Autor Tema: Eliminación del cuantificador existencial (Carlos Ivorra)

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30 Noviembre, 2021, 09:07 am
Respuesta #10

Carlos Ivorra

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A eso último me refiero, en el libro se menciona que si la deducción contiene variables libres de hipótesis a las que pretendemos aplicar teorema de deducción o reducción al absurdo, la variable "y" que se introduzca debe ser distinta a dichas variables libres. Tiene algún ejemplo de algún error que se produce cuando la variable "y" es una de las variables respecto a las cuales no podemos generalizar y como se evitaría este error si la variable "y" es nueva?

En el ejemplo de la respuesta #4 ya sucede lo que pides: al aplicar EP en (3) ya no puedes generalizar respecto de x, lo que invalida el uso de EP en (4), pero si quieres un ejemplo en el que la causa de la prohibición de generalizar sea directamente el teorema de deducción, considera éste:

\( \begin{array}{lll}
(1)&\exists y\, x = 2y&\mbox{Hipótesis}\\
(2)&x = 2y&\mbox{EP1}\\
(3)&\forall y\exists z\,y=z-1&\mbox{Premisa}\\
(4)&\exists z\,y=z-1&EP 3\\
(5)&y=x-1&\mbox{EP4 incorrecta}\\
(6)&x=2(x-1)&\mbox{ETI 2,5}\\
(7)&\exists y\, x = 2y\rightarrow x=2(x-1)\\
(8)&\forall x(\exists y\, x = 2y\rightarrow x=2(x-1))&\mbox{IG 7}
\end{array} \)

Prolongando un poco el argumento puedes acabar demostrando que el único número natural par es \( x=2 \), pues de \( x=2(x-1) \) se sigue que \( x=2 \).

Lo que está mal es haber eliminado el descriptor con la variable \( x \) respecto a la que está prohibido generalizar para que sea válido en (7) el uso del teorema de deducción.

A lo que sigo sin verle sentido es a tu pregunta de "cómo se evitaría este error". Esta demostración está mal y eso es inevitable. No puedes arreglarla para que pase a estar bien, ya que la conclusión no se sigue de las premisas. Si en (5) introduces una variable nueva, por ejemplo, \( y=z-1 \), entonces ya no hay ningún fallo formal en la demostración, pero ya no puedes llegar a demostrar que \( x=2 \).

02 Diciembre, 2021, 09:37 am
Respuesta #11

Chavsolute Locohombre

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Creo que ya lo entiendo, aunque en esa deducción también podría ser causa del error que se introduzca una variable que estuvo anteriormente en la deducción.
Otra cosa que noto es que la condición \( y\equiv x \) tiene mas peso que la restricción que afirma que no se debe introducir variables anteriores en la deducción, supongo que se debe a que afirmar \( \exists x\alpha \) es lo mismo que afirmar que \( \alpha\ \) se cumple para un \( x \) particular, lo que afirmamos al hacer la sustitución

02 Diciembre, 2021, 11:35 am
Respuesta #12

Carlos Ivorra

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Creo que ya lo entiendo, aunque en esa deducción también podría ser causa del error que se introduzca una variable que estuvo anteriormente en la deducción.

Pues ese "aunque" me hace sospechar que todavía no lo acabas de tener claro, porque da a entender que piensas que lo que va después es "otra causa del error" distinta, cuando es la misma.

Tu pregunta inicial era por qué en el enunciado de la regla de eliminación del particularizador no aparece explícito que la variable "liberada" sea distinta de todas las anteriores, y lo que te trato de explicar es que la restricción que realmente hace falta imponer es que la variable "liberada" sea una variable respecto de la que no está prohibido generalizar. En tu último mensaje me pedías un ejemplo en el que se viera qué puede fallar si "liberas" una variable respecto a la que no se puede generalizar, y eso te he puesto y, claro, para eso tiene que ser una variable que ya aparecía antes en la deducción. No es "otra causa" si no "la causa" del error.

Pero, técnicamente, lo que importa no es si la variable estaba antes o no, si no si estaba prohibido generalizar respecto de ella o no. Por ejemplo, este razonamiento es correcto, aunque a un matemático le chirriará un poco porque se aparta de "sus costumbres":

\( \begin{array}{lll}
(1)&\forall x\,Px&\mbox{Hipótesis}\\
(2)&\exists y\,Qy&\mbox{Hipótesis}\\
(3)& Pz&\mbox{EG 1}\\
(4)&Qz&\mbox{EP 2}\\
(5)&Pz\land Qz&\mbox{IC 3, 4}\\
(6)&\exists z(Pz\land Qz)&\mbox{IP 5}
\end{array} \)

La eliminación de particularizador con la variable \( z \), que ya aparecía en la línea anterior, es correcta, porque no está prohibido generalizar respecto a ella. Como digo, a un matemático le chirriará esa eliminación, pero se convencerá de que es válida en cuanto se dé cuenta de que podríamos haber escrito la línea (4) antes de la (3), en cuyo caso "todo está en orden". Pero incluso en el orden en que las he puesto, la deducción es formalmente correcta. La condición de liberar variables de cuantificadores existenciales con variables nuevas evita el problema de elegir una inadmisible, pero no es necesaria técnicamente, siempre y cuando nos aseguremos de que no hay problema en generalizar respecto a la variable elegida.

Otra cosa que noto es que la condición \( y\equiv x \) tiene mas peso que la restricción que afirma que no se debe introducir variables anteriores en la deducción, supongo que se debe a que afirmar \( \exists x\alpha \) es lo mismo que afirmar que \( \alpha\ \) se cumple para un \( x \) particular, lo que afirmamos al hacer la sustitución

No sé qué sentido tengo que darle a lo de "tiene más peso". Es algo independiente. La variable "liberada" \( y \) no tiene que estar libre en la fórmula salvo que sea la propia variable \( x \) que estaba ligada en ella, pero en cualquier caso, tanto si es la misma \( x \) o si es otra, es necesario que sea una variable respecto a la que no esté prohibido generalizar. Que tomes \( x \) como variable "liberada" no te exime de cumplir esta condición. Por ejemplo, en la deducción de la respuesta #4, en la línea (4) se cumple \( y\equiv x \), pero la deducción es incorrecta porque a partir de (3) ya no se puede generalizar respecto de \( x \).

03 Diciembre, 2021, 12:52 am
Respuesta #13

Chavsolute Locohombre

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Entonces en un contexto donde tengo prohibido generalizar sobre ciertas variables puedo omitir la regla de que mi variable introducida sea distinta a todas las que hubo anteriormente en la fórmula pero necesariamente tengo que elegir una variable distinta a las variables sobre las que no se puede generalizar, es correcto?
Con respecto a lo segundo creo que no lo plantee bien: Si la variable "x" ya estaba en la deducción anteriormente puedo introducirla ? (En un contexto donde no se aplique teorema de deducción, reducción al absurdo o eliminación del particularizador)

03 Diciembre, 2021, 12:52 pm
Respuesta #14

Carlos Ivorra

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Entonces en un contexto donde tengo prohibido generalizar sobre ciertas variables puedo omitir la regla de que mi variable introducida sea distinta a todas las que hubo anteriormente en la fórmula pero necesariamente tengo que elegir una variable distinta a las variables sobre las que no se puede generalizar, es correcto?

En efecto, pero en la práctica lo más fácil es elegir siempre una variable nueva, que no haya aparecido libre antes, que es lo que hacen "instintivamente" los matemáticos cuando razonan. Usar una variable que ya haya sido usada pero respecto a la que esté permitido generalizar (como en el último ejemplo que he puesto) roza la pedantería. Es como decir: "Esto os va a chirriar, pero yo sé que lo estoy haciendo bien".

Con respecto a lo segundo creo que no lo plantee bien: Si la variable "x" ya estaba en la deducción anteriormente puedo introducirla ? (En un contexto donde no se aplique teorema de deducción, reducción al absurdo o eliminación del particularizador)

Sí, puedes usar cualquier variable respecto a la que no tengas restricción de generalizar y que no esté libre en la fórmula que sigue al particularizador, salvo que sea la propia x, porque, aunque esté libre en la fórmula que sigue al particularizador, hasta ahí era una variable ligada.