[Masacroso]

Hola a todos.

Llevo dos meses intentando resolver una ecuación pero no soy capaz. Usando Wiris me dice que el resultado es 0.11, pero tengo que resolverla analíticamente y no veo forma de hacerlo.

La ecuación le apareció a una amiga que está preparando las oposiciones de Economía y es la siguiente (la pongo también como un archivo adjunto):

Ecuación editada por un moderador
\[ 11859,43 = 1000 \cdot{}\displaystyle\frac{[(1+x)^8-1]} {x}  \]

Si alguien fuera capaz de indicarme los pasos para resolverla le estaría eternamente agradecido.

Un saludo.

Como ya han comentado, tal y como está escrito no tiene sentido que eso aparezca en un examen ya que no tiene solución fácil, sólo aproximaciones por computadora.

[pedroregistro]

Como ya han comentado, tal y como está escrito no tiene sentido que eso aparezca en un examen ya que no tiene solución fácil, sólo aproximaciones por computadora.

Eso mismo le dije yo, y por eso acabé por llegar a la concusión de que lo que les pedían era que llegaran a la ecuación y una vez allí que la sacaran por tanteo. Pero intentaré conseguir el enunciado para ver si está bien y si me lo pasa lo compartiré con todos vosotros.

En cualquier caso, de verdad, muchísimas gracias a todos.

[Abdulai]

...Sí, la ecuación es esa seguro, y la solución del ejercicio es 0,11. Yo le metí la ecuación a Wiris y, en efecto, esa es la solución, pero justo ahora estuve haciendo pruebas y creo que en realidad 0,11 sólo es una aproximación de la solución. Tal vez sólo pretendían que la calcularan por tanteo.

La solución  "exacta" es ésa,  basta reemplazar \( x \) por 0.11  en  \( 1000\dfrac{(1+x)^8-1}{x} \) 

Hasta donde sé, los ejercicio de interés tradicionalmente se resuelven por tanteo y luego método dicotómico hasta una aproximación aceptable.
En este caso, si no supiera la solución arrancaría tanteando con 10% , y como daría llamativamente cerca el siguiente sería 11%  --> Bingo!   pero gracias al profesor que eligió los números 

Salvo contadores dinosaurios esto se hace por software, pero en un examen sigue siendo aceptable.

[ancape]

Buenas noches

Voy a exponer una forma de hallar la solución de la ecuación que propone pedroregistro sin que se utilice más que una sencilla calculadora.

En primer lugar hay que recordar, que como ya dijo Luis, es una ecuación de grado 7 y por tanto, lo mas probable es que las soluciones haya que buscarlas por métodos numéricos en forma aproximada.

La primera pregunta que debemos hacernos es la precisión que se desea obtener. Es claro que hay que obtener dos cifras decimales precisas pues el término 11859,43 así lo sugiere.

La siguiente pregunta es cuántas raíces reales tendremos. Si operamos, obtenemos que las soluciones buscadas son las raíces del polinomio
                                                  \( f(x)=x^7+8x^6+28x^5+56x^4+70x^3+56x^2+28x-3.85943 \)
Si derivamos sucesivamente hasta llegar a una ecuación de segundo grado que sabemos resolver
obtenemos
                                                  \( f^{(5)}(x)=2520x^2+5760x+3360 \)
que no tiene raíces reales y es por tanto de signo constante. En esta caso siempre positivo.

El polinomio\(  f^{(4)}=840x^3+2880x^2+3360x+1344 \) será pues una función estrictamente creciente y tendrá una única raíz real.

Como \( f{(4)} \) tiene una única raíz real, tendremos que \( f{(3)} \) tiene como mucho un punto estacionario, luego tiene como mucho una raíz real, pero como es par, no tiene raíces reales.

Volvemos al caso de \( f{(5)} \), esto es \( f{(2)} \) no tiene más que una raíz real y razonando sucesivamente, \( f=0 \) tiene solución real única.

Para calcular dicha solución basta dar algunos valores.

Evaluando en x=0 es trivial que \( f=-3.85<0 \)
Evaluando en x=1 bastan unas cuantas sumas para obtener \( f=243.14>0 \)
La raíz buscada está en [0,1/2] o [1/2,1]
Ahora sacamos la calculadora pues las cuentas podían hacerse a mano pero es muy aburrido.
f(0.5)=37.39
La raíz está en [0,1/4] o [1/4,1/2]
f(0.25)=7.98
f(0.125)=0.666
f(0.063)=-1.85
f(0.094)=-0.67
f(0.1095) = -0.02
f(0.11725) =0.31
En el intervalo [0.1095,0.11725] hay un cambio de signo y así contiene la raíz real. La longitud de este intervalo es 0.0077 por lo que si tomamos su punto medio x=0.11 obtendremos la solución buscada con al menos 2 cifras decimales exactas.

Puede observarse que he aplicado el método diádico para buscar raíces que es muy antiguo y poco eficiente. Por eso he tenido que hacer 6 evaluaciones. La rapidez mejoraría aplicando otros métodos como Newton-Raphson.

........

La ecuación es una ecuación polinómica de grado siete. No se puede resolver analíticamente de manera explícita sin recurrir a métodos numéricos o aproximaciones.

Saludos.

Una pequeña precisión. Una ecuación de grado 7 puede que no se pueda resolver analíticamente de manera explícita. Tal vez sí.

Saludo

[martiniano]

Hola.

Como \( f{(4)} \) tiene una única raíz real, tendremos que \( f{(3)} \) tiene como mucho un punto estacionario, luego tiene como mucho una raíz real, pero como es par, no tiene raíces reales.

Cuidado. Si una función continua y derivable tiene un sólo punto crítico puede tener hasta dos raíces reales. Por ejemplo \( x^2-1 \)

Un saludo.

[ancape]

Hola.

Como \( f{(4)} \) tiene una única raíz real, tendremos que \( f{(3)} \) tiene como mucho un punto estacionario, luego tiene como mucho una raíz real, pero como es par, no tiene raíces reales.

Cuidado. Si una función continua y derivable tiene un sólo punto crítico puede tener hasta dos raíces reales. Por ejemplo \( x^2-1 \)

Un saludo.

No entiendo a qué te refieres, tal vez te ha liado la notación \( f{(4)} \), \( f{(3)} \). Lo que he afirmado es: 'Como \( f{(4)} \) tiene una única raíz real, tendremos que \( f{(3)} \) tiene como mucho un punto estacionario, luego tiene como mucho una raíz real, pero como es par, no tiene raíces reales.' observa el cambio \( f{(4)} \),\( f{(3)} \).

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

No entiendo a qué te refieres, tal vez te ha liado la notación \( f{(4)} \), \( f{(3)} \). Lo que he afirmado es: 'Como \( f{(4)} \) tiene una única raíz real, tendremos que \( f{(3)} \) tiene como mucho un punto estacionario, luego tiene como mucho una raíz real, pero como es par, no tiene raíces reales.' observa el cambio \( f{(4)} \),\( f{(3)} \).

 martiniano sólo ha citado lo que tu has escrito. Supongo que querías poner:

 'Como \( f^{(4)} \) tiene una única raíz real, tendremos que \( f^{(3)} \) tiene como mucho un punto estacionario, luego tiene como mucho una raíz real, pero como es par, no tiene raíces reales.'

 Es decir te has comido el simbolito para que ese (3) y (4) fuesen como superíndice.

 Lo que te dice martiniano es que del hecho de que \( f^{(4)} \) tenga una única raíz real no se deduce que \( f^{(3)} \)  tenga como mucho una raíz real; podría tener dos.

Saludos.

[ancape]

Hola

No entiendo a qué te refieres, tal vez te ha liado la notación \( f{(4)} \), \( f{(3)} \). Lo que he afirmado es: 'Como \( f{(4)} \) tiene una única raíz real, tendremos que \( f{(3)} \) tiene como mucho un punto estacionario, luego tiene como mucho una raíz real, pero como es par, no tiene raíces reales.' observa el cambio \( f{(4)} \),\( f{(3)} \).

 martiniano sólo ha citado lo que tu has escrito. Supongo que querías poner:

 'Como \( f^{(4)} \) tiene una única raíz real, tendremos que \( f^{(3)} \) tiene como mucho un punto estacionario, luego tiene como mucho una raíz real, pero como es par, no tiene raíces reales.'

 Es decir te has comido el simbolito para que ese (3) y (4) fuesen como superíndice.

 Lo que te dice martiniano es que del hecho de que \( f^{(4)} \) tenga una única raíz real no se deduce que \( f^{(3)} \)  tenga como mucho una raíz real; podría tener dos.

Saludos.

Posiblemente, intencionadamente o no, se haya modificado la frase
 'Como \( f^{(4)} \) tiene una única raíz real, tendremos que \( f^{(3)} \) tiene como mucho un punto estacionario, luego tiene como mucho una raíz real, pero como es par, no tiene raíces reales.' que evidentemente es falsa y no escribiría ni un niño de primaria.
Vuelvo a poner mi razonamiento, incluso ilustrado con una figura, para probar que \( f^{(3)} \) no tiene (en este caso) raíces reales.

Como puede verse en la figura que acompaño, el aspecto formal de la función f'''' es el que dibujo en verde pues es una función estrictamente creciente. En ese caso f''' tiene el aspecto que se indica en una de las curvas Cyan, Azul, Rojo, es decir, tiene una única raíz real (en cuyo caso es la misma que la de f'''') ninguna o dos. Esto nos dice que f''' no tiene raíces reales.

Espero que sirva esta explicación y no se alteren más mis mensajes para que digan lo que no quiero decir.

[Luis Fuentes]

Hola

Posiblemente, intencionadamente o no, se haya modificado la frase

Espero que sirva esta explicación y no se alteren más mis mensajes para que digan lo que no quiero decir.

Por el respeto que yo si tengo, pero tu demuestras no tener, a la persona que tiene dudas matemáticas y se acerca al foro para buscar ayuda te respondo a esto aquí:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=115428.msg462695#msg462695

Saludos.

[robinlambada]

Hola.
Una idea, si suponemos que la solución es cercana a x=0 y desarrollamos el binomio de Newton \( (1+x)^8 \) aproximándolo a un polinomio de tercer grado, con ello al final nos queda una ecuación de segundo grado fácil de resolver.

si \( |x|<<1 \)
\( (1+x)^8\approx{1+8x +28x^2+56x^3} \) , entroduciéndolo en la ecuación y simplificando:

\( 11859,43=1000(8+28x+56x^2) \)  operando llegamos a: \( 56000x^2+28000x -3859,43=0 \)

cuya solución positiva es \( x=0,1125 \)

Si la introduces en \( x=\displaystyle\frac{1000[(1+0,1125)^8-1]}{11859,43} \) obtienes \( x=0'1135 \)

Con lo que compruebas que la aproximación tiene dos cifras significativas.

Una cota del error cometido lo puedes tener calculando el resto del polinomio de Taylor de orden 3.

Saludos.