Sea \( f \) una función integrable en \( [-1,1] \) y continua en 0. Probar que \( \lim_{h \to 0^+}\int_{-1}^{1} \frac{h}{h^2+x^2}f(x)dx=\pi f(0) \)

Hay como indicación que si \( h \) es lo suficientemente pequeño entonces \( \frac{h}{h^2+x^2} \) es muy cercano 0 en la mayor parte de \( [-1,1] \)
Por esto por esto intento buscar un valor \(  a \in (0,1) \)  que depende de \( h \), tal que

\( \lim_{h \to 0^+}\int_{-1}^{-a}f(x) \frac{h}{h^2+x^2}dx=0 =\lim_{h \to 0^+}\int_{a}^{1}f(x) \frac{h}{h^2+x^2}dx \)

De esta forma \(  \lim_{h \to 0^+}\int_{-1}^{1}f(x) \frac{h}{h^2+x^2}dx  \) se reduce  a
\( \lim_{h \to 0^+}\int_{-a}^{a}f(x) \frac{h}{h^2+x^2}dx \), de ser correcto haciendo uso de la continuidad de \( f \) en 0 soy capaz de concluir el ejercicio; pero no logro saber si la forma de proceder es correcta y pues no he encontrado alguna otra manera.
Agradezco cualquier ayuda o corrección .

Buenos días, quisiera pedir ayuda en la demostración de que teniendo \( a_n \) números naturales, es posible agregar o quitar parentesis a voluntad con respecto a la suma.


\( Sea\textrm{ } S=\left\{{n\in{N}\textrm{ } |\textrm{ } a_1+a_2+....+a_n \textrm{, es posible asociar a voluntad}}\right\}\Rightarrow{\textrm{Una de mis dudas surge aqui, pues no se si así esta bien definido el conjunto o no.}} \)

\( \textrm{Paso Base }n=1 \)

\( (a_1)=a_1 \), es decir \( 1\in{S} \)

\( \textrm{Paso Inductivo: Supongamos }k\in{S},\textrm{ }\forall{k\in{N}}\textrm{  que,   }1\leq{k}\leq{n} \)

es decir, para \( \textrm{     }a_1+a_2+a_3+...+a_n \textrm{  es posible intercalar paréntesis a voluntad-} \)

ahora

\( a_1+a_2+a_3+...+a_n+a_n^+  \)

Mi pregunta es la siguiente, por hipótesis de inducción se que puedo asocial a voluntad n términos es decir


\( a_1+a_2+a_3+...+a_n+a_n^+ =(a_1+a_2+a_3+...+a_n)+a_n^+  \)

Ahora tomando \( (a_1+a_2+a_3+...+a_n) \) como un solo termino, ahora

\( (a_1+a_2+a_3+...+a_n)+a_n^+  \) aquí tengo dos términos, ¿Por hipótesis de inducción nuevamente puedo asociar a voluntad el termino adicional o estoy comiendo algún error?

Agradezco a quien me pueda orientar, pues no se si estoy planteando bien la demostración.

Nota: Utilizo \( n^+=n+1 \)

Buenas noches, resulta que tengo esta desigualdad en la que se debe completar de manera adecuada la hipótesis para que la implicación sea cierta, he intentando "devolverme" de varias maneras pero no consigo obtener lo que necesito, agradezco a quien me pueda colaborar.

Si \( \left |{x-x_0}\right| <\vartheta \)   ,   \( \left |{y-y_0}\right| <\varsigma \)   ,   \( y_0\ne0 \)

 entonces  \( \left |{\displaystyle\frac{x}{y}-\displaystyle\frac{x_0}{y_0}}\right |<\varepsilon \)   ,  \( y\ne0 \)

Como dije antes la ida es remplazar \( \textrm{ }\vartheta \textrm{ , }\varsigma \) de tal modo que la implicación sea cierta.

Muchas Gracias.

Una Pregunta,, como se puede verificar esta implicación.

\( \left |{y-y_0}\right |<\displaystyle\frac{\epsilon \left |{y_0}\right |^2}{2}\Rightarrow{\left |{y}\right | \ \left |{y_0}\right | \ \left |{\displaystyle\frac{1}{y}-\displaystyle\frac{1}{y_0}}\right |<\displaystyle\frac{\epsilon \left |{y_0}\right |^2}{2}} \)

Buenas Tardes, resulta que soy nuevo en matemáticas, y agradecería mucho a quien me pudiera ayudar con este ejercicio.
Agradezco de antemano la ayuda.


Si \( y_0\neq 0 \)  y  \( |y-y_0|<\min\left(\dfrac{|y_0|}{2},\dfrac{\epsilon|y_0|^2}{2}\right) \),  entonces   \( y\neq 0 \)  y  \( \left|\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{y_0}\right|<\epsilon \).