Autor Tema: Una partición del plano

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12 Enero, 2022, 09:43 pm
Respuesta #10

manooooh

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Hola

¡Qué maravilla! Entonces como conjunto \( D \) valdría el punto \( (-1,1) \) por ejemplo, ¿no? Es que puse un punto en el ejercicio y anotó que el \( (0,1) \) no era un subconjunto de \( \Bbb R^2 \), puedo pasar captura de ello.

Claro ese no es un elemento del producto cartesiano \( \Bbb R^2 \). Para formar un punto puedes usar producto cartesiano de conjuntos unitarios: \( \{0\}\times\{1\} \), que es igual a \( \{(0,1)\} \), te faltaron las llaves.

Para asegurarme, ¿podría poner \( D= (-1,-2)\times \Bbb R \) por ejemplo?

Sí. Tendrías:

\( A=(0,1)\times(0,1)\\
B=\left(0,1\right)\times\left(2,3\right)\\
C=\left[2,3\right]\times\mathbb{R}\\
D=(-1,-2)\times\mathbb{R}\\
E=\mathbb{R}^2\setminus\left(A\cup B\cup C\cup D\right)\\
E=\mathbb{R}^2\setminus\left(\left(0,1\right)\times\left(0,1\right)\cup\left(0,1\right)\times\left(2,3\right)\cup\left[2,3\right]\times\mathbb{R}\cup(-1,-2)\times\mathbb{R}\right) \)
Aunque es difícil calcular la forma simplificada de \( E \), pero con el gráfico como te indicó Luis se puede escribir muy fácil usando uniones.

Por si te ayuda, aquí tienes dibujados los cuatro conjuntos que te dan:

Serían tres.

Si tienes alguna duda, pregunta.

Consulta mía no respondida
A ver si he entendido bien, porque esto de los conjuntos dentro de un conjunto me confunden:

Si definimos \( P \) como la partición pedida, se debe cumplir que \( A,B,C\subseteq P \).

Si definimos \( P=\{\{A\},\{B\},\{C\},\{D\},\{E\}\} \), ¿se cumple lo pedido? Creo que no. Sí me queda claro que se cumple por ejemplo \( \{B\}\in P \) y que \( \{\{B\}\}\subseteq P \)
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Saludos

12 Enero, 2022, 11:07 pm
Respuesta #11

sekiro

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  • Tan simple como profundo.
Claro es cierto, aunque si lo hubiera especificado en la corrección estaría genial... 😁
Cuando dices calcular la forma simplificada de \( E \), a qué te refieres exactamente?
Creo que entiendo tu pregunta y creo que se cumple si:
i) "Puedes tomar \( \Bbb R^2 \) como elemento de la partición \( P \)", es decir, como subconjunto de tu conjunto \( P \) y "restarle" los subconjuntos restantes \( A,B,C,D. \)
ii) Su unión es todo \( \Bbb R^2 \), es decir si \( A\cup B\cup C\cup D\cup E=\Bbb R^2 \).
En realidad creo que sí se cumple ya que \( E=\Bbb R^2 \) sólo que "restándole" los demás elementos de la partición y al hacer la unión de todos vuelve a darte \( \Bbb R^2 \).
Creo que es más pregunta qué respuesta, no sé si me he explicado muy bien.🙂
Muchas gracias y un saludo.

Mensaje corregido desde la administración.

13 Enero, 2022, 12:57 am
Respuesta #12

manooooh

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Hola

Cuando dices calcular la forma simplificada de E, a qué te refieres exactamente?

En realidad a nada, porque la forma en que lo escribió Luis es lo más evidente y simple posible. Fíjate que la región \( E \) no es un cuadrado, sino son todos los huecos que faltan rellenar en la imagen que adjuntó (más un conjunto \( D \) que podía ser un punto o una región, como has pensado tú). Entonces su expresión es a todo el plano quitarle todo lo conocido, o sea \( A\cup\dots\cup D \) para que haya una partición.

Claro es cierto, aunque si lo hubiera especificado en la corrección estaría genial... 😁
Cuando dices calcular la forma simplificada de \( E \), a qué te refieres exactamente?
Creo que entiendo tu pregunta y creo que se cumple si:
i) "Puedes tomar \( \Bbb R^2 \) como elemento de la partición \( P \)", es decir, como subconjunto de tu conjunto \( P \) y "restarle" los subconjuntos restantes \( A,B,C,D. \)
ii) Su unión es todo \( \Bbb R^2 \), es decir si \( A\cup B\cup C\cup D\cup E=\Bbb R^2 \).
En realidad creo que sí se cumple ya que \( E=\Bbb R^2 \) sólo que "restándole" los demás elementos de la partición y al hacer la unión de todos vuelve a darte \( \Bbb R^2 \).

No entiendo a qué pregunta te refieres, ¿a esta?:

Cierto Luis, había leído apurado el enunciado y no recapacité en que pide por ejemplo que \( B\subseteq P \), donde \( P \) está formado por conjuntos de intervalos, yo había pensado que eran intervalos a sueltas. ¿Es correcta esta interpretación?

Consulta mía no respondida
A ver si he entendido bien, porque esto de los conjuntos dentro de un conjunto me confunden:

Si definimos \( P \) como la partición pedida, se debe cumplir que \( A,B,C\subseteq P \).

Si definimos \( P=\{\{A\},\{B\},\{C\},\{D\},\{E\}\} \), ¿se cumple lo pedido? Creo que no. Sí me queda claro que se cumple por ejemplo \( \{B\}\in P \) y que \( \{\{B\}\}\subseteq P \)
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Mi pregunta no se dirige hacia saber si la partición es correcta, solo quiero saber cómo comprueba Luis que \( A,B,C\subseteq P \).

Saludos

13 Enero, 2022, 07:26 am
Respuesta #13

geómetracat

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A ver si he entendido bien, porque esto de los conjuntos dentro de un conjunto me confunden:

Si definimos \( P \) como la partición pedida, se debe cumplir que \( A,B,C\subseteq P \).

Si definimos \( P=\{\{A\},\{B\},\{C\},\{D\},\{E\}\} \), ¿se cumple lo pedido? Creo que no. Sí me queda claro que se cumple por ejemplo \( \{B\}\in P \) y que \( \{\{B\}\}\subseteq P \)

Mi pregunta no se dirige hacia saber si la partición es correcta, solo quiero saber cómo comprueba Luis que \( A,B,C\subseteq P \).
Aquí cuando te dicen que la partición \[ P \] tiene que contener a los conjuntos \[ A,B,C \] lo que quieren decir es que \( A,B,C \in P \), no que \[ A,B,C \subseteq P \]. Piensa que una partición \[ P \] de \[ \Bbb R^2 \] es por su definición un conjunto cuyos elementos son subconjuntos de \[ \Bbb R^2 \], mientras que \[ A,B,C \] son subconjuntos de \[ \Bbb R^2 \]. Por tanto, la única interpretación que tiene sentido es \[ A,B,C \in P \].
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

13 Enero, 2022, 07:37 am
Respuesta #14

manooooh

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Hola

Aquí cuando te dicen que la partición \[ P \] tiene que contener a los conjuntos \[ A,B,C \] lo que quieren decir es que \( A,B,C \in P \), no que \[ A,B,C \subseteq P \]. Piensa que una partición \[ P \] de \[ \Bbb R^2 \] es por su definición un conjunto cuyos elementos son subconjuntos de \[ \Bbb R^2 \], mientras que \[ A,B,C \] son subconjuntos de \[ \Bbb R^2 \]. Por tanto, la única interpretación que tiene sentido es \[ A,B,C \in P \].

Ah!! Muchísimas gracias de verdad, como siempre.

No sabes lo frustrado que me ponía no entender algo tan básico como distinguir si un conjunto estaba incluido en otro o si pertenecía... Hasta el punto de pensar que influía negativamente con el espíritu original del hilo por un furcio mío.

Como mensaje final, me gustaría resaltar que hay que leer bien los enunciados, y las palabras que lo forman. Yo no había caído en lo que significaba "contener" que me dejé llevar por lo más natural: que significaba la contención en el contexto de que los elementos del conjunto \( P \) casualmente también son conjuntos, y la contención tomaba sentido. Y eso produjo que haya tenido mal la solución.

Nuevamente gracias.

Saludos