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(En proyecto...) 

Si alguien se topa con esto, sepan que el Purgatorio es reloco.
Estoy escribiendo cosas de números naturales y también de geometría plana.
Pero todavía no quiero subirlas al foro público, hasta que me decida a terminarlas...


Objetivos: Comprender y ejercitar las propiedades de los números naturales: inducción, recurrencia, buen orden, aplicaciones a la cardinalidad de conjuntos finitos, métodos de conteo, caracterización del sistema de números naturales, entre otras cuestiones.

Los números naturales son la herramienta más importante de toda la matemática.
Los estudiaremos en todos los niveles, desde lo elemental hasta lo más avanzado, discutiendo sus fundamentos.

Axiomas de la Geometría Euclidiana (bi- y tri-dimensional)

Discusión sobre Axiomas y Elementos Primitivos

Cuando Euclides pretendió dejar la Geometría bien fundamentada y sistematizada,
se vio obligado a definir los elementos de la misma, como los puntos, rectas, planos, ángulos, etc.

Cuando uno trata de explicar qué cosa es un "punto", se ve en la dificultad de que tiene que recurrir a nuevos términos o conceptos, los cuales también necesitan su propia definición o explicación.
Esto nos obligaría a definir "hacia atrás" nuevos conceptos, sin punto de partida alguno.
Pero si ése es el caso, entonces, ¿cuál es exactamente la definición de "punto"?

Los matemáticos más "modernos" (¿siglos 18 y ss.?) solucionaron este inconveniente de manera muy simple: no solucionándolo.
Lo que se hace es "aceptar" que la vida es así.

Así que, se dejan algunos términos sin definición alguna, y sólo se especifican las relaciones que entre ellos se asumirán.
Estas relaciones son una lista de propiedades, especificadas en forma de enunciados lógico-matemáticos.

Sabido es que toda afirmación matemática tiene que "demostrarse" con un razonamiento lógico para poder ser aceptada.
Pero esto también presenta el problema de que todo enunciado demostrado requiere de un enunciado previo en qué apoyarse.
Se genera otra vez un problema de "requisitos previos" hacia atrás.
O sea, no habría un "primer enunciado válido" o un punto de partida, y entonces no habría manera de "empezar" a deducir algo.
Así que no habría razonamientos posibles.

Así que hay que asumir una lista de enunciados sin demostración, que se llaman Axiomas.

Los Axiomas son enunciados acerca de los elementos primitivos de una teoría dada.

Al trabajar de esta manera, uno "se da cuenta" de que puede "tocar" los Axiomas tanto como le guste, o sea, agregar, sacar, cambiar por otros parecidos u opuestos. Uno puede así "experimentar" con los Axiomas.

Puede haber polémica en el uso de términos como "Axioma, Postulado, Hipótesis".
A mí me gusta decir que son todos "sinónimos".

Una hipótesis se supone que es el "antecedente de una implicación".
Pero si se establece un supuesto general para toda una serie de Teoremas, esa "hipótesis" empieza a funcionar como un "Axioma".
He oído decir que los Axiomas sólo se aplican a la teoría de conjuntos o a la lógica. ¿Y los Axiomas de Peano qué serían? ¿Y los Postulados de Euclides?

Lo importante es reconocer que hay dos tipos de enunciados: aquellos que se aceptan sin demostración, y aquellos a los cuales se llega con una demostración. He sabido de logicistas que argüían que un Axioma en realidad podía pensarse como que estaba "agregado a las hipótesis de todos los teoremas de la teoría".

Y así, la relación entre Axiomas e Hipótesis se vuelve más estrecha.
La palabra Axioma tenía anteriormente otro sentido... Ahora es, para nosotros, lo mismo que Postulado, o sea, un punto de partida, un supuesto inicial del que se parte.
(Ya décadas atrás Puig Adam toma estos dos términos como sinónimos directos, sin más explicación).

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Uno de las teorías matemáticas más importantes es la Geometría de Euclides.
Euclides no fue el primero en hacer geometría, pero quizá fue el primero en intentar dar una sistematización.

Sus escritos pueden hallarse en castellano en:

www.euclides.org

La teoría de Euclides, tal como está en esa página, no sirve, porque según los requisitos de rigor matemático de nuestro tiempo, muchas cosas están mal definidas, con lagunas, imprecisiones, ambigüedades.

Hilbert se preocupó enormemente por la Geometría, y en 1899 escribió un libro dando la teoría geométrica en forma totalmente axiomática. Se llama: Grunlangen der Geometrie (Fundamentos de la Geometría).

Allí Hilbert respeta el método axiomático con total rigor, y demuestra los hechos básicos y más importantes de la geometría de Euclides.
Hasta donde sé, es el primer tratado riguroso de geometría en la historia del mundo. O sea, algo muy reciente, a pesar de lo antiguas que son ciertas verdades geométricas como: el Teorema de Thales, el Teorema de Pitágoras, la cuadratura del círculo y el famoso número \( \pi \), etc.

Discusión: Geometrías Euclídeas y no Euclídeas desde la óptica moderna

Una vez que un sistema axiomático está dado, es importante saber si es no-contradictorio.
Se ha demostrado (metamatemáticamente) que esto equivale a la existencia de un "modelo".
Grosso modo, un "modelo" es una lista de objetos matemáticos que tal que, si se les hace ocupar el lugar de los elementos primitivos, satisfacen todos los axiomas de la teoría.

¿Existe un modelo para la geometría plana? Ciertamente que sí: es el espacio vectorial \( \mathbb{R}^3 \).
Cada elemento del "conjunto" \( \mathbb{R}^3 \) se considera un "punto", y pueden definirse analíticamente (o sea, por relaciones algebraicas) la mayor parte de los objetos de la teoría: "rectas", "ángulos", "figuras", "semiplanos", "planos", "semiespacios", "cuerpos", etc.

Es más, se puede demostrar que todo modelo que cumple los axiomas geométricos (planos) son isomorfos entre sí, lo cual quiere decir que existe una transformación biyectiva que conserva los elementos esenciales de la geometría: "puntos", "rectas", "distancias", "ángulos", "rotaciones", "planos", etc.

Por esto, conviene siempre usar a \( \mathbb{R}^3 \), en vez de pensar en una geometría "abstracta" (o sea, dada en forma axiomática), ya que \( \mathbb{R}^3 \) tiene una estructura fácil de definir algebraicamente, es muy conocida y simple, y todas las operaciones y relaciones geométricas se reducen ahora a expresiones algebraicas.

Otra virtud de esto es que no hay que estar preocupado de si sobra o falta un axioma: Toda la geometría plana está en \( \mathbb{R}^3 \), y basta trabajar ahí dentro. Podemos hacerlo confiados, ya que no hay que asumir axiomáticamente si algo se cumple o no: mejor probarlo mediante la estructura algebraica de \( \mathbb{R}^3 \).


Además, cuando queremos pensar en geometría \( n \)-dimensional, es más fácil considerar la generalización en \( \mathbb{R}^n \), lo cual no conlleva demasiadas ideas o complicaciones nuevas.

No obstante, cuando queremos estudiar a fondo otras posibles geometrías, ahí estamos obligados a volver a la forma axiomática de la Geometría Euclidiana, y meditar allí qué es lo que hace "plana" a la Geometría de Euclides, y qué Axiomas son los que hay que cambiar para obtener geometrías diferentes.

Si se desea conocer con más detalle la historia y personajes tras las geometrías euclidianas y no-euclidianas, no quedará más remedio que preguntarle a gente que sepa más que yo. Por ejemplo, aquí hallé un lindo blog de "Juanjo", donde cuenta la parte histórica con entusiasmo:

http://elblogdejuanjo.wordpress.com/2007/06/11/la-geometria-no-euclidiana-y-la-geometria-de-n-dimensiones/

Al parecer, este tema era algo "tabú" hace un par de siglos atrás, ya que Gauss había investigado esto, pero no se atrevió a hacer públicos sus resultados. Hoy en día, "cambiar axiomas" ya no es tabú, y muchas peculiaridades matemáticas surgirán al cuestionarlos.

De nuevo, las geometrías no-euclidianas tienen una manera sistemática de estudiarse, bajo el título de "Geometría Diferencial". Básicamente, esta rama de la matemática estudia estructuras descriptas como una "familia de mapas parcialmente superpuestos" que describen la "geometría" de un cierto conjunto dado \( X \), y a los que se les exigen ciertos requisitos de diferenciabilidad.. Se les llama variedades diferenciables a tales conjuntos con una tal estructura.

Si uno quiere estudiar objetos más generales, en los que apenas puede conformarse con requisitos de "continuidad" antes que "diferenciabilidad", puede hacerlo hablando de "variedades topológicas".

En cualquier caso, la geometría plana, modelada con \( \mathbb{R}^3 \), queda descripta como una variedad diferenciable trivial, en la cual todos los puntos comparten el mismo hiper-plano tangente (tridimensional), y los números que describen la "curvatura" de la "hiper-superficie tridimensional" \( \mathbb{R}^3 \) son 0.
El análogo en la geometría euclidiana del plano o bidimensional es \( \mathbb{R}^2 \), cuyos puntos tienen al mismo \(  \mathbb{R}^2 \) como plano tangente, y la curvatura en todo punto del plano es \( 0 \).

También es interesante el estudio de la geometría euclidiana de forma meramente axiomática en el caso de que no nos interese trabajar con el sistema coordenado de \( \mathbb{R}^3 \) (o en general, \( \mathbb{R}^n \)).
Supongo que a esto se le conoce como geometría sintética, pero no estoy del todo seguro.

Es interesante aquí ver cuáles son las mínimas propiedades que permiten hacer demostraciones geométricas.
Al usar pocas propiedades en vez de toda la maquinaria de \( \mathbb{R}^3 \), es posible luego aplicar los mismos razonamientos a situaciones parecidas en otros contextos.
Opino que esta es la mejor manera de analizar un sistema axiomático.

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Ahora bien. La Geometría Euclidiana tiene muchísimos Axiomas. No son los 5 Postulados de Euclides y nada más, sino que la correcta formalización requiere una veintena de Axiomas. Tal es así que se estudian en Grupos Axiomáticos, en un total de 5.

Para que no queden "cabos sueltos", considero que tenemos que ponernos en contexto y elegir un camino claro.

Los siguientes posts estarán en el marco de el Lenguaje de la Lógica de Primer Orden, con los Axiomas de la Teoría de Conjuntos ZFC.
En dicha teoría de asume la existencia de un conjunto que tiene las propiedades usuales de los números naturales, y a partir de los cuales es posible construir un sistema de números reales, que finalmente permite obtener el modelo estándar \( \mathbb{R}^n \) para la geometría euclidiana \( n \)-dimensional.

En otras palabras: al menos existe un "modelo" en el que valen los Axiomas de la Geometría Euclidiana.

Seguiré el texto Geometría Métrica de Puig Adam, que a su vez se basa en Fundamentos de la Geometría de David Hilbert.

En el spoiler que sigue, algunos detalles más sobre estas cuestiones de fundamentos y enfoques posibles.

Comentarios adicionales sobre fundamentos y el enfoque adoptado

• Contexto: En lo que sigue, nosotros elegimos el camino formal de Hilbert.
  Para ello dejamos constancia de que suponemos el contexto de la Teoría de Conjuntos ZFC (Zermelo-Fraenkel + Axioma de Elección) escrita en el lenguaje de la Lógica de Primer Orden.
  
  
• Así, al dar los Äxiomas de la geometría euclidiana, lo que estamos haciendo es definir una función proposicional \( E(X) \) (más o menos) que indica o define cuándo un conjunto \( X \) es "una" Geometría Euclidiana. Tenemos que imaginar que \( E(X) \) es un enunciado que contiene a la veintena de propiedades que vamos a estudiar luego. Eso es lo formal, pero es claro que no escribiremos las cosas así, que es incómodo.

Voy a asumir además que tenemos a mano un sistema de números reales.
Es en base a esto que Hilbert fundamentó sus axiomas de la geometría, reduciendo la consistencia (lógica) de la geometría a la de los números reales. A su vez, como los números reales pueden construirse a partir de los números naturales, el problema de consistencia queda reducido al de éstos últimos.

Como ven, no me gusta dejar cosas "en el aire", ya que las demostraciones que usan propiedades "mágicas" dejan perpleja a la gente.

Para ver los fundamentos de la teoría de conjuntos que estamos asumiendo, se puede consultar:

Axiomas de Teoría de Conjuntos

Para ver la construcción de los sistemas numéricos a partir de los números naturales, y toda la teoría de cada sistema de números, se puede consultar:

Sistemas Numéricos

Creo que en esa lista faltaría un post dedicado a demostrar que el Axioma del Infinito en ZFC efectivamente "produce" un conjunto con las propiedades de los números naturales enunciadas por Peano.


Un inconveniente que veo al hacer un estudio de la geometría a través de sus axiomas es éste:

• Distintos autores son capaces de dar listas de axiomas distintas, pero todavía equivalentes. Lo que para unos es un Axioma para otros es un Teorema y viceversa.

No sé bien cómo sortear este problema sin perder el espíritu de ciertos enunciados o ejercicios de geometría.
Supongo que habrá que confiar en el futuro. 
Sin embargo, me parece bueno tener en cuenta ese detalle, más aún en nuestro caso en que tenemos tantos axiomas que manejar.

Mas, como hay que elegir un enfoque, voy a elegir al autor Puig Adam, con el que aprendí Geometría Euclidiana, y su libro Geometría Métrica.

Recuerdo que en ese libro está muy detallada la construcción axiomática de la geometría, pero no sé si cuando lo desarrolle voy a estar conforme.
En algún momento Puig Adam explica los razonamientos lógicos y la reducción al absurdo...
Esas cosas las voy a pasar por arriba porque se supone que ya conocemos (o tenemos a mano) la lógica de primer orden y la teoría de conjuntos estándar.

Tampoco recuerdo ahora qué tanto se necesita de los sistemas numéricos en la exposición de Puig Adam.
Posiblemente sólo hagan falta asumir que tenemos a los números naturales, mientras que los demás se van construyendo "geométricamente" por traslación de segmentos u otras propiedades y axiomas.

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Sobre la notación

Notación: Hasta ahora vengo escribiendo los puntos con las letras \( x,y \), que son minúsculas.

Se suele hacer así en teoría de conjuntos.
Sin embargo, en geometría euclídea es común usar letras mayúsculas para representar los puntos: \( A, B, C,... \)
Para las rectas se usan letras minúsculas: \( a, b, c, ... \), y yo he usado el símbolo especial de LaTeX: \( \ell \).
Las minúsculas \( x,y,z \), las reservaré para seguir denotando puntos ocasionalmente.
Para los planos se usan letras griegas minúsculas: \( \alpha ,\beta ,\gamma ... \).
Yo he venido usando la letra griega \( \pi \) para los planos, lo cual puede traer algún inconveniente cuando nos aparezca el "número" \( \pi \) (área de la circunferencia de radio unidad).

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[argentinator]

Como ya hemos mencionado, seguiremos en lo posible la exposición del libro Geometría Mética de Pedro Puig Adam,
quien a su vez se basa en la moderna y sólida construcción axiomática de David Hilbert (Fundamentos de la Geometría, 1899).

Así que, en lo que sigue, debemos pensar que Puig Adam \( \approx \) Hilbert cuando los mencionemos.

Grupos de Axiomas

La Geometría Euclidiana se define a través de una lista de Axiomas, los cuales postulan propiedades abstractas de ciertos entes primitivos, como puntos, rectas, planos, etc. Dichos Axiomas se clasifican en 5 grupos o cagegorías, que permiten un mejor análisis de los mismos.

Son los siguientes:

• Axiomas I: de enlace o incidencia.
  
  
• Axiomas II: de ordenación.
  
  
• Axiomas III: de congruencia o movimiento.
  
  
• Axiomas IV: de paralelismo.
  
  
• Axiomas V: de continuidade.
  
  

Un espacio euclidiano será una estructura \( (X,\mathcal L, \mathcal M) \) en la cual:

• \( X \) es un conjunto, al que nos referiremos como espacio.
• Los elementos del conjunto \( X \) se llaman puntos
• Hay una familia \( \mathcal L \) de subconjuntos de \( X \), que llamaremos rectas.
• Hay una familia \( \mathcal M \) de subconjuntos de \( X \), que llamaremos planos.

Los puntos, rectas y planos son los entes primitivos de la teoría,
los cuales estarán sujetos a los Axiomas de los 5 grupos que desarrollaremos en los posts que siguen.

Hay una terminología clásica en geometría, y conviene tener en cuenta su "traducción" al lenguaje de teoría de conjuntos.

Cuando se dice que ciertos puntos "pasan por" una recta, plano, etc., significa simplemente que esos puntos "pertenecen" a la recta, plano, etc.
Por ejemplo: la frase "los puntos \( A,B \) pasan por la recta \( \ell \)" equivale a \( \color[rgb]{.8,0,0}\mathbf{A,B\in \ell} \).

Cuando se dice que dos entidades geométricas "se cortan" en un punto, recta, etc., simplemente significa que "la intersección" de dichas entidades es el punto, recta, etc.
Así por ejemplo, la frase "los planos \( \pi_1,\pi_2 \) se cortan en la recta \( \ell \)" equivale a \( \color[rgb]{.8,0,0}\mathbf{\pi_1\cap \pi_2=\ell} \).

Otro detalle en la terminología usual es la ambigüedad en el uso de la palabra punto: cuando se dice "el punto \( P \)" a veces quiere decir el elemento \( P \) del espacio \( X \), y a veces quiere decir el conjunto unitario \( \{P\} \) que es ahora subconjunto de \( X \).
Cuál de los dos sentidos de la palabra "punto" hay que tomar, es algo que uno tiene que deducir del contexto.
No obstante, es bueno tener en cuenta esto al hacer alguna demostración rigurosa.


En la definición que hemos dado de espacio euclidiano, se hace mención a rectas y planos, lo cual pone de manifiesto que se está construyendo la axiomática de la geometría plana del espacio tridimensional, cuyo modelo típico es \( \mathbb{R}^3 \).

Si no se mencionaran los planos ni las relaciones entre planos, tendríamos los axiomas de la geometría plana bidimensional, que correspondería a \( \mathbb{R}^2 \).

Si queremos los axiomas de una geometría cuyo modelo es \( \mathbb{R}^n \), tendremos que agregar seguramente categorías de objetos de sucesivas dimensiones:
\( k \)-hiperplanos para valores de \( k=1,2,3,..., n-1 \).

También es posible pensar en una geometría euclidiana general donde puedan considerarse todos los hiperplanos de dimensión finita juntos.
Este espacio plano "grande" tendría como modelo a:

\( \mathbb{R}^\infty=\bigcup _{n=1}^\infty \mathbb{R}^n. \)

Esa "unión"  necesita una pequeña corrección para que sea honesta... 
(Como curiosidad: este espacio sería vectorialmente isomorfo al espacio de todos los polinomios de grado arbitrario con coeficientes reales).

Por último, la generalización absoluta de geometría euclidiana viene dada por la teoría de espacios vectoriales con producto interno, tanto de dimensión finita como infinita, pues en ellos tenemos nociones de paralelismo (suma vectorial), de distancia (la norma que proviene del producto interno), ortogonalidad (cuando el producto interno de dos vectores da 0), y vale el Teorema de Pitágoras (identidad polar).
Si además se exige completitud (toda sucesión de Cauchy converge, o bien: toda serie absolutamente convergente es convergente), entonces estos espacios vectoriales se llaman "de Hilbert".


Dejamos todas estas interesantes ideas aquí, y nos conformamos con los Axiomas que Puig Adam nos enunciará para 3 dimensiones.

[argentinator]

Enlace, Ordenación y Sentido en el Plano

El capítulo 1 del libro de Puig Adam tiene ese título, y en nada nos daña respetarlo.

Axiomas I: de Incidencia

• Axioma I. 1: En el espacio \( X \) hay infinitos puntos.
  
  
  Notas técnicas:

  
  El enunciado bien formalizado sería más bien éste: \( X  \) es un conjunto infinito.
  
  Por otro lado, es sabido que la infinitud de un conjunto puede definirse de más de un modo distinto, y con axiomas de teoría de conjuntos algo débiles, las diferentes nociones realmente difieren entre sí.
  En ZFC, sin embargo, son equivalentes las nociones siguientes de infinitud:
  
  

  • \( X \) es biyectivo con un subconjunto propio (Dedekind),
    
  • para todo \( n\in\mathbb N \) hay un subconjunto de \( X \) biyectable con \( \{1,...,n\} \) (o sea, de cardinal \( n \)).
    

  
  Estimo que al enunciar el axioma en el modo en que está indicado, se refiere a la última noción, o sea, en el sentido de "conteo" de puntos.
  Así, dada una lista finita de puntos, siempre es posible hallar en el espacio algún punto más "por ahí".
  
  Sería interesante plantearse los axiomas de la geometría en un espacio \( X \) con finitos puntos.
  ¿Es esto posible? ¿Qué consecuencias puede traer? ¿Qué modelos tendríamos de eso?
  

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• Axioma I. 2: 
  
  
  • Todo plano \( \pi\in\mathcal M \) contiene infinitos puntos.
    
    (Vale decir, \( \pi \) como conjunto, es infinito).
    
    
  • Toda recta \( \ell\in\mathcal L \) contiene infinitos puntos.
    
    (Vale decir, \( \ell \) como conjunto, es infinito).
    
    
  • El espacio \( X \) es unión de planos (aunque éstos no son necesariamente disjuntos).
    Esto se enuncia formalmente diciendo: Existe una subfamilia \( \mathcal M_0\subset \mathcal M \) tal que la unión de los elementos de \( \mathcal M_0 \) da \( X \). En símbolos:
    
    
    \( \displaystyle\exists{\mathcal M_0\subset \mathcal M}:(\bigcup _{\pi\in\mathcal M_0}\pi =X) \)
    
    (O sea que todos los puntos de \( X \) están al menos en algún plano).
    
    
  • Además, dado un plano \( \pi \), existe al menos un punto \( x\in X \) que no está en \( \pi \). En símbolos:
    
    
    \( \forall{\pi\in\mathcal M}:(\exists{x\in X}:[x\not \in\pi]). \)
    
    (Esto nos dice que ningún plano coincide con "todo" el espacio \( X \)).
    
    
  • Dado un plano \( \pi\in\mathcal M \), puede escribirse como unión de rectas.
    Más precisamente: existe una subfamilia \( \mathcal L_0 \) de rectas tal que su unión da \( \pi \). En símbolos:
    
    
    \( \displaystyle\forall{\pi\in\mathcal M}:(\exists{\mathcal L_0\subset \mathcal L}:[\bigcup _{\ell\in\mathcal L_0}\ell =\pi]) \)
    
    
  • Por último, dadas una recta \( \ell \) y un plano \( \pi \) que la contiene (\( \pi\supset \ell \)), al menos hay algún punto del plano que no está en \( \ell \). En símbolos:
    
    
    \( \forall{\ell\in\mathcal L,\pi\in\mathcal M}:(\pi\supset \ell\Longrightarrow{\exists{x\in \pi}:[x\not\in \ell]}). \)
    
    (Esto quiere decir simplemente que una recta no puede "llenar" todo un plano, o que un plano no colapsa en una recta).
    
    
  • Dada una recta \( \ell \), siempre está contenida en algún plano \( \pi \).
    
    \( \forall{\ell\in\mathcal L}:(\exists{\pi\in\mathcal M}:[\ell\subset \pi]). \)
    
    (Así como ya hemos dicho que todo plano es unión de rectas, decimos ahora que no puede haber rectas sueltas, sino que están enteramente contenidas en algún plano, al menos).
    
    (Este enunciado lo agrego para ser consistente con la "intención" de Puig Adam, a saber: que el espacio se "agrupa" en planos, y estos a su vez se "agrupan" en rectas. De no agregarse este enunciado, no podría demostrarse directamente a partir de los anteriores).
    
    
  
  
  

Con estos pocos rudimentos ya pueden demostrarse algunos teoremas, que en realidad responde preguntas básicas que uno se haría.

Teoremitas básicos

• Todo plano \( \pi \) contiene al menos una recta \( \ell \).
  
  \( \forall{\pi\in\mathcal M}:(\exists{\ell\in\mathcal L}:[\pi\supset \ell]) \)
  
  Hemos dicho que un plano \( \pi \) es unión de rectas. Pero podría ser una unión "vacía" de rectas...
  No obstante, como \( \pi \) es infinito, en particular es no vacío.
  Así que hay algún punto \( x\in\pi \).
  Como \( \pi \) es unión de rectas, tiene que haber alguna recta \( \ell\subset \pi \) tal que \( x\in\ell \).
  Así que al menos hay una recta \( \ell \) contenida en \( \pi \). Q.E.D.
  
  
• Dado un punto \( x \), siempre está contenido en alguna recta \( \ell \).
  
  \( \forall{x\in X}:(\exists{\ell\in\mathcal L}:[x\in \ell]). \)
  
  Esto se deduce así: como \( X \) es unión de ciertos planos, \( x \) está en alguno de esos planos, digamos \( \pi \).
  A su vez, como \( \pi \) es unión de ciertas rectas, resulta así que \( x \) está en alguna de esas rectas, digamos \( \ell \). Q.E.D.
  
• Dado un punto \( x \) y una recta \( \ell \) que lo contiene, existe al menos otro punto distinto de \( x \) en \( \ell \). En símbolos:
  
  
  \( \forall{x\in X,\ell\in\mathcal L}:(x\in\ell \Longrightarrow{\exists{y\in \ell}:[x\neq y]}) \)
  
  Esto se deduce del supuesto de que toda recta es un conjunto infinito. Q.E.D.
  
  

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Quienes tienen el libro de Puig Adam a mano verán que no ha quedado casi nada de él.
Me interesa escribir las cosas en un formato moderno, y que a la vez mantenga el paralelismo entre la notación simbólica formal, la intuición geométrica, y la comprensión intuitiva.

Comentarios adicionales

Observamos también que el Axioma I.2 en realidad contiene muchas afirmaciones en su interior.

Así que puse bien separadas las afirmaciones que allí aparecen, dejando bien explícita la forma matemática de las mismas.
Esto es con varias intenciones. La primera, evitar ambigüedades desde el principio. La segunda, mostrar que todo puede hacerse dentro del formalismo estándar de la matemática, y que no hacen falta "ideas o explicaciones extrañas" sacadas desde el universo platónico. Y por último, pensando en la posibilidad de escudriñar y tergiversar la estructura misma de los Axiomas. Para definir una estructura alternativa a la geometría euclidiana, hay que tener bien claro lo que estos dicen, con absoluta precisión.

En Puig Adam esos enunciados están puestos todos juntos en otro formato, al que le siguen aclaraciones.
Ese estilo lleno de "palabrerío" no me agrada demasiado.
Un Axioma, al igual que un Teorema, debe ser matemáticamente preciso y autocontenido. 

Yo también uso "palabras". Pero lo hago sólo para ser amable con los posibles lectores, y así lograr que alguien tenga ganas de leer todo esto. Que si no, si pongo puros símbolos (como pienso que debiera ser), no lo va a leer nadie. 

Es más, yo tampoco entiendo nada cuando veo un artículo matemático lleno se "chirimbolos" con poca explicación. 
Así que, así es la vida. 

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Terminología y Tecnicismos

Para indicar que un punto \( x \) pertenece a una recta \( \ell \), se suele decir que \( \ell \) pasa por \( x \) o que \( \ell \) es incidente en \( x \).

También, para decir que una recta \( \ell \) es subconjunto de un plano \( \pi \), se suele decir que \( \pi \) pasa por \( \ell \) (o que es incidente).

La misma terminología se usará luego para semirrectas, segmentos, semiplanos, etc.

Se ve que "pasar por" es una relación que puede leerse como "contiene como subconjunto a".
También pareciera que, cuando a puntos se refiere, podemos entender que se trata de la relación \( \ni \).

Pero si no queremos este ambiguo significado de la relación "pasa por", y deseamos que siempre se traduzca por \( \supset  \), entonces basta recordar la convención que hicimos en el primer post, del doble uso de la palabra punto, que a veces vale como "elemento" de \( X \) y a veces como "subconjunto de un solo elemento" \( \{x\} \).


Sí, ya sé. Mucha discusión técnica y de geometría nada... 

Y bueno. Si estamos dando Axiomas, es justamente porque nos interesa el rigor matemático. 

Después algunos dibujitos voy a poner... pero ya se ve que el asunto viene áspero. 

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Si sólo tuviéramos los Axiomas I.1 y I.2, ¿qué clase de objetos matemáticos podríamos tener?
Ciertamente que con ellos solamente, la "geometría" aún está muy "débil".
Hay multitud de cosas que pueden cumplirlos.

En el siguiente spoiler discutimos esto muy someramente.
El tópico de buscar "modelos" para una geometría "débil" (no euclidiana, sino bastante "exótica", irreconocible como "geometría") se deja para más adelante.

Discusión del sentido de los Axiomas I.1 y I.2

El primer axioma lo cumple ciertamente cualquier conjunto infinito... claro está.
Es claro que no alcanza con ser "un conjunto infinito" para decir cosas "geométricas" sobre él.

¿Existen conjuntos infinitos? En la teoría de conjuntos ZFC se nos asegura que sí, que hay al menos un conjunto infinito "por ahí".
Así que el Axioma I.1 tiene sentido en ZFC, que si no, ¡de entrada no podríamos tener geometría alguna!


El segundo axioma intenta separar los objetos principales de la geometría en ciertas "jerarquías".
Establece que el espacio total \( X \) tiene la mayor jerarquía, le siguen los planos, luego las rectas y por último los puntos.

El espacio está "exfoliado" como unión de planos, y así todo punto está en algún plano.
No puede haber puntos sueltos.

No puede haber rectas que estén "afuera" de todo plano, o que sólo tengan una porción de ellas en común con algún plano. Se exige que al menos haya un plano que contenga una recta dada, y que al menos haya un punto del plano que esté fuera de la recta.

Finalmente, se puede deducir que el espacio \( X \) es unión de ciertas rectas, y entonces todo punto está en alguna recta. Esto quiere decir que los puntos no andan "sueltos", sino siempre asociados a una (o más) recta(s).

Sin embargo, nada nos asegura hasta ahora que los planos sean "rectos" en algún sentido, o que contengan "infinitas rectas".

No se sabe tampoco cuántas rectas hay en un plano ni cuántos planos hay en el espacio.
Y no es posible determinar tampoco si todos los planos tienen el mismo cardinal, o si todas las rectas tienen el mismo cardinal.


En esta parte Puig Adam se permite un lenguaje algo "impreciso", y al intentar precisarlo aparecen lagunas como las que he estado tratando de aclarar, e incluso emparchar. (El último ítem en el Axioma I.2 es un "parche" mío).


En ese caso ustedes se preguntarán por qué no uso directamente el libro de Hilbert, que tiene todo el rigor y precisión deseables.
Bueno, lo que pasa es que Hilbert hace algo que deseo evitar: estudia los mínimos supuestos posibles con los cuales puede deducir todos los hechos de la geometría euclidiana.
Esto hace que los Axiomas de Hilbert tengan poca utilidad en la práctica: no podemos ir rápidamente al grano.
Puig Adam discute sobre este tema, y llega a la misma conclusión: hace falta un rigor "intermedio".

Nos interesan los Axiomas de la Geometría en formato riguroso... pero los queremos para usarlos, no para jugar a encontrar "la mínima lista de axiomas posibles de la teoría geométrica". Ese juego es complicado, y es parte de los fundamentos de la matemática, un área en la que no vamos a entrar a lo largo de estas notas.

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[argentinator]

¿Se puede ya hablar de geometría ya, con estos pocos axiomas?
¿Qué queremos decir con esto?

Ciertamente que la geometría euclidiana tiene que cumplir los enunciados dados en los Axiomas I.1 y I.2.
Pero eso no quiere decir nada.
Si nos quedamos con una estructura matemática que sólo tenga esos axiomas, muchas categorías de objetos pueden caer ahí, y es interesante estudiarlos porque ellos nos muestran con claridad que nuestros axiomas "aún" no son "la" geometría euclidiana.
Ese es el juego que se nos abre al usar una teoría axiomática.

Otro juego posible es simplemente "negar" los axiomas dados para experimentar con los objetos matemáticos resultantes.
Es otra manera de entender lo que dicen los axiomas: analizar qué es lo que "no dicen".
Y en concreto, estamos analizando qué cosas "no son" la geometría euclidiana.


Veamos qué nos dice el Axioma I.2 por sí solo, en ausencia del Axioma I.1.

Si \( \mathbb N \) denota al conjunto de números naturales,
\( \mathcal L_{\mathbb N} \) es la familia de conjuntos de la forma \( \ell^1_{m,n}=\{(p,m,n):p\in\mathbb N\}, \ell^2_{m,n}=\{(m,p,n ):p\in\mathbb N\},\ell^3_{m,n}=\{(m,n,p):p\in\mathbb N\}, \) y
\( \mathcal M_{\mathbb N} \) es la familia de conjuntos de la forma \( \pi^1_{m}=\{(m,n,p):n,p\in\mathbb N\}, \pi^2_{m}=\{(n,m,p):n,p\in\mathbb N\}, \pi^3_{m}=\{(n,p,m ):n,p\in\mathbb N\},  \)
entonces vemos que la estructura \( (\mathbb N^3, \mathcal L_{\mathbb N}, \mathcal M_{\mathbb N}) \) satisface todas las premisas del Axioma I.2.

Más aún, dicho sistema también cumple el Axioma I.1.


Ya hemos mencionado que el modelo típico de la Geometría Euclidiana será el espacio vectorial \( \mathbb R^3 \).
En realidad, tenemos que especificar cuáles son las clases \( \mathcal L, \mathcal M \).
Esto es muy fácil, si ya hemos hecho un curso de Álgebra Lineal.

La familia \( \mathcal L \) de todas las rectas será:

\( \mathcal L=\{\ell| \ell=\{t\vec v+\vec a:t\in\mathbb R\}, \vec v,\vec a\in\mathbb R^3\} \)

O sea, las rectas allí se forman como espacios afines de dimensión 1, vale decir, tomando un subespacio vectorial de dimensión 1 (un vector dirección \( \vec v \) multiplicado por cada escalar \( t \)) trasladado en forma paralela según un vector \( \vec a \).

La familia \( \mathcal M \) de todos los planos será:

\( \mathcal M=\{\pi| \pi=\{s\vec u+t \vec v+\vec a:s,t\in\mathbb R\},\vec u,\vec v,\vec a\in\mathbb R^3\} \)

De nuevo, se generan todos los subespacios de dimensión 2, y se trasladan en forma paralela según un vector \( \vec a \).

Ahora, la terna \( (\mathbb R^3,\mathcal L,\mathcal M) \) no sólo satisface los Axiomas I.1 y I.2 sino que satisfará todos los Axiomas que daremos después.

Podremos darnos por satisfechos con la lista de Axiomas de la Geometría Euclidiana cuando lleguemos a la conclusión de que el único modelo posible sea éste último (salvo isomorfismos).


Por ahora hay muchos modelos más.
Consideremos un subconjunto infinito cualquiera \( S \) de \( \mathbb R^3 \).
Supongamos que \( S \) es unión de ciertos conjuntos infinitos \( E \) que son de la forma \( S\cap \pi \), para algún \( \pi\in\mathcal M \).
Denotemos \( \mathcal M_S \) a alguna de las posibles familias de conjuntos con esa propiedad.
Estamos diciendo que: \( S=\bigcup _{E\in\mathcal M_S} E \).

Supongamos además que cada miembro \( E \) de \( \mathcal M_S \) puede escribirse como unión de conjuntos infinitos de la forma \( L=\ell\cap S \), para algún \( \ell\in\mathcal L \).
Elijamos una de tales familias para \( E \) y denotémosla por \( \mathcal L^E \).

Finalmente, definamos \( \mathcal L_S=\bigcup _{E\in\mathcal M_E}\mathcal L^E \).
O sea, hemos tomado la unión de todas las familias \( \mathcal L^E \) para formar una única familia asociada a \( S \).

¿Bajo qué condiciones la estructura \( (X,\mathcal L,\mathcal M)=(S, \mathcal L_S,\mathcal M_S) \) satisface los Axiomas I.1 y I.2?

En este caso, el espacio es \( S \), las rectas son los elementos de \( \mathcal L_S \) y los planos son los elementos de \( \mathcal M_S \).

Hay que elegir \( S \) y las familias \( \mathcal L_S,\mathcal M_S \) de tal forma que cualesquiera dos elementos distintos de \( \mathcal M_S \) no estén el uno incluido en el otro (o sea, que haya un punto de uno que no esté en el otro y viceversa). Algo similar ha de exigirse a los elementos de la la familia \( \mathcal L_S \).

Cuando el conjunto \( S \) es muy pequeño, puede ser intrincado lograr que se logren esas condiciones, porque puede que todos los puntos pertenezcan en realidad a un mismo plano o una misma recta en \( \mathbb R^3 \).
Así que dejamos al lector interesado pensar en las posiblidades.

Además, no hace falta tomar todos las intersecciones posibles con planos y rectas, y sólo algunas subfamilias serían suficientes.
Un ejemplo de este tipo ya lo hemos dado, es el de \( (\mathbb N^3,\mathcal L_{\mathbb N},\mathcal M_{\mathbb N}) \).



Demos ahora un ejemplo trivial. La estructura \( (X,\mathcal L,\mathcal M)=(\emptyset ,\emptyset ,\emptyset ) \) satisface todas las premisas del Axioma I.2, aunque claramente no satisface el Axioma I.1.


¿Cuál sería el ejemplo más "pequeño" no trivial de sistema cumpliendo el Axioma I.2?

En principio, si es no trivial, entonces tendrá algún punto.
Si tiene algún punto, como está obligado a estar en alguna recta, entonces habrá alguna recta, y asimismo habrá algún plano.
En particular, como toda recta debe tener infinitos puntos, el espacio total \( X \) será infinito, y así cumplirá el Axioma I.1.

Esto nos dice que, ya que vamos a exigir que se cumpla el Axioma I.2, basta pedir en el Axioma I.1 que \( X \) sea un conjunto no vacío, pues esto implicará automáticamente que \( X \) es infinito.


El primer ejemplo que vimos de \( \mathbb N^3 \) era un conjunto numerable, así que existen modelos numerables para el Axioma I.2.
Así que, si un modelo va a ser "pequeño", como debe ser infinito, no puede ser más pequeño que un conjunto numerable.
La "pequeñez" tendremos que buscarla en la estructura de rectas y planos que describen la "geometría" en cuestión. Queremos "gastar" lo menos posible.

Para que se cumplan todos los requisitos del Axioma I.2, parece claro que al menos debemos tener dos planos (ya que dado un plano, hay algún punto al menos fuera de él, que a su vez está en una recta, que a su vez estará en un plano).
A su vez, parece claro también que tiene que haber al menos dos rectas distintas en uno de los planos, y el segundo plano también debe tener dos rectas distintas, pero una de ellas puede compartirse con el otro plano.

Así que al menos debiéramos tener 2 planos y 3 rectas, así como una cantidad infinita numerable de puntos.
¿Es posible construir un ejemplo donde se cumplan exactamente esas condiciones?

El lector interesado debiera construirse el ejemplo, paso a paso, y convencerse de que no puede hacerse más "pequeño". Aquí adjunto una solución, en que el espacio es un conjunto numerable de números enteros.

El espacio sería \( X=\{-2,-1,0\}\cup \mathbb Z^+ \).

Definir como "rectas" a los conjuntos de números enteros siguientes: \( \ell_0=\{0\}\cup \mathbb Z^+,\ell_1=\{-1 \}\cup \mathbb Z^+,\ell_2=\{-2\}\cup \mathbb Z^+ \),
Los planos serían: \( \pi = \{-1,0\}\cup \mathbb Z^+, \tau=\{-2.0\}\cup \mathbb Z^+ \).

Así, tenemos \( \mathcal L=\{\ell_0,\ell_1,\ell_2\},\mathcal M=\{\pi,\tau\} \),
donde \( \pi=\ell_0\cup \ell_1,\tau=\ell_0\cup \ell_2 \).

Una "geometría" bastante peculiar.





En este último ejemplo queda claramente de manifiesto que el conjunto \( \mathbb Z^+ \) está puesto solamente para satisfacer los requisitos de infinitud.

¿Qué pasaría si en vez de ese conjunto ponemos otro, digamos \( E=\{1\} \)?
O sea, un conjunto de un solo punto.

Bueno, obviamente se pierde la infinitud.
Pero todavía se siguen cumpliendo los demás requisitos: "fuera de un plano hay algún otro punto", "dada una recta en un plano, fuera de aquella hay algún otro punto en el plano", "todo plano es unión de rectas", "el espacio es unión de planos".

Más aún, podemos cumplir todo esto tomando el conjunto \( E=\emptyset  \).

Así que, en ese caso, tendríamos una estructura de "rectas y planos" con sólo 3 puntos.
Llama la atención que la dimensión del espacio sea también 3.
¿Tendrá algo que ver?

Para habla de un teorema de dimensión, que se deduzca exclusivamente de cierta "porción" del Axioma I.2, tendríamos que pensar en "geometrías lineales de dimensión arbitraria", y luego estudiar cuáles son los mínimos axiomas requeridos para caracterizar la "dimensión" del espacio tal como la entendemos en sentido algebraico.

En este caso, estamos conjeturando que el mínimo de puntos necesarios para una estructura de \( k \)-hiperplanos, para \( k=1, 2, 3, ...,n \), tales que todos ellos son unión de \( (k-1) \)-hiperplanos, y tal que cada fuera de cada uno de ellos hay al menos un punto, y tal que la unión de todos ellos da el \( n \)-espacio euclidiano, es justamente \( n \).
O sea, que al agregar más axiomas geométricos, este número \( n \) no va a cambiar.

Por ahora esta conjetura está enunciado incluso en forma imprecisa.
Quizá luego pueda ajustarla un poco más.




Algunos ejemplos confusos:

Aunque el modelo típico de la geometría euclidiana es \( \mathbb R^3 \), mientras la lista de Axiomas no esté completa, podremos colocar un sinfín de cosas como modelo, incluyendo cosas como \( \mathbb R^n \) con \( n\neq 3 \).

Así que, tomemos \( \mathbb R^{479} \), el espacio vectorial real de dimensión 479, y veamos cómo encaja en nuestros Axiomas I.1 y I.2.

Si \( \pi \) es un hiperplano de dimensión \( k> 1 \), y \( k< 479 \), lo ponemos en la familia \( \mathcal M \).
Si \( \ell \) es una recta en \( \mathbb R^{479} \), la ponemos como elemento de la familia \( \mathcal L \).

Así que, hemos dejado que las rectas se sigan comportando como "rectas", los planos bidimensionales se siguen comportando como "planos", pero los \( k \)-hiperplanos de dimensión \( k\geq 3 \) ahora también se llaman "planos".

Sin embargo, la estructura \( (\mathbb R^{479},\mathcal L,\mathcal M) \) satisface los benditos Axiomas I.1 y I.2 (chequearlo).

Así que todavía falta mucho para caracterizar la geometría tridimensional...

[argentinator]

• Axioma I.3. Dados dos puntos \( A,B \), hay una y sólo una recta \( \ell \) que pasa por \( A,B \). A esta recta \( \ell \) se la denota \( \overline{AB} \), o bien se dice recta \( AB \).
  
  
  Terminología y observaciones técnicas

  Ya hemos aclarado que \( \ell  \)pasa por \( A,B \) significa exactamente: \( A,B\in \ell \).
  
  Puig Adam también usa la frase \( A, B \) determinan una recta que los contiene.
  
  Podemos decir que \( A,B \) determinan una recta \( \ell \) es sinónimo de: existe una única recta \( ell \) tal que \( A,B\in \ell \).
  
  Se puede apreciar que es posible ahora definir una función tal que a cada par de puntos distintos \( A,B\in X \) le asigna un elemento \( \ell\in\mathcal L \), o sea, una recta de \( X \).
  Si llamamos \( \lambda \) a esta función, tenemos que \( \lambda(A,B)=\overline{AB} \), para cualesquiera puntos distintos \( A,B \).
  
  Tal función no estaría definida si \( A=B \).
  
  Esta función no es inyectiva, como pronto podrá apreciarse.
  Sólo remarcamos aquí el hecho de que hay una tal función, y que a pesar de que el Axioma I.2 nos dice que una recta tiene infinitos puntos, resulta que cualesquiera dos puntos distintos de ella la "determinan".
  
  Esto quiere decir que dos puntos distintos que están en una recta \( \ell \), no son ellos capaces de compartir ninguna otra recta.
  
  
  Podemos observar que la función \( \lambda \) es, sin embargo, sobreyectiva.
  O sea, siempre hay un par de puntos que "determinan" una recta dada.
  Para ello, basta recordar que, por Axioma I.2, una recta \( \ell \) es un conjunto infinito.
  En particular hay al menos dos puntos distintos \( A,B\in\ell \).
  
  Por unicidad, la única recta a la que \( A,B \) pueden pertenecer al mismo tiempo es a \( \ell \). Luego \( \lambda(A.B)=\ell \).
  
  
  
  
  Puig Adam no usa la notación \( \overline{AB} \), pero nosotros sí.
  Queremos poder distinguir con la notación los futuros casos de semirrectas, segmentos y vectores.
  
  

  [cerrar]
  
  Definición: Se dice que los puntos de un cierto conjunto \( E \) están alineados, si existe una recta \( \ell \) tal que \( E\subset \ell \). En caso contrario, se dice que los puntos del conjunto están no alineados.
  
  
• Axioma I.4. Dados tres puntos no alineados \( A,B,C \), hay un y sólo un plano \( \pi \) que pasa por \( A,B,C \). Se llama el plano \( ABC \).
  
  
  Terminología y detalles técnicos

  
  El hecho de que \( A,B,C \) estén no alineados implica directamente que se trata de tres puntos distintos entre sí, porque si hubiera alguno repetido, estarían en una misma recta, por el Axioma I.3.
  Si se quisiera dar un enunciado más bien independiente de ese Axioma, habría que aclarar en la hipótesis que \( A,B,C \) son tres puntos distintos entre sí, además de ser no alineados.
  
  De muevo, la frase pasa por quiere decir que \( A,B,C\in\pi \).
  También aquí la unicidad de \( \pi \) puede expresarse con la palabra determinan.
  
  
  
  En similar modo al Axioma I.3, es posible aquí hablar de una función \( \Pi \) que a cada terna de puntos no alineados (y distintos  ) \( A,B,C \) le haga corresponder el único plano \( \pi \) al que ellos pertenecen.
  
  Otra vez esta función \( \Pi \) no será inyectiva, ya que como un plano tiene infinitos puntos, hay muchas ternas de puntos \( A,B,C \) tal que \( \Pi(A,B,C) \) dan como resultado un mismo plano \( \pi \).
  
  Sin embargo la función \( \Pi \) es sobreyectiva.
  Esto quiere decir que todo plano \( \pi \) puede "determinarse" a partir de alguna terna de puntos no alineados.
  
  Veamos que esto es así. Sea \( \pi \) un  plano dado.
  En él hay infinitos puntos. Tomemos dos de ellos \( A,B \) que sean distintos entre sí.
  Por el Axioma I.3, hay una única recta \( \ell \) que los contiene.
  
  No sabemos con los actuales Axiomas si todo punto de \( \ell \) está en \( \pi \).
  Pero podemos decir que hay algún punto de \( \pi \) que no está en \( \ell \).
  
  Veamos por qué.
  Si no fuese eso cierto, entonces tendríamos que todo punto de \( \pi \) está en \( \ell \), y escribimos pues: \( \pi\subset \ell \).
  
  Sabemos por Axioma I.2 que debe existir un plano \( \tau \) tal que \( \ell\subset \tau \). Y además existe algún punto de \( \tau \) que no está en \( \ell[/\tex]. Luego,
  si [tex]\pi\subset \ell \), entonces \( \pi\subsetneq \tau \).
  
  Ahora, como \( \pi \) es unión de rectas por Axioma I.2, existen rectas \( a,b \) tales que \( A\in a\subset \pi,B\in b\subset \pi \). Dichas rectas son conjuntos infinitos.
  No puede ser que \( a=b \), porque en ese caso contendrían los puntos \( A,B \), que por unicidad nos daría que \( \ell=\overline{AB}=a=b\subsetneq \pi\subset\ell \) (la inclusión es estricta por Axioma I.2), que es un absurdo.
  
  Sea \( D\in a \) un punto distinto de \( A \). Tal punto existe porque \( a \) es un conjunto infinito (por Axioma I.2).
  El punto \( D \) pertenece a \( \pi \) pero no pertenece a \( \ell \), lo cual contradice la hipótesis de que \( \pi\subset \ell \).
  
  Este absurdo prueba que hay algún punto de \( \pi \) que no está en \( \ell \), como deseábamos.
  
  
  Ahora sea \( C\in \pi \) tal que \( C\not\in\ell \).
  Mostremos que \( A,B,C \) son puntos no alineados.
  Si estuviesen en una misma recta, ésta tendría que ser \( \ell=\overline{AB} \), lo cual nos daría el absurdo de que \( C\in \ell \), contra lo supuesto.
  
  Así que \( A,B,C \) son tres puntos no alineados, y por Axioma I.4, hay un único plano que los contiene, pero como ellos pertenecen al plano \( \pi \), dicho único plano no tiene más remedio que ser el mismo \( \pi \).
  
  De manera que \( \Pi(A,B,C)=\pi \), como se deseaba demostrar.
  
   
  
  

  [cerrar]
  
  
  
• Axioma I.5. Si \( A,B \) son dos puntos distintos de una recta \( \ell \) están en un plano \( \pi \), entonces todos los puntos de \( \ell \) están en \( \pi \).
  
  En símbolos: \( A\neq B, A,B\in\pi\Longrightarrow{\ell=\overline{AB}\subset \pi} \).
  
  
  Detalles técnicos

  
  En virtud de que el Axioma I.3 indica que dos puntos distintos "determinan" una recta que los contiene, el presente Axioma podría enunciarse más brevemente diciendo:
  
  * Si \( A\neq B \) son puntos tales que \( A,B\in\pi \), entonces la recta \( \overline{AB} \) está contenida en \( \pi \).
  
  Sin embargo, uno puede por un momento jugar a que no hemos dado aún el Axioma I.3, y en ese caso sería necesario aclarar cuál diablos es la recta que está incluida en el plano.
  
  En notas técnicas previas hemos tenido dificultades en ciertos cálculos sencillos porque no disponíamos de esta premisa de que dos puntos en un plano implican que toda la recta que les contiene está en el plano.
  Sin embargo, es interesante también notar que a pesar de esas dificultades, lo cierto es que el presente Axioma no fue para nada necesario a fin de cuentas.
  
  
  
  
  

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[argentinator]

Sigamos con nuestros ejemplos "freak" de objetos matemáticos que satisfacen sólo algunos axiomas de la geometría, pero no todos.

Consideremos en \( \mathbb R^3 \) la familia \( \mathcal M \) de esferas de radio \( r> 0 \) centradas en algún punto cualquiera \( (a,b,c) \). A cada una de ellas la podemos denotar \( S_r(a,b,c) \). También vamos a considerar la esfera degenerada \( S_0(a,b,c) \) de "radio 0", es decir, la que consta sólo del punto \( (a,b,c) \).

Para toda esfera \( S_r(a,b,c) \) consideramos todas las circunferencias posibles que rodean (alguna porción de) la superficie, y las coleccionamos en la familia \( \mathcal L \).
También circunferencias degeneradas (que se reducen a un solo punto) estarán en \( \mathcal L \).

Nuestras "rectas" son ahora circunferencias (incluyendo de radio 0), y nuestros "planos" son superficies esféricas (incluyendo de radio 0).

Obtenemos ahora una terna \( (\mathbb R^3,\mathcal L,\mathcal M) \) que no cumple los Axiomas I.2, I.3, I.4, aunque sí cumple el Axioma I.5.

Observamos que \( S_0(a,b,c)=\{(a,b,c)\} \), que tiene un solo punto, y por lo tanto tiene una sola "recta" \( \ell\in\mathcal L  \), también con un solo punto.

A pesar de que los axiomas hablan de "dos puntos distintos" para determinar una recta o de "tres puntos distintos" para determinar un plano, la existencia de planos o rectas con un solo punto no contradice esos axiomas.
En efecto, si bien se dice que "dos puntos distintos determinan una recta que los contiene", en ningún momento se exige que una recta tiene que tener necesariamente dos puntos distintos.

Así que ahí no está el problema con esas "rectas" y "planos" respecto los Axiomas I.3 y I.4.
¿Cómo modificamos el ejemplo para que esos dos axiomas se satisfagan?

En realidad, dados dos puntos distintos, hay alguna circunferencia que los contiene.
El problema es que en realidad hay varias circunferencias que cumplen lo mismo, o sea, no hay "determinación" (léase: "unicidad").
Lo mismo para tres puntos con las superficies esféricas...




Vayamos con un ejemplo algo más complicado, donde las cosas funcionan como queremos.

Nuestro espacio será \( X=\mathbb R^3\setminus \{(0,0,0)\} \).
O sea, hemos quitado el origen.

La colección \( \mathcal M \) constará de objetos de tres tipos:

• 1er tipo: todas las "superficies esféricas" que "pasan por \( \{0,0,0\} \)", aunque obviamente tendremos que quitarles el punto \( (0,0,0) \) a dichas esferas, ya que dicho punto no está en el espacio \( X \).
  
• 2do tipo: conjuntos de la forma \( \mathcal E\cup \mathcal E' \) donde \( \mathcal E,\mathcal E' \) son circunferencias que pasa por el origen, de distinto radio, y que "yacen" en un mismo "plano que pasa por el origen" (aquí "plano" quiere decir: "subespacio de \( \mathbb R^2 \)").
  
• 3er tipo: conjuntos de la forma \( \{A,B,C\} \), para puntos \( A,B,C \) tales que los vectores \( \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC} \) son paralelos entre sí.
  

"Se sabe" (eso dicen), que toda lista de 4 puntos no coplanares en \( \mathbb R^3 \) dan lugar a una única superficie esférica que los contiene.
De manera que si tomamos 3 puntos que no sean coplanares con el origen \( \{(0,0,0)\} \), darán lugar a un único elemento de \( \mathcal M \).
Esto ya se parece más a lo que andamos buscando.

Nuestra familia \( \mathcal L \) constará de conjuntos de dos clases:

• 1era. clase: Circunferencias que pasan por el origen \( (0,0,0) \).
  
• 2da. clase: Conjuntos de dos puntos distintos \( \{A,B\} \) sólo para puntos \( A,B \) tal que \( \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB} \) son vectores paralelos.
  

Aunque aún no hemos demostrado grandes resultados de "geometría euclidiana", es posible de todas formas utilizar resultados geométricos de \( \mathbb R^3 \), porque éste es un espacio vectorial bien estudiado, y sus propiedades pueden demostrarse sin necesidad de comprobar primero si satisface o no los postulados de Euclides.

Así que aprovechemos las propiedades de determinación de las circunferencias y de las esferas que allí valen.

Sean \( A,B \) puntos distintos en \( X \).
Si los vectores \( \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB} \) son no-paralelos, entonces hay una única circunferencia que contiene a los puntos \( O,A,B \), la cual es elemento de \( \mathcal L \).
Más aún, no hay ningún elemento de la "2da clase" en \( \mathcal L \) que contenga a \( A,B \), por la manera en que hemos tomado a esos puntos.

Si los vectores \( \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB} \) son paralelos, no hay ninguna circunferencia posible en \( \mathcal L \) que los contenga, y en cambio sólo el elemento de al "2da. clase" \( \{A,B\} \) contiene a ambos puntos.

Esto muestra que el Axioma I.3 se cumple.

Ahora sean \( A,B,C\in X \) tales que no pertenecen a un mismo elemento de \( \mathcal L \), o sea, no están "alineados" (en el sentido abstracto de nuestros axiomas). Mejor tendríamos que decir que no están \( \mathcal L \)-alineados, para más claridad.

Si \( A,B \) están en un conjunto \( \mathcal E \) de la 1era. clase de \( \mathcal L \) (una de las circunferencias), entonces \( C \) no puede estar en dicha circunferencia.
Suponiendo independencia lineal, se ve claramente que \( A,B,C \) sólo pueden estar en el elemento \( \mathcal E \) de \( \mathcal M \).

Supongamos ahora s.p.d.g. que \( \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC} \) son paralelos entre sí, pero que \( \overrightarrow{OB} \) no es paralelo a ellos.
Hay únicas circunferencias \( \mathcal E \), que "pasa por" \( O,A,B \), y \( \mathcal E' \), que "pasa por" \( O,C,B \).
La unión \( \mathcal E\cup \mathcal E' \) es un elemento de la 2da. clase de \( \mathcal M \).
Yparece bastante claro que no puede haber otros elementos de \( \mathcal M \) que contengan a \( A,B,C \).

El caso en que \( \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC} \) son paralelos entre sí es más fácil de analizar, y también se obtiene un único elemento de \( \mathcal M \) que contiene a \( A,B,C \).

Por lo tanto, se cumple el Axioma I.4.

Ahora bien, dados dos puntos distintos \( A,B \) que están en un elemento \( \pi\in\mathcal M \), ¿es cierto que el único elemento \( \ell\in\mathcal L \) que contiene a \( A,B \) está incluido completamente en \( \pi \)?

Si \( \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB} \) son paralelos entre sí, entonces trivialmente el único elemento de \( \mathcal L \) que contiene a \( A,B \), que es \( \{A,B\} \) está contenido en \( \pi \).
En caso de que los vectores no sean paralelos, \( \pi \) puede ser de la 1era. o 2da. clase.
En cualquier caso, se puede obtener un tercer punto \( C\in\pi \) tal que
\( \overrightarrow{OC} \) es no paralelo a \( \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB} \).
La circunferencia que pasa por \( O,A,B \) estará contenida en \( \pi \) en cualquier caso.

(Por ejemplo, en el caso de que \( \pi \) sea una esfera, el "plano bidimensional" determinado por \( O,A,B \) intersecta a la esfera en una circunferencia, que por fuerza es la únca que pasa por esos puntos, y queda contenida en \( \pi \)).

Esto prueba el Axioma I.5.

Hemos logrado construir un ejemplo exótico de una "geometría" que cumple los Axiomas I.3, I.4 y I.5, en la cual las "rectas" y los "planos" son, en general, "redondos".
Aún así, fue bastante complicado construirlo.
O sea, quise forzar las cosas para poner esferas y círculos, y no me resultó sencillo, y eso que sólo estábamos trabajando con tres axiomas muy elementales.

Debido a que hay en este ejemplo rectas y planos finitos, el Axioma I.2 no se cumple.

¿Se puede acomodar el ejemplo para que ese axioma se cumpla?

Los conjuntos del 3er. tipo de \( \mathcal M \) podrían ser "rectas por el origen \( \{t\vec v:t\in\mathbb R\} \)" (que en el ejemplo cumplirían el rol de planos), mientras que los conjuntos de la 2da. clase de \( \mathcal L \)  podrían ser subconjuntos adecuados de esas mismas rectas, por ejemplo, todas las combinaciones \( \ell=\{  q \overrightarrow{OA}:q\in\mathbb{Q}^+,...\}\cup \{  q \overrightarrow{OB}:q\in\mathbb{Q}^+\} \) para \( A,B \) tales que \( \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB} \) son vectores paralelos.

Esto se hace así, porque es necesario que en cada \( \mathcal M \)-plano exista algún punto que no esté en alguna de las \( \mathcal L \)-rectas que lo componen.



En general, dado cualquier conjunto no vacío \( X \), la terna \( (X,\{X\},\{X\}) \) cumple los Axiomas I.3, I.4 y I.5.

En los Axiomas I.3 a I.5 no hay requisitos de infinitud de conjuntos.
Así que bien podríamos buscar ejemplos de sistemas finitos que los satisfagan.

Casos triviales serían estos:

\( X=\emptyset ,\mathcal L=\emptyset ,\mathcal M=\emptyset . \)

\( X=\{1\},\mathcal L=\{X\},\mathcal M=\{X\} \)

\( X=\{1,2\},\mathcal L=\{X\},\mathcal M=\{X\} \)

\( X=\{1,2,3\},\mathcal L=\{X\},\mathcal M=\{X\} \)

\( X=\{1,2,3\},\mathcal L=\{\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\}\},\mathcal M=\{X\} \)




Otro ejemplo elemental es el siguiente: Sea \( X \) un conjunto no vacío cualquiera, y sea \( \mathcal L \) la familia de todos los conjuntos de 2 elementos distintos \( A,B \) de \( X \).
Sea \( \mathcal M \) la familia de todos los conjuntos de 3 elementos distintos \( A,B,C \) de \( X \).
Afirmamos que \( (X,\mathcal L,\mathcal M) \) cumple los Axiomas I.3, I.4 y I.5.

La verificación es directa. El Axioma I.4 sólo se pregunta por 3 puntos no alineados, sin embargo, en nuestro ejemplo, cualesquiera 3 puntos distintos están no alineados.




Uno de nuestros primeros ejemplos, el de \( X=\{-2,-1,0\}\cup \mathbb Z^+ \), en el que teníamos tres rectas y dos planos en total, no satisfará el Axioma I.3, ya que los puntos \( 1,2 \), por ejemplo, pertenecen a todas las rectas que habíamos definido.
El Axioma I.4 tampoco se cumple, pero es por otra razón: los puntos \( -2,-1,0 \) están no alineados, y sin embargo no hay un plano que los contenga.

Sin embargo sí satisface el Axioma I.5, como es fácil de verificar.

Conjeturamos que no es posible agregar un nuevo plano que satisfaga todos los axiomas I.1 a I.5. Dejamos al lector interesado la discusión de esto.




Otras observaciones que podemos hacer es que tanto la recta real \( \mathbb R \) como el espacio vectorial bidimensional \( \mathbb R^2 \) cumplen los Axiomas I.3, I.4, I.5, con tal de que se deje al conjunto total como el único plano del sistema.




Podemos seguramente imaginar más ejemplos, pero por ahora dejamos este tema.
Ya ha quedado claramente ilustrado lo que significa que un sistema satisfaga unos axiomas y no otros, y que mientras no exijamos todos los axiomas de la geometría, no podremos hablar de "la" geometría euclidiana.


 

[argentinator]

En cualquier "geometría" que valgan los axiomas hasta ahora estudiados, valen los siguientes Teoremas, ya que éstos se demuestran tan sólo invocando aquéllos...

Teorema. (de las determinaciones del plano)

(a) Dados una recta \( r \) y un punto \( A \) fuera de ella, existe un único plano \( \pi \) que los contiene. Se le dice plano \( Ar \).

(b) Dadas dos rectas distintas \( r_1,r_2 \) con (al menos) un punto en común, existe un único plano \( \pi \) que las contiene.

Demostración de (a)

Demostración de (a): Se usa el Axioma I.2 para poder afirmar que \( r \) tiene al menos dos puntos distintos \( B,C \). Como \( A\not\in r \), resulta que los puntos no están alineados, pues si lo estuvieran, estarían contenidos en una misma recta \( \ell \), pero el Axioma I.3 implicaría que \( \ell=r \), que no contiene a \( A \), contradicción.
Se sigue ahora, por Axioma I.4, que existe un único plano \( \pi \) que contiene los puntos \( A,B,C \).
Finalmente, la recta \( r\subset \pi \), por el Axioma I.5.

[cerrar]

Detalles técnicos de la prueba de (a)

Puig Adam no menciona el uso de los Axiomas I.2 y I.3 en esta prueba, y cabría entonces preguntarse si realmente hacen falta.

En realidad lo que usamos es que en \( r \) hay al menos dos puntos distintos, para obtener una cierta terna de puntos con la cual trabajar.
Usamos el Axioma I.3 para mostrar que los puntos \( A,B,C \) no están alineados.

Si estuviesen alineados querría decir que hay una recta \( \ell \) tal que \( A,B,C\in \ell \), luego podríamos decir, por Axioma I.2, que existe un plano \( \tau \) que contiene \( \ell \), y así contiene a los 3 puntos \( A,B,C \), Finalmente \( r\subset \tau \), por Axioma I.5. Pero esto no "determinaría" el plano, o sea, no se puede concluir que "hay un único plano que contiene \( A,B,C \)".

Así que parece que el Axioma I.3 hace falta en esta prueba.

Si \( r \) tiene al menos dos puntos, entonces toda ella está contenida en el plano \( \pi \).
¿Podría pasar que \( r \) tenga sólo un punto o ninguno?

¿Qué pasa si \( r \) tiene un solo punto?
Obviamente no se cumple el Axioma I.2 en este caso,
Un ejemplo de esto lo dimos con las superficies esféricas, en las que \( S_0=\ell_{0,0} \) era un "plano" al mismo tiempo que una "recta" de un solo punto.

El único punto de \( r \), llamémoslo \( P \), junto con el punto \( A \), ¿alcanzan para determinar un plano?
No hay modo de obtener un tercer punto en forma unívoca, salvo que el espacio mismo tenga sólo 3 puntos.
Así que se necesita que en \( r \) haya al menos dos puntos distintos.

El caso de una recta vacía \( r \) lo dejamos como reflexión para el lector interesado.

[cerrar]

Demostración de (b)

Demostración de (b): Que las rectas se cortan quiere decir que su intersección, como conjuntos, es no vacía. Sea \( P\in r_1\cap r_2 \).

Invocamos el Axioma I.2 para poder decir que cada recta tiene al menos dos puntos distintos.
Por hipótesis, \( r_1,r_2 \) son distintas. Así que alguna de ellas tiene un punto que no está en la otra. S.p.d.g. digamos \( A\in r_1 \) es un tal punto.
En particular \( A\neq P \).
Sea \( B\in r_2,  \), un punto diferente de \( P \).

Los puntos \( A,B,P \) están no alineados.
Si lo estuvieran, el Axioma I.3 viene a decirnos que obligatoriamente vale \( r_1=\overline{AP}=\overline{BP}=r_2 \), contra lo supuesto.

Luego, por Axioma I.4, existe un único plano \( \pi \) que contiene a los puntos \( A,B,P \).
Finalmente, el Axioma I.5 implica que \( r_1\cup r_2\subset \pi \).

¿Puede haber otro plano que contenga ambas rectas?
Obviamente no, porque tal plano debe contener a los puntos \( A,B,P \), quienes determinan por sí solos al plano \( \pi \).

[cerrar]

Miniobservaciones:

• Si dos rectas distintas \( \ell_1,\ell_2 \) se intersectan (\( \ell_1\cap \ell_2\neq\emptyset  \)),
  entonces la intersección tiene un y sólo un punto.
  
  En efecto, si hubiese dos puntos distintos \( A,B \), en la intersección, entonces ambas rectas serían iguales entre sí, porque coincidirían con la recta \( \overline{AB} \).
  
  
• Si un plano \( \pi \) tiene intersección con una recta \( \ell \) que no está completamente contenida en él (\( \ell\not\subset \pi,\pi\cap \ell\neq\emptyset  \)),
  entonces la intersección tiene un y sólo un punto.
  
  En efecto, si en la intersección hubiera al menos dos puntos distintos \( A,B \),
  tendríamos por Axioma I.3 que \( \ell=\overline{AB} \), y luego, por Axioma I.5 finalmente valdría \( \ell=\overline{AB}\subset \pi \), contra lo supuesto.
  

Más terminología

Hay mucha terminología que viene de décadas o siglos atrás, y que conviene mantenerla "a raya", entendiendo lo que quieren decir con "exactitud" usando el lenguaje de la teoría de conjuntos.

Puig Adam menciona estas frases típicas en los textos de geometría:

Determinar la recta \( AB \) = Trazar la recta \( AB \) = Unir \( A \) con \( B \) = Proyectar \( B \) desde \( A \)


Determinar el plano \( Ar \) = Trazar el plano \( Ar \) = Unir el punto \( A \) con la recta \( r \) = Proyectar \( A \) desde \( r \) (ó \( r \) desde \( A \))

Dos rectas, o una recta y un plano, con un solo punto en común \( P \), se dice que se cortan en el punto \( P \), o que son secantes en \( P \), o que se intersectan en \( P \).
Al susodicho punto \( P \) también se lo llama pie o traza de una recta sobre la otra, o sobre el plano,




Es agotador todo este tema de la terminología.
No sé si lo voy a seguir repitiendo palabra por palabra como está en Puig Adam.
Tengo el temor de pasar por algo alguno de los usos más comunes, o que el mismo Puig Adam use después.

En lo que a mí respecta, siempre intento evitar todo ese vocabulario, y permanecer ajustado a un mínimo de términos básicos y comprensibles, lo más cercano a la teoría de conjuntos como sea posible.
Esto hace las cosas más fáciles de traducir hacia y desde el lenguaje formal.
Y si además buscamos un equilibrio con la terminología geométrica, también será fácil traducir hacia y desde la intuición gráfica y los dibujos.

[cerrar]

Definición: Dos rectas que están (incluidas en) un mismo plano \( \pi \) se llaman coplanarias.

Teorema (de rectas no coplanarias). Existen dos rectas que no son coplanarias.

Demostración

Demostración. Sean \( \alpha  \) un plano y \( a \) una recta (incluida) en \( \alpha  \).
Por Axioma I.2, existe un punto \( A\in\alpha  \) que no pertenece a \( a \).
También, existe un punto \( B \) en el espacio que no pertenece a \( \alpha  \).
Las rectas \( a,AB \) no pueden estar en un mismo plano porque la  parte (b) del Teorema de las determinaciones del plano nos indica que el único plano que contiene tanto a \( a \) como a \( A \) es \( \alpha  \), el cual no contiene al punto \( B \), y así no puede contener la recta completa \( \overline{AB} \).

[cerrar]

Al finalizar esta sección Puig Adam comenta la generalización de los Axiomas hasta aquí desarrollados a dimensiones mayores que 3.
Obtiene cosas extrañas, como la existencia de pares de planos que se intersectan en un solo punto.
Esta "existencia" no me convence, porque al añadir más axiomas, lo que los axiomas previos han permitido probar, seguirá siendo cierto.
O sea que en \( \mathbb R^4 \) tendría que haber un par de planos con esa propiedad... lo cual no es cierto... mmmm ... Hay algo que no estoy entendiendo 

También da unos ejercicios de conteo de rectas y vértices, que no voy a reproducir aquí.

[argentinator]

Relaciones de orden.

En esta parte Puig Adam se vuelve demasiado intuitivo, y se pierde precisión en un tema realmente importante, que es el de ordenación de puntos en las rectas.
Este tema no es menor, porque está directamente relacionado con las propiedades analíticas de sistema \( \mathbb R \) de los números reales.
A su vez, es a partir de \( \mathbb R \) que se obtienen los modelos estándar de la geometría euclidiana, tomando por ejemplo el espacio vectorial \( \mathbb R^3 \).

Por eso voy a ser más preciso que Puig Adam, a fin de eliminar brumas de entrada.


Los símbolos \( <,\leq,> ,\geq \), se leen menor que, menor o igual que, mayor que, mayor o igual que, respectivamente, pero sin embargo no debemos tomar su significado literalmente hasta tanto no hayamos definido matemáticamente las propiedades que ellos representan.


Definición: Sea \( X \) un conjunto no vacío. Una relación \( \leq \) en \( X \) es un orden en \( X \), si cumple los siguientes requisitos, para puntos cualesquiera \( A,B,C\in X \):

• Ley Reflexiva: \( A\leq A \).
  
• Ley Antisimétrica: \( A\leq B,\B\leq A\Longrightarrow{A=B} \).
  
• Ley Transitiva:  \( A\leq B,B\leq C\Longrightarrow{A\leq C} \).
  

Definición: Sea \( X \) un conjunto no vacío. Una relación \( < \) en \( X \) es un orden estricto en \( X \), si cumple los siguientes requisitos, para puntos cualesquiera \( A,B,C\in X \):

• Ley Irreflexiva: \( A\not <A \).
  
• Ley Antisimétrica (estricta): No puede ocurrir al mismo tiempo que \( A< B,\B<A \).
  
• Ley Transitiva:  \( A<B,B<C\Longrightarrow{A< C} \).
  

Lema. En un conjunto \( X \) con un orden \( \leq \) se puede obtener un orden estricto \( < \) si se define la relación \( < \) mediante:

* \( A<B \) si y sólo si (\( A\leq B \) y \( A\neq B \)).

Lema. En un conjunto \( X \) con un orden estricto \( < \) se puede obtener un orden \( \leq \) si se define la relación \( \leq \) mediante:

* \( A\leq B \) si y sólo si (\( A< B \) ó \( A=B \)).

La demostración de estos lemas es sencilla pero rutinaria, y la dejamos al lector interesado.

Automáticamente, dado un orden \( \leq \) se pueden definir las relaciones \( \geq,>  \) de la siguiente manera: \( a\geq b \) si y sólo si \( b\leq a \), y \( a> b \) si y sólo si \( b<a \).

Se puede demostrar fácilmente que \( \geq \) es un orden con idénticas propiedades que \( \leq \), y que \( >  \) es un orden estricto con idénticas propiedades que \( < \).

Además, Todo subconjunto de un conjunto ordenado, sigue siendo un conjunto ordenado con la relación \( \leq \) restringida.


Debido a la dualidad entre orden y orden estricto, podemos trabajar con ejemplos de uno u otro sin temor a que nos esté faltando considerar algo.
Veamos una lista de ejemplos:

• Ejemplo 1. \( D \) el conjunto de palabras de un diccionario, y \( < \) el orden lexicográfico.
  
  
• Ejemplo 2. \( X=\mathbb N \) el conjunto de números naturales y \( < \) el orden definido por \( m<n \) si y sólo si existe solución \( x\in\mathbb N \) a la ecuación \( m+x=m \).
  
  
• Ejemplo 3. \( X=\mathbb N \) el conjunto de números naturales y \( \prec \) el orden definido por \( m\prec n \) si y sólo si existe solución \( x\in\mathbb N \) a la ecuación \( m\cdot x=n \). (O sea, \( m \) es divisor de \( n \)).
  
  
• Ejemplo 4. \( X \) el conjunto \( \mathcal P(E) \) de las partes (o subconjuntos) de un conjunto dado \( E \), y \( \subseteq \) el orden definido por \( A\subseteq B \) si y sólo si (\( \forall x: x\in A\Longrightarrow{x\in B} \)).
  
  
• Ejemplo 5. \( X=\mathbb Z \) el conjunto de números enteros con el orden estricto \( < \) definido por \( a<b \) si y sólo si \( b-a\in\mathbb N \) (vendría a ser, que \( b-a \) es un número positivo, pero estamos tratando de evitar cierta circularidad en las definiciones...).
  
• Ejemplo 6. \( X=\mathbb Q \) el conjunto de números racionales con el orden estricto \( < \) definido por \( x<y \) si y sólo si existe \( n\in\mathbb N \) tal que \( xn,yn\in\mathbb Z \) y \( xn<yn \) en \( \mathbb Z \).
  
  (Hay muchas maneras de definir el orden en \( \mathbb Q \). Elegí esta forma que es algo improvisada, para hacer el tema más interesante. Se observa que, en realidad, siempre habrá un número natural \( n \) tal que \( xn,yn \), se vuelven números enteros. Basta comparar estos números para saber cuál es el "menor").
  
  
• Ejemplo 7. \( \mathcal S \) el conjunto de sucesiones de los dígitos \( 0,1,...,9 \) con el orden estricto \( \prec \) definido por \( \{a_n\}_{n=1}^\infty\prec  \{b_n\}_{n=1}^\infty \) si y sólo si existe \( n\in\mathbb N \) tal que \( a_1=b_1,\cdots,a_n=b_n \), y \( a_{n+1}<b_{n+1} \).
  
  
• Ejemplo 8. El subconjunto \( \tilde{\mathcal S} \) del ejemplo anterior, en el que se han quitado aquellas sucesiones que a partir de un índice \(  n \) en adelante son todos \( 9 \)'s, con la misma relación de orden \( \prec \) allí definida.
  
  
• Ejemplo 9. El conjunto \( R=\mathbb Z\times\tilde{\mathcal S} \), donde \( \mathbb Z \) es el conjunto de números enteros e \( \tilde {\mathcal S} \) es el conjunto de sucesiones de dígitos del Ejemplo 8, con el orden \( \sqsubseteq \) definido por \( (m,\sigma)\sqsubseteq (n,\tau) \) si y sólo si \(  m<n \) ó [\( m=n \) y (\( m=n\geq 0, \sigma\preceq\tau \)  ó \( m=n<0,\tau\preceq \sigma \))][/b].
  
  (Aquí \( \preceq \) es el orden en \( \tilde {\mathcal S} \) inducido por el orden estricto \( \prec \) que teníamos definido en \( \tilde {\mathcal S} \)).
  
  Se observa que el orden \( \sqsubseteq \) es "casi lexicográfico", salvo por el hecho de que se invierte el sentido de ordenación de las sucesiones de dígitos cuando el signo de la componente entera es negativa... mmmm
  
  
• Ejemplo 10. El conjunto \( X=\mathbb R \) de números reales \( x \), representados mediante un par \( (n,\sigma)\in\mathbb Z\times Y \), como en el Ejemplo 9, con el orden \( \leq  \) que coincide con el \( \sqsubseteq \) definido allí.
  
  
• Ejemplo 11. El conjunto \( X=\mathbb R^2 \) con el orden lexicográfico \( \preceq \), dado por: \( (a,b)\preceq (a',b') \) si y sólo si \( a=a' \) ó \( a<a',b\leq b' \).
  
  

Los ejemplos anteriores están elegidos a propósito por varias razones. Por ejemplo, para ilustrar que no todos los órdenes son "lineales", en el sentido intuitivo de poder poner todos los elementos "a lo largo de una línea recta imaginaria".

Esta y otras propiedades pueden formalizarse, y al hacerlo aclararemos muchas sutilezas.




Definición: Supongamos que \( X \) es un conjunto no vacío y que \( \leq \) es un orden en \( X \). Denotemos con \( < \) al orden estricto inducido por \( \leq \).

• Un elemento \( a\in X \) es mínimo de un subconjunto no vacío \( A\subset X \) si \( a\in A \) y además \( \forall x\in A:a\leq x \).
  
• Un elemento \( a\in X \) es máximo de un subconjunto no vacío \( A\subset X \) si \( a\in A \) y además \( \forall x\in A:x\leq a \).
  
• Un elemento \( a\in X \) es cota inferior de un subconjunto no vacío \( A\subset X \) si  \( \forall x\in A:a\leq x \).
  
• Un elemento \( a\in X \) es cota superior de un subconjunto no vacío \( A\subset X \) si  \( \forall x\in A:x\leq a \).
  
• Un elemento \( a\in X \) es ínfimo de un subconjunto no vacío \( A\subset X \) si \( a \) es cota inferior de \( A \), y además \( a \) es elemento máximo del conjunto \( B \) de todas las cotas inferiores de \( A \).
  
• Un elemento \( a\in X \) es supremo de un subconjunto no vacío \( A\subset X \) si \( a \) es cota  superior de \( A \), y además \( a \) es elemento mínimo del conjunto \( C \) de todas las cotas superiores de \( A \).
  
• Un elemento \( a\in X \) es minimal de un subconjunto no vacío \( A\subset X \) si \( a\in A \) y además no existe \( x\in A \) tal que \( x<a \).
  
• Un elemento \( a\in X \) es maxmal de un subconjunto no vacío \( A\subset X \) si \( a\in A \) y además no existe \( x\in A \) tal que \( a<x \).
  
• Un par de elementos \( a,b\in X \) son un salto en \( X \) si \( a<b \) y además no existe \( x\in X \) tal que \( a<x<b \).
  

Se dice que \( \leq \) satisface:

• La ley de Tricotomía (o que es Lineal, o que es Total): si para cualesquiera \( a,b\in X \) siempre vale que: o bien \( a=b \), o bien \( a< b \), o bien \( b< a \).
  
• La ley de Densidad (o que es Denso): si para cualesquiera \( a,b\in X \), con \( a<b \), siempre existe \( c\in X \) tal que \( a<c<b \).
  
• La ley de Buena Ordenación (o que esun Buen Orden): si para cualquier subconjunto no vacío \( A\subset  X \) siempre existe un elemento mínimo \( a\in A \).
  
• La propiedad de (existencia del) supremo: si para cualquier subconjunto no vacío \( A\subset  X \) siempre existe un supremo \( a\in X \) de \( A \).
  
• Es un continuo lineal): si \( \leq \) es un orden total, denso, y cumple la propiedad del supremos.
  

A continuación listamos estas propiedades formando una tabla que indica cuáles de los Ejemplos las cumplen y cuáles no.

Tipo de Orden	Se cumple	No se cumple
Lineal	\( D,\mathbb N(<),\mathbb Z,\mathbb Q,\mathcal S,\tilde{\mathcal S},R,\mathbb R,\mathbb R^2 \)	\( \mathbb N(\prec),\mathcal P(E) \)
Denso	\( D_{Borges},\mathbb Q,\tilde{\mathcal S},R,\mathbb R,\mathbb R^2 \)	\( D_{RAE},\mathbb N(<),\mathbb N(\prec),\mathbb Z,\mathbb S \)
Bien Ordenado	\( D,\mathbb N(<) \)	\( \mathbb N(\prec),\mathcal P(E),\mathbb Z,\mathbb Q,\mathcal S,\tilde{\mathcal S},R,\mathbb R,\mathbb R^2 \)
Existencia del Supremo	\( D,\mathcal N(<),\mathcal Z,\mathcal S,\tilde{\mathcal S},R,\mathcal R,\mathcal R^2 \)	\( \mathbb N(<),\mathcal P(E),\mathbb Q \)
Continuo Lineal	\( \tilde{\mathcal S},R,\mathbb R,\mathbb R^2 \)	\( D,\mathbb N(<),\mathbb N(\prec),\mathcal P(E),\mathbb Z,\mathbb Q,\mathcal S \)

Un orden se dice parcial si no es total, o sea, si existe algún par de elementos \( x,y \) en el conjunto que no son comparables: ni \( x=y \), ni \( x<y \) ni \( y<x \).


Después de este estudio sobre las relaciones de orden, vamos a poder expresar con claridad qué propiedades de orden se satisfacen en la geometría euclidiana.

Si bien Puig Adam posterga la propiedad del supremo hasta el capítulo de axiomas de continuidad o analíticos, tengamos en cuenta que es una de las propiedades que se le exigirán al orden de una línea recta.

[argentinator]

Terminología asociada a las relaciones de orden

Se trata de la terminología que aparece en Puig Adam, que algunas veces tendremos que usar, mal que me pese. Además, algunos términos son de uso común en toda la matemática.

Se trata de las palabras estar entre, primero, último, consecutivos, precede, sigue.

Estos términos se pueden dar formalmente para una relación de orden cualquiera \( \leq \) en un conjunto \( X \). Como sus significados son bastante obvios, las definiciones las ponemos en spoiler.

Terminología de conjuntos ordenados

Sea \( X \) un conjunto no vacío que tiene una relación de orden \( \leq \).
Tengamos en cuenta también el orden estricto \( < \) inducido por \( \leq \).

• Dados \( a,b,c\in X \), se dice que \( c \) está entre \( a \) y \( b \) si \( a<c<b \) o bien si \( b<c<a \).
  
• Se dice que \( x \) es el primer elemento de un subconjunto \( Y\subset X \) si \( x \) es un mínimo de \( Y \). (Se puede decir "el" mínimo, porque es único en caso de existir).
  
• Se dice que \( x \) es el último elemento de un subconjunto \( Y\subset X \) si \( x \) es un máximo de \( Y \).
  
• Se dice que \( x \) precede a \( y \) si \( x<y \).
  
• Se dice que \( x \) sigue a \( y \) si \( x> y \).
  
• Se dice que \( x,y \) son consecutivos si \( x<y \) y si \( x,y \) forman un salto, o sea, si no existe \( c \) entre \( x \) é \( y \).
  

Puig Adam usa la palabra abierto para hablar de un conjunto que no tiene primero ni último elemento, incluso sabiendo que esa palabra es problemática en relación a otros conceptos matemáticos.

Me parece más sabio no usar directamente esa palabra.
Además hay terminología moderna bastante buena y precisa para significar lo mismo: no acotado.

• Decimos que un subconjunto no vacío \( Y\subset X \) es acotado superiormente (o por derecha) si tiene una cota superior, o sea, si hay algún \( b\in X \) tal que \( \forall y\in Y:y\leq b \).
  
• Decimos que un subconjunto no vacío \( Y\subset X \) es acotado inferiormente (o por izquierda) si tiene una cota inferior, o sea, si hay algún \( a\in X \) tal que \( \forall y\in Y:a\leq y \).
  
• Decimos que un subconjunto no vacío \( Y\subset X \) es acotado si es acotada superior e inferiormente.
  

Ahora, al decir que un conjunto es no acotado quiere decir que es no acotado por derecha, o por izquierda, o por ambos lados.

Si quisiéramos hablar de conjuntos que no tienen ni primer ni último elemento, tendríamos que inventarnos un término adecuado, o bien simplemente decir esto último (no hay primer ni último elemento), o incluso usar la frase no acotado, aclarando que le estamos dando un sentido diferente a la mera negación de "ser acotado".

[cerrar]

Axioma II.1. Toda recta \( r \) tiene un orden lineal, denso, sin primer ni último elemento.

Detalles técnicos

Recordemos que "lineal" quería decir: vale la ley de tricotomía,
o sea que el orden "no es parcial", o de otro modo: todo par de puntos son comparables,
y "denso" significa: "entre dos puntos siempre hay otro intermedio".

Este Axioma encierra algunas dificultades teóricas, que se irán subsanando a medida que se dé el resto de la teoría.
Mas, uno puede percatarse de que, aún teniendo ya una familia de rectas con un orden dado, uno bien podría hallar multitud de nuevas relaciones de orden distintas para el mismo "conjunto" \( r \), y que aún satisfaga las condiciones requeridas en el axioma, de linealidad, densidad y no acotación.
Sin ir más lejos, si \( \preceq \) es un orden en \( r \), el orden opuesto inducido, \( \succeq \) también lo es, y cumple el Axioma II.1 si \( \preceq \) lo hacía.

Así que, el axioma no sólo debe decir "existe un orden que tal y tal..." sino que además, para cada recta \( r \) se ha "elegido" uno solo de los muchos órdenes posibles que cumplen "tal y tal...".

[cerrar]

En el spoiler hemos discutido detalles técnicos, y llegamos a la conclusión de que en realidad tenemos que pensar que hemos elegido un y sólo un orden lineal denso no acotado para cada una de las rectas \( r \) de nuestro "sistema geométrico".
Como las diferentes rectas son conjuntos distintos entre sí, naturalmente los órdenes en cada una de ellas son también distintos.
Por eso parece prudente denotar con \( \leq^r \) al orden elegido específicamente para \( r \).

Más adelante veremos que en cierto sentido todos esos órdenes \( \leq ^r \) son "compatibles".




Por ahora nos preocupan otras cosas. Por ejemplo, que a partir de este axioma es posible demostrar ciertos hechos de infinitud de rectas y planos, y entonces no hace falta exigirlo en el Axioma I.2... aunque sí haría falta allí exigir que las rectas sean conjuntos no vacíos.

Así que, suponiendo sólo el Axioma II.1, podemos demostrar los siguientes hechos:

• Dada una recta \( r \), y un punto \( P\in r \), existe algún subconjunto infinito \( E\subset r \) de puntos que son todos menores que \( P \).
  
  
  Demostración

  Si bien la idea de la prueba es simple, la forma técnica es complicada, pues exige una combinación del Axioma de elección junto con el Principio de Definición por Recurrencia en \( \mathbb N \).
  
  La idea sería así: Como \( r \) no tiene primer elemento, "existe" algún \( P_1\in r \) menor que \( P \).
  Del mismo modo, hay un \( P_2\in r \) menor que \( P_1 \), y así sucesivamente. Se genera una sucesión de puntos distintos de \( r \), tales que \( P_{n+1}<P_n \). Aplicando la ley transitiva \( n \) veces se obtiene que \( P_n<P \).
  
  Veamos la demostración formal.
  
  Por Axioma de Elección, existe una función \( c:\mathcal P(\mathbb R)\setminus \{\emptyset \}\to\mathbb R \), tal que para todo subconjunto no vacío \( A\subset \mathbb R \) se tiene \( c(A)\in A \).
  
  O sea, la función \( c \) "elige" un elemento de cada conjunto \( A \).
  
  Sea \( \mathcal Y_1=\{Q\in r:Q<^r P\} \). Por Axioma II.1, \( Y_1\neq\emptyset  \), porque si no \( P \) sería un primer elemento de \( X \).
  
  Supongamos definidos \( Y_1,Y_2,...,Y_n \), y construyamos, en base al Principio de Definición por Recurrencia, el conjunto \( Y_{n+1}=\{Q\in r:Q<^r c(Y_n)\} \), si \( Y_n\neq\emptyset  \), y \( Y_{n+1}=\emptyset  \) en otro caso.
  
  La parte de \( Y_{n+1}=\emptyset  \) es sólo una "prevención", un "tecnicismo", para evitar rodeos de otro tipo. Pero en realidad, ninguno de los conjuntos de la sucesión \( Y_1,Y_2,... \) será vacío.
  
  Se puede en realidad probar por Inducción en \( n\in\mathbb N \), que todos los conjuntos \( Y_1,Y_2,... \) son no vacíos, y que además \( P_1=c(Y_1),P_2=c(Y_2),... \) forman una sucesión de puntos que satisfacen \( P_{n+1}<^r P_n \).
  De nuevo por inducción se puede demostrar que \( P_n<^r P \) para todo \( n \).
  
  Entonces el conjunto \( E=\{P_n:n=1,2,3,...\}  \) es un subconjunto infinito de \( r \) cuyos puntos son todos menores que \( P \).
  Esta sucesión de conjuntos es siempre no
  

  [cerrar]
• Dada una recta \( r \), y un punto \( P\in r \), existe algún subconjunto infinito \( F\subset r \) de puntos que son todos mayores que \( P \).
  
  
  Demostración

  Es análogo al ítem anterior.
  

  [cerrar]
  
  
• Dada una recta \( r \) no vacía, es infinita.
  
  
  Demostración

  Como \( r\neq\emptyset  \) existe \( P\in r \), y por lo tanto se aplica cualquiera de los ítems previos, dando algún subconjunto infinito de puntos incluido en \( r \).
  

  [cerrar]
• Dados dos puntos \( P,Q \) en una recta \( r \), con \( P<^r Q \), hay infinitos puntos distintos entre \( P \) y \( Q \).
  
  
  Demostración

  La idea de la prueba es sencilla.
  Por el Axioma II.1, \( r \) es densa, y así, existe un punto de \( r \) entre \( P \) y \( Q \). "Elegimos" uno de los posibles puntos (si es que hay más de uno), y lo llamamos \( P_1 \). Luego, podemos hallar y elegir otro punto \( P_2\in r \) entre \( P \) y \( P_1 \), y así sucesivamente. Se obtiene una sucesión de puntos \( P_1,P_2,...\in r \) tales que \( P<^r ...<^r P_{n+1}<^r P_n<^r ...<^r P_1<^rQ \).
  
  El conjunto \( \{P_n:n=1,2,3,...\} \) de puntos de \( r \) es infinito, y por transitividad están todos entre \( P \) y \( Q \).
  
  La prueba en estilo "formal" de esto es con la misma técnica explicada en el primer ítem, usando Axioma de Elección, Principio de Definición por Recurrencia de \( \mathbb N \) y Principio de Inducción.
  
  

  [cerrar]
  
  
• Todo subconjunto finito \( F \) no vacío de una recta \( r \) tendrá primer y último elemento, además estará bien ordenado.
  
  
  Demostración

  
  Aquí "finito" quiere decir, "biyectivo con \( \{1,...,n\} \) para algún \( n\in\mathbb N \)".
  Digo, por si alguien opinaba diferente...
  
  El resultado se puede, pues, demostrar por inducción en el cardinal \( n \) de los subconjuntos finitos de \( r \). (Estos procedimientos son conjuntísticamente válidos, porque no estamos haciendo una demostración para todos los conjuntos finitos del "universo de todos los conjuntos").
  
  Así, cuando \( n=1 \) es trivialmente válido.
  Supongamos que es válido para un cardinal \( n \) dado,
  y sea \( F \) un subconjunto de cardinal \( n+1 \) de \( r \).
  Quitemos un punto \( Q \) de \( F \) y formemos el conjunto \( F' \).
  Como \( F' \) tiene ahora cardinal \( n \), sus puntos satisfacen, por hipótesis inductiva, que hay primer y último elemento, y están bien ordenados.
  Más aún, agreguemos al proceso de inducción la afirmación de que \( F' \) puede escribirse como \( F'=\{P_1,...,P_n\} \), donde \( P_i<P_j \) si y sólo si \( i< j \).
  
  Por tricotomía, podemos clasificar los puntos de \( F' \) en dos conjuntos \( M_1,M_2 \), tales que \( x\in M_1 \) si \( x<^r Q \), y \( x\in M_2 \) si \( x> ^r Q \).
  Como \( M_1 \) tiene cardinal menor o igual que \( n \), la hipótesis inductiva nos dice que tiene un último elemento, el cual corresponderá a algún índice \( m\leq n \).
  Así que \( x_1<^r x_2<^r  ...<^r x_m<^r  Q <^r x_{m+1}<^r ... <^r x_n \).
  Como esta ordenación se comporta "del mismo modo" (es isomorfa) que el conjunto \( \{1,2,...,n+1\} \), mediante una apropiada biyección que conserve el orden, se obtiene que \( F \) cumple todas las propiedades del enunciado.
  
  Así se completa la inducción, y el resultado queda probado.
  

  [cerrar]

Más adelante se exigirá al orden \( <^r \) de cada recta \( r \), que satisfaga la propiedad (de existencia) del supremo, lo que convertirá a cada recta en un continuo lineal.
Esta propiedad es importante en geometría, porque si no hay cosas que no pueden asegurarse, como por ejemplo, que toda semirrecta que parte del centro de una circunferencia corta al perímetro de la circunferencia en algún punto de ella.

[argentinator]

A partir del Axioma II.1 ya es posible definir semirrectas y segmentos.

Y en realidad, esto es posible de hacerse en cualquier conjunto linealmente ordenado.
Con un orden parcial es más complicado, pero las reflexiones las dejaremos a cargo del lector.

Definición (de semirrecta). Sea \( r \) una recta dada, y sea \( A \) un punto de \( r \). Asumiendo que se ha elegido un orden \( <^r \) en \( r \) que verifica las premisas del Axioma II.1, vemos que \( r \) puede escribirse como la unión de dos conjuntos \( r',r'' \), dados por \( r'=\{P\in r: P\leq^r A\} \), \( r''=\{P\in r: P\geq^r A\} \). Además, esos dos conjuntos son "casi disjuntos", ya que sólo tienen en común el punto \( P \). Se llama semirrectas de origen \( A \). Se dice de ambas semirrectas que son opuestas entre sí.

Sabemos que existen "muchos" puntos tanto que "preceden" como que "siguen" al punto \( A \), aunque conque haya al menos uno nos alcanza para lo que sigue: Si \( B \) es un punto distinto de \( A \) en la semirrecta \( r' \), entonces \( B \) no está en \( r'' \), y viceversa. O sea que una semirrecta queda claramente determinada por su punto de origen y algún otro punto de ella. En tal caso, decimos que \( r' \) es la semirrecta \( AB \), y se suele denotar así: \( {{}^{{}^{\textsf{\bf |}}}\overrightarrow{AB} \).

Este modo de definir semirrectas muestra claramente que hay dos y sólo dos de ellas en cada recta, cada una tiene infinitos  puntos, y sólo tienen en común el punto de origen.
En una de las semirrectas el punto de origen es primer punto y en la otra es último punto.
Esta propiedad ayuda a identificarnos con la idea intuitiva que tenemos de que ambas semirrectas se "orientan en direcciones opuestas".

Sin embargo, los Axiomas hasta ahora desarrollados no nos permiten ir más allá en nuestra intención de las semirrectas opuestas.
O sea, no nos es posible demostrar que los órdenes de ambas semirrectas son "simétricos", al menos en sentido ordinal.
Esto querría decir que, si tomamos la semirrecta opuesta \( r'' \) y consideramos el orden opuesto \( \geq^r \) sobre \( r'' \), entonces \( (r',\leq^r) \) y \( (r'',\geq^r) \), como sistemas ordenados son isomorfos, es decir, tienen el "mismo tipo de orden".

Más precisamente, esta propiedad exige que exista una biyección \( \phi \) entre ambas semirrectas que conserve el orden entre puntos, o sea, que si \( A\leq^r B \) entonces sus correspondientes imágenes \( \phi(A), \phi(B) \) satisfarían que \( \phi(A)\geq^r \phi(B) \).

Para mostrar un ejemplo donde esa "simetría" no se da en un conjunto ordenado, aún cumpliendo los requisitos del Axioma II.1, mostremos un ejemplo sencillo:

Sea el conjunto \( E=\mathhbb R^-\cup\{0\}\cup\mathbb Q^+ \).
Este subconjunto de los números reales es tal que, al tomar por ejemplo como punto de origen al 0, la semirrecta a izquierda consta de los reales negativos (y el 0), mientras que hacia la derecha tenemos los racionales positivos (y el 0).
Esos dos conjuntos no pueden tener ningún tipo de isomorfismo de órdenes, porque ni siquiera existen biyecciones \( \phi \) entre ambos conjuntos.

Se pueden pensar ejemplos en que ambas mitades inclusive tengan el mismo cardinal, pero que no tengan el mismo tipo de orden, por ejemplo poniendo a "izquierda" los enteros negativos, y a la derecha los racionales positivos.

En cambio, poniendo a izquierda la sucesión \( -2+1/n \), \( n=1,2,3,... \) y a la derecha los números naturales, se obtienen "semirrectas" con tipos de orden equivalentes, aún cuando intuitivamente nos resulte chocante. Lo que "choca" en realidad es el aspecto "aritmético" de los conjuntos elegidos, pero desde el punto de vista de las relaciones de orden, son equivalentes, y no hay nada que objetar.