Autor Tema: Condición necesaria de conjuntos finitos (mínimo aditivo)

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02 Octubre, 2021, 06:14 pm
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Fernando Padilla

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Hola,

Me encontré con algo que me cuesta comprender (la oración que empieza con asterisco)

Si \( T \) es la familia de todo los subconjuntos conformados por un elemento de \( X \) y \( U \) la mínima familia aditiva tal que \( T\subset U \).
*Entonces, una condición necesaria y suficiente para que el conjunto \( X \) sea finito es que la familia de todos sus subconjutos no vacios debe ser \( U \).

02 Octubre, 2021, 06:34 pm
Respuesta #1

Carlos Ivorra

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Si \( T \) es la familia de todo los subconjuntos conformados por un elemento de \( X \)

Supongo que esto significa que \( T=\{\{x\}\mid x\in X\} \).

y \( U \) la mínima familia aditiva tal que \( T\subset U \).

¿"Familia aditiva" significa cerrada para uniones finitas? Si es así, entonces \( U \) es el conjunto de todas las uniones finitas de elementos de \( T \), luego es el conjunto de todos los subconjuntos finitos no vacíos de \( X \).

*Entonces, una condición necesaria y suficiente para que el conjunto \( X \) sea finito es que la familia de todos sus subconjutos no vacios debe ser \( U \).

Si \( X \) es finito (hay que suponer que es un conjunto no vacío) entonces todos sus subconjuntos no vacíos son finitos, luego son exactamente los elementos de \( U \).

Si \( U \) es la familia de todos los subconjuntos no vacíos de \( X \), entonces \( X\in U \), pero \( U \) es la familia de los subconjuntos finitos no vacíos de \( X \), luego \( X \) es finito.

02 Octubre, 2021, 06:49 pm
Respuesta #2

Fernando Padilla

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Hola, Carlos

Supongo que esto significa que \( T=\{\{x\}\mid x\in X\} \).

Sí, eso mismo.

¿"Familia aditiva" significa cerrada para uniones finitas? Si es así, entonces \( U \) es el conjunto de todas las uniones finitas de elementos de \( T \), luego es el conjunto de todos los subconjuntos finitos no vacíos de \( X \).

Bueno, la definición que muestra es la siguiente:
"Una familia de conjuntos \( U \) es aditiva si \( (A\in U, B\in U)\Rightarrow{(A\cup B \in U)} \)"

Si \( X \) es finito (hay que suponer que es un conjunto no vacío) entonces todos sus subconjuntos no vacíos son finitos, luego son exactamente los elementos de \( U \).

Entiendo.

Si \( U \) es la familia de todos los subconjuntos no vacíos de \( X \), entonces \( X\in U \), pero \( U \) es la familia de los subconjuntos finitos no vacíos de \( X \), luego \( X \) es finito.

Entonces, ¿\( U \) puede tener infinitos elementos pero cada elemento de \( U \) es finito y como \( X\in U \)  entonces \( X \) es finito?

02 Octubre, 2021, 06:52 pm
Respuesta #3

Carlos Ivorra

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Bueno, la definición que muestra es la siguiente:
"Una familia de conjuntos \( U \) es aditiva si \( (A\in U, B\in U)\Rightarrow{(A\cup B \in U)} \)"

Eso se expresa, más brevemente, como que \( U \) es cerrada para uniones finitas, es decir, que si unes dos elementos de \( U \) no te sales de \( U \), obtienes un elemento de \( U \).

Entonces, ¿\( U \) puede tener infinitos elementos pero cada elemento de \( U \) es finito y como \( X\in U \)  entonces \( X \) es finito?

Si \( X \) es finito, entonces \( U \) es finito también, porque un conjunto finito tiene un número de subconjuntos. En principio \( U \) puede ser infinito, pero si resulta que \( X\in U \), entonces \( X \) es finito y \( U \) también.

02 Octubre, 2021, 06:56 pm
Respuesta #4

Fernando Padilla

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Si \( X \) es finito, entonces \( U \) es finito también, porque un conjunto finito tiene un número de subconjuntos. En principio \( U \) puede ser infinito, pero si resulta que \( X\in U \), entonces \( X \) es finito y \( U \) también.

Ya entendí, me resulta interesante como es posible definir conjuntos finitos sin necesidad de hacer referencia directa a los números naturales.
Muchas gracias.