[pimpim]

Hola a todos,
Estoy atascada con el siguiente problema, por lo que os estaría muy agradecida si me ayudarais a resolverlo:

Consideramos un lenguaje formal cuyo alfabeto es el conjunto de \( n \) símbolos:
\( \Omega=\{a_1, a_2, a_3,...,a_n\} \)

¿Cuántas palabras distintas de longitud r formadas por símbolos diferentes tiene el lenguaje?
¿Cuántas palabras distintas de longitud r, cuyo primer símbolo es una vocal y el tercero es distinto del primero, tiene el lenguaje?
¿Cuántas palabras distintas de longitud r y que no tengan dos símbolos consecutivos iguales tiene el lenguaje?

¡Muchas gracias!
Saludos

[pimpim]

Hola, ¿alguien me podría dar alguna indicación para poder resolver este ejercicio?

Muchas gracias
Un saludo

[Phicar]

Hola

Para el primero: ¿de cuántas formas puedes escoger r elementos de un conjunto de n elementos? Teniendo eso, ya tienes una palabra, ahora ¿de cuántas formas puedes ordenar esos símbolos distintos para formas palabras distintas?

Para el segundo: ¿qué es una vocal?

Para el tercero: piensa que si fijas un símbolo en la posición i-ésima entonces tienes (n-1) formas de escoger el símbolo de la posición (i+1)-ésima porque el único que no puedes escoger es el que ya habías fijado.


Me cuentas si no me hice entender.

[pimpim]

Hola Phicar! Muchas gracias por su respuesta.

En el primero: no lo entiendo muy bien, si me puede dar alguna indicación más.

En el segundo: yo había pensado asignar una vocal a un símbolo del alfabeto y que el tercer símbolo de la palabra de longitud r fuera distinto al primero (porque el problema no me da más datos) pero no lo veo claro.

En el tercero: entonces las palabras que se pueden formar de longitud r, serían: n(n-1)

Muchas gracias por su ayuda.

[Phicar]

Hola

El primero: Vamos a hacerlo paso por paso:
Para escoger el primer símbolo, tengo n posibilidades... para escoger el segundo símbolo tengo (n-1) posibilidades...
luego si haces eso r veces, para el r-ésimo símbolo tendrás n-(r-1) posibilidades. Por el principio de multiplicatividad tendrías \( n(n-1)(n-2) \dots (n-(r-1)) \) posibilidades, seguro puedes expresar esa multiplicación de otra forma usando factoriales

Para el segundo: Ni idea, o sea, debería haber alguna definición de vocal.

Para el tercero: No, ahí sólo encontraste cadenas de longitud 2. Tienes que seguir r veces.

Fresca, me cuentas.

[pimpim]

Hola Phicar,

en el primero:entonces sería \( \frac{n!}{(n-r)!} \)  ?

en el tercero: he continuado r veces y he llegado a esto (no se si esta bien...) \( n(n-1)^{n-1} \)

Muchas gracias!

[Phicar]

Hola

Listo Y el primero pues es simplemente n permutado r
y el tercero tienes un tipo no es \( n(n-1)^{n-1} \) sino \( n(n-1)^{r-1} \)

Sería chévere que preguntaras qué es una vocal para que sepamos

[pimpim]

Muchas gracias!

en el segundo: lo pregunté y me dijo que suponga lo que crea adecuado, entonces la verdad no se my bien como se puede enfocar, si asignar 5 vocales a 5 símbolos del alfabeto...

Otra duda que me ha surgido con este problema es, si me preguntaran cuantas palabras de longitud r contienen el símbolo a1? serían n+(r+1) ??
Otra posible pregunta que se me ocurre sería las palabras que tengan el símbolo a1 en un lugar determinado?? en este caso no se como resolverlo porque para cada r me sale 1 palabra...

Muchas gracias por tu ayuda Phicar!

[Phicar]

No pues ni idea..No podemos ponerle un número fijo a las vocales porque no sabemos cuánto vale n. Sinceramente es una respuesta muy vaga la que te dieron, a menos que ya hayas visto algo de eso.

No, la respuesta que me diste no es pero sería bueno que me dijeras cómo llegas a ella y ver dónde puedes estar cometiendo el error.
Pues te tocaría fijar al 1 en una posición determinada, de cuántas formas lo puedes hacer?
después, ya al fijar el 1, tendrías que hacerte la pregunta de qué tipo de cadenas tienes qué encontrar, cuando sepas qué cadenas, contarlas será fácil .Haz un ejemplo finito a lápiz y verás cómo puedes extenderlo.

Tu otra pregunta pues es un caso particular de la de arriba, lo ves? Cuando lo hayas visto y si ya tienes la respuesta de arriba tendrás ésta gratis.

trata de hacerte los ejemplitos y me cuentas

[pimpim]

Hola, he hecho estos dos ejemplos:

para cadenas de longitud 2 sería (a1a1, a1a2, a2a1) 1+2= 3 casos
para cadenas de longitud 3 sería (a1a1a1, a1a2a3, a2a1a3, a2a3a1, a1a2a2, a2a1a2, a2a2a1, a1a1a2, a1a2a1, a2a1a1) 1+6+3= 10 casos.
debo tener algún error o me estoy liando yo sola... porque por más que pienso no saco la fórmula!

Muchas gracias!