Hola no se como hacer esta demostración tengo dudaa en como demostralo

Demuestre que si \( a,b,c \) son contructibles entonces las raices del polinomio cuafratico \( ax^2+bx+c \) son contructibles.

He pensado que las raices son contructible pues tienen la formula de \( -b \pm{} \sqrt[ ]{}... \)
y como es cwrrado es cobteuctible


Saludos

Hola tengo dificultades con este ejercicio

Sea $$X$$ un conjunto no vacio y suponga $${{\mu}_k}^{*}:  \mathcal{P}(X)\longrightarrow{} [0,\infty]$$ son medidas exteriores para cada $$k  \in \mathbb{N}$$.

Para cada $$A\subseteq{X}$$ defina $$\mu^{*}(A) = sup_{k \in \mathbb{N}}{{\mu}_k}^{*}(A)$$
Pruebe que $$\mu^{*}$$ es una medida exterior

Lo he intentado pero no me resulta.

Saludos

Hola necesito ayuda con este ejercicio sobretodo la parte a:

Sea $$\mathcal{B}_\mathbb{R}$$ el $$\sigma-algebra$$ Bolereiana en $$\mathbb{R}$$ y sea  $$\mu :  \mathcal{B}_\mathbb{R} \rightarrow{} \mathbb{R}_{+}$$  una medida finita . Para cada $$x \in \mathbb{R}$$ defina

                                   $$f_{\mu} := \mu((- \infty,x]) $$

Pruebe que:

a) $$f_{\mu}$$ es una función monotona no-drececiente

b) $$\mu((a,b]) = f_{\mu}(b)-  f_{\mu}(a)$$ Para cada $$a,b \in \mathbb{R}$$

Saludos

Hola tengo dificultades con esta demostración

Considere \( (\mathbb{R}, \mathcal{B}_L,\ell)  \) el espacio de medida de Lebesgue, y suponga que \( A \in \mathcal{B}_L \) es tal que \( \ell(Z)= 0 \).
Muestre que \( \ell(Z^2)= 0 \), donde

                                                                     $$Z^2= \{x^2 : x \in Z \}$$

No se me ocurre como demostralo.


Saludos

Hola tengo dudas con este ejercicio

Sea \( X \) un conjunto no numerable, y sea \( \sum_{}^{} \subseteq{}\mathcal{P} (X)  \) la \( \sigma-álgebra \)

                   $$\boldsymbol{\beta}= \{A \subseteq{X} : A$$ es numerable ó \( A^c \) es numerable \( \} \)


Defina \( \mu: \boldsymbol{\beta} \rightarrow{} \overline{\mathbb{R}_{+}}  \) (\( \mathbb{R}_{+} = [0, + \infty] \) ) como

\( \mu (A) = \left \{ \begin{matrix} 0 & \mbox{si }A\mbox{ es numerable} \\ 1 & \mbox{si }A^c\mbox{ es numerable}\end{matrix}\right.  \)

y muestre que \( \mu \) es una medida.

La definición de medida que me han dado es que:

\( \mu : C \rightarrow{\overline{\mathbb{R}}} \) es una medida si:

i) \( \mu( \emptyset ) =0 \)
ii) Si \( {A_n}_{n \in \mathbb{N}} \subseteq{C} \) son tales que \(  \displaystyle\bigcup_{n \in \mathbb{N}}^{}{A_n } \in C \) y los \( A_n \)s son disjuntos entre si

                           \( \mu(\displaystyle\bigcup_{n \in \mathbb{N}}^{}{A_n }) = \displaystyle\sum_{n \in \mathbb{N}}^{}\mu(A_n) \)

Lo que he intentado:

i) \( \mu( \emptyset ) =0 \) pues cardinalidad de \( \emptyset = 0 \)

ii) Sea  \( {A_n}_{n \in \mathbb{N}} \subseteq{\boldsymbol{\beta}} \) disjuntos. Si \( \mu (\displaystyle \dot{\bigcup}_{ n \in \mathbb{N}}^{} A_n) \) es \( 0 \) si \( A \) es numerable.


Pero no se como continuar.


Saludos

Hola tengo problemas en mostrar que la serie \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{ln(1+nx)}{nx^n}} \) converge uniformemente en el conjunto \( S=[2, \infty) \).

Intente usar la prueba  de Weirstrass pero no me resulta.


Saludos

Hola tengo dudas con este ejercicio

Sea \( U \) un abierto de \( {\mathbb{R}}^n, n\geq{2} \). Pruebe que \( U \) es conexo si y solo si \( U \) es conexo por caminos.

Lo que he hecho:

Sea \( f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R^n} \) una fucion en linea recta que une \( x,y \in U \). Si \( f[a,b]\subset U \) quedo probado si no consideremos \( x_1,x_2,\dots,x_n\in U \) tal que \( x_i,x_{i+1} \) estará dentro de \( U \)

De antemano gracias

Hola tengo problemas con este ejercicio

Consideremos el grupo de matrices  \( G= \left\{ \begin{pmatrix}{1}&{0}\\{x}&{a}\end{pmatrix} : x \in \mathbb{Z} /7 \mathbb{Z}, a \in (\mathbb{Z} /7 \mathbb{Z})^\times{}\right \}   \)

a) Encuentre \( n_7(G) \) y un 7-subgrupo de \( Sylow \) de  \( G \)
b) Encuentre \( n_3(G) \) y un 3-subgrupo de \( Sylow  \) de  \( G \)

Basicamente no se como encontrarlo pero se me ocurre que primero deo encontrar un 3-subgrupo y luego conjugar.


Saludos

Hola tengo dudas con este ejercicio:

Consideremos el espacio métrico \( \mathbb{Q} \) de números racionales con la distancia Euclidiana. Pruebe que

$$K= \{ x\in \mathbb{Q} |  0 \leq{x} \leq{\sqrt[ ]{2}} \}$$

Es cerrado acotado pero no compacto.

Según lo que veo que es cerrado y acotado e scasi inmediato pero no logro demostrar que sea compacto. Tengo entendido que es compacto si todo recubrimiento admite un recubrimiento finito

Saludos

Hola estoy estudiando convergencia puntual y uniforme y he quedado atascado con este ejercicio.

Me pide determinar donde la serie de funciones \(  \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \displaystyle\frac{t^n}{1+t^n} \)  converge puntualmente.

Saludos