Hola
Tengo que probar que el conjunto \( A= \{x=(x_n)_n \in l^2 : |x_n | \leq{\displaystyle\frac{1}{n}} \) para todo \( n \in \mathbb{N} \) es compacto en \( l^2 \) y que el conjunto \( B= \{x=(x_n)_n \in l^2 : | |x_n ||_2 \leq 1 \) no es compacto en \( l^2 \) no se muy bien como probarlo se que si es compacto tiene la propiedad que las sucesiones contenidas en un conjunto siempre contienen una subsucesión convergente
Para ver que \( A \) es compacto demuestra que es cerrado y totalmente acotado.
Es cerrado por que cualquier sucesión \( \{(x_n)^k\}\subset A \) convergente en \( l^2 \) \( (\displaystyle\lim_x \to{+}\infty{}(x_n)^k=(y_n)) \) es puntualmente convergente en cada \( n \). Y si \( (x_n)^k\leq \dfrac{1}{n} \) entonces:
\( y_n=\displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{}(x_n)^k\leq \dfrac{1}{n} \)
Es totalmente acotado: dado \( \epsilon>0 \) para \( n\geq n_0 \) se tiene que \( \dfrac{1}{n}<\epsilon. \)
Por otra parte uno puede recubrir el intervalo \( [-1/n_0,1/n_0] \) con un número finito bolas de radio \( \epsilon \), \( B(y_i,\epsilon) \), \( y=1,\ldots,m \).
Comprueba entonces que las bolas de radio \( \epsilon \) y centro sucesiones del tipo:
\( x_1,x_2,\ldots,x_{n_0},0,0,\ldots, \) con \( x_i\in \{y_1,y_2,\ldots,y_m\} \)
recubren \( A \).
Para ver que (b) NO es compacto, considera la sucesión:
\( x^1=1,0,0,0,0,\ldots \)
\( x^2=0,1,0,0,0,\ldots \)
\( x^3=0,0,1,0,0,\ldots \)
\( x^4=0,0,0,1,0,\ldots \)
\( \ldots \)
Está contenida en \( B \) y no tiene una subsucesión convergente.
Saludos.
