Hola
¿Qué has intentado? ¿qué dudas concretas tienes?.
Algunas indicaciones:
Sean \( B_{a}(0) \) = \( \left\{{x \in{\mathbb{R}^n : \left \| x \right \|_2 < a }}\right\} \) una bola abierta en \( \mathbb{R}^n \) y la función
\( f(x)= \displaystyle\frac{ax}{\sqrt[]{a^2 - \left \| x \right \|_2^2}} \)
1. Encuentre el dominio e imagen de f.
Para que la función esté definida, lo que está dentro de la raíz ha de ser positivo. Por tanto el domino es justo la bola \( B_a(0). \)
Comprueba que la imagen es todo \( \Bbb R^n \). Para ello analiza la función sobre los segmentos \( [-a,a]\cdot v \) para cualquier \( v\in \Bbb R^n \) unitario. En ellos la función toma los valores:
\( \dfrac{tv}{\sqrt{1-t^2}} \)
con \( t\in [-1,1] \).
2. Encuentre y demuestre donde es continua la función.
La función es en su dominio cociente, producto, suma, composición de funciones continuas y diferenciables.
3. Encuentre y demuestre el valor de \( \lim_{x \to{a}}{f(x)} \)
Eso no tiene sentido; \( x \) es un elemento de \( \Bbb R^n \) y a es un número.
4. Encuentre y demuestre en donde la función f es diferenciable.
Misma idea que en 2.
5. Demuestre que la función tiene inversa y ella es continua.
Si llamas:
\( y= \displaystyle\frac{ax}{\sqrt[]{a^2 - \left \| x \right \|_2^2}} \) (*)
tomas normas y despejas, obtienes que:
\( \|x\|=\dfrac{a\|y\|}{\sqrt{a^2+\|y\|^2}} \)
De ahí, despejando en (*) y sustituyendo \( \|x\| \):
\( x=\dfrac{y\sqrt{y^2-\|x\|^2}}{a}=\ldots=\dfrac{ay}{\sqrt{a^2+\|y\|^2}} \)
6. Demuestre que \( B_{a}(0) \) es difeomorfa a \( \mathbb{R}^n \)
Es consecuencia de todo lo anterior.
Saludos.
