualdad? o ¿hace falta algo más para completar la idea?

23 Junio, 2022, 05:40 am
Respuesta #1

Masacroso

  • Moderador Global
  • Mensajes: 3,575
  • País: es
  • Karma: +0/-0
Buenas, necesito despejar una duda con este ejercicio:
Sean \( B_1, B_2,...,B_n \in F (Eventos) \). Mostrar que \( P(B_1, B_2,...,B_n)\leq P(B_1)+P(B_2)+...+P(B_n) \).

Por los axiomas se sabe que \( P(B_1, B_2,...,B_n)=P(B_1)+P(B_2)+...+P(B_n) \) se cumple siempre que  \( A_n\cap A_m\neq \emptyset \), pero si se deja de asumir que son incompatibles ¿sólo se daría la desigualdad? o ¿hace falta algo más para completar la idea?

La notación \( P(B_1,\ldots ,B_n) \) ahí está mal utilizada ya que esa notación se reserva para denotar \( P(B_1\cap \ldots \cap B_n) \) y en tal caso si \( B_1\cap B_2=\emptyset  \) tendrías que \( P(B_1\cap \ldots \cap B_n)=P(\emptyset )=0 \) ya que \( \emptyset =\emptyset \cup \emptyset  \) y \( \emptyset \cap \emptyset =\emptyset  \).

El axioma es así: si \( B_j\cap B_k=\emptyset  \) para \( j\neq k \) entonces tienes que

\( \displaystyle{
P(B_1\cup \ldots \cup B_n)=P(B_1)+\ldots +P(B_n)\tag1
} \)

Y seguramente te hayan pedido demostrar que, en general (es decir, sin asumir que \( B_j\cap B_k=\emptyset  \) cuando \( j\neq k \)) tienes que

\( \displaystyle{
P(B_1\cup \ldots \cup B_n)\leqslant P(B_1)+\ldots +P(B_n)\tag2
} \)

Para demostrar (2) es suficiente con demostrar el caso para \( n=2 \), ya que entonces aplicando inducción fuerte en \( n \) obtienes automáticamente (2).

Entonces, sean \( A \) y \( B \) eventos cualesquiera, y ahora si defines \( C:=A\setminus B \) tienes que \( A\cup B=C\cup B \) y que \( C\cap B=\emptyset  \), por tanto de (1) tienes que

\( \displaystyle{
P(A\cup B)=P(C\cup B)=P(C)+P(B)\tag3
} \)

Finalmente observa que \( A=(A\setminus B)\cup (A\cap B) \) y que \( (A\setminus B)\cap (A\cap B)=\emptyset  \), de donde se sigue que \( P(C)\leqslant P(A) \), y por tanto aplicando esta última desigualdad a (3) finalmente obtienes que \( P(A\cup B)\leqslant P(A)+P(B) \).

23 Junio, 2022, 05:02 pm
Respuesta #2

obvidio

  • $$\Large \color{#6a84c0}\pi$$
  • Mensajes: 11
  • País: co
  • Karma: +0/-0
Buen as, con respecto a la notación si tiene razón me disculpo, error de digitación, y muchas gracias por la sugerencia, muy amable