[Tanius]

Una función real \( f \) se dice que cumple la condición de Lipschitz de orden \( \alpha >0 \) si existe \( K\ge 0 \) tal que \( |f(x)-f(y)|\le K|x-y|^{\alpha} \) para todo \( \red x,y \) en el dominio de \( \red f \).

Me piden dar ejemplos de lo siguiente:

(1) Una función de variación acotada que no cumpla ninguna condición de Lipschitz

(2) Una función que no sea de variación acotada y que satisfaga la condición de Lipschitz para alguna \( 0<\alpha < 1 \)

¿Alguien podría ayudarme a construir dichos ejemplo?

Gracias de antemano 

[pepito]

Un caso sencillo para la primera sería una función con una discontinuidad esencial (agrego: o evitable). Por ejemplo, cualquier función escalonada (con finitos escalones) serviría.

Pero si querés un ejemplo de una función continua, ya que estamos, podría ser

\( f:[0,\frac12]\to\mathbb{R},\quad f(x)=\begin{Bmatrix} -\dfrac{1}{ln(x)} & \mbox{ si }& x\ne0\\0 & \mbox{si}& x=0\end{matrix} \)

Faltaría ver la segunda. Lo de \( 0<\alpha<1 \) es una ayuda nomás; ya sabemos que si una función es Lipschitz de orden \( \alpha\ge1 \), entonces es de variación acotada.

[Tanius]

Un caso sencillo para la primera sería una función con una discontinuidad esencial. Por ejemplo, cualquier función escalonada (con finitos escalones) serviría.

¡Ah, cierto! Pues toda función que cumpla una condición de Lipschitz debe ser continua.

Faltaría ver la segunda. Lo de \( 0<\alpha<1 \) es una ayuda nomás; ya sabemos que si una función es Lipschitz de orden \( \alpha\ge1 \), entonces es de variación acotada.

Tienes razón, no me había percatado de ello. Se podría probar fácilmente que la variación de una función \( f:[a,b]\to \mathbb{R} \) que cumple una condición de Lipschitz \( \alpha \ge 1 \) es menor o igual que \( (b-a)^{\alpha} \).

Gracias, pepito. Un saludo 

[pepito]

Bueno, ¡finalmente se me ocurrió!

Hay que armar una función \( f \) cuyo gráfico esté formado por sucesivos "picos" (triángulos isósceles sin base) tales que el \( n \)-ésimo, leyendo de izquierda a derecha, tenga altura \( \dfrac{1}{n^{\frac12}} \) y base \( \dfrac{2}{n^{\frac32}} \). De esta manera, la suma de las bases converge, de forma que se tiene una función definida en un intervalo \( [a,b] \), y la suma de las alturas diverge, de forma que la función no es de variación acotada. (Agrego: Se define \( f(b)=0 \)).

Hay que ver que, con los parámetros que elegí, la función es Lipschitz de orden \( \frac13 \). La pendiente del lado izquierdo de cada pico es

\( \dfrac{\dfrac{1}{n^{\frac12}}}{\dfrac{1}{n^{\frac32}}}=n \)

y la del lado derecho, \( -n \), claro. Son estrictamente crecientes en módulo (y tienden a infinito).

Dados \( x<y\in[a,b] \), supongamos primero que se encuentran en picos diferentes. Si \( f(x) \) es mayor a la altura del pico en el que se encuentra \( y \) (agrego: o bien \( y=b \) y \( f(x)>0 \) (si fuera \( f(x)=0 \), sería inmediato)), entonces considero los puntos \( x' \) e \( y' \), donde \( x' \) está en el mismo pico que \( x \) y \( f(x')=f(x) \), pero \( x' \) está del lado derecho (por si \( x \) no estaba) e \( y' \) es el vértice inferior derecho del pico en el que se encuentra \( x \). Entonces claramente

\( \dfrac{|f(y)-f(x)|}{|y-x|^{\frac13}}\le\dfrac{|f(y')-f(x')|}{|y'-x'|^{\frac13}} \)

Y si \( f(x) \) es menor o igual a la altura del pico en el que se encuentra \( y \) (agrego: supongamos que \( f(x)\ne f(y) \); si son iguales, es inmediato), entonces considero \( x' \), un punto perteneciente al mismo pico que \( y \) (y ubicado del mismo lado que \( y \)) tal que \( f(x')=f(x) \). En ese caso,

\( \dfrac{|f(y)-f(x)|}{|y-x|^{\frac13}}\le\dfrac{|f(y)-f(x')|}{|y-x'|^{\frac13}} \)

(recordar que las pendientes son crecientes)

O sea que puedo suponer que \( x \) y \( y \) están en un mismo pico \( n \), y del mismo lado. Por simetría, puedo suponer que están del lado izquierdo. Es

\( f(y)-f(x)=n(y-x) \)

O sea que

\( \dfrac{f(y)-f(x)}{(y-x)^{\frac13}}=n(y-x)^{\frac23}= \) (1)

Pero como \( y-x\le\dfrac{1}{n^{\frac32}} \), queda

(1) \( \le n(n^{-\frac32})^{\frac23}=1 \)

[Tanius]

¡Gracias por tu tiempo, pepito! Leeré con calma tu respuesta.

Sería complicado dar una fórmula explícita de \( f \), ¿verdad?

Un saludo y gracias de nuevo 

[elias0612]

Hola  creo que te puede funcionar la teoría de fourier  para 2)  mira esta :
\( f(x)=\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{\frac{cos(3^ix)}{3^{i\alpha }}} \)    saludos .

[pepito]

Sería complicado dar una fórmula explícita de \( f \), ¿verdad?

Para nada, es una función por tramos. Llamando \( S_0=0 \), \( S_n=\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac{2}{i^{\frac32}} \) para cada \( n\in\mathbb{N} \) y \( S_{\infty}=\displaystyle\sum_{i\in\mathbb{N}}\displaystyle\frac{2}{i^{\frac32}} \), sería

\( f:[0,S_{\infty}]\to\mathbb{R},\quad f|_{[S_{n-1},S_n]}(x)=\dfrac{1}{n^{\frac12}}-n\left|x-S_{n-1}-\dfrac{1}{n^{\frac32}}\right| \) para cada \( n\in\mathbb{N} \) y \( \color{red}f(S_{\infty})=0 \).

O lo que es lo mismo,

\( f:[0,S_{\infty}]\to\mathbb{R},\quad f(x)=\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}\left(\dfrac{1}{n^{\frac12}}-n\left|x-S_{n-1}-\dfrac{1}{n^{\frac32}}\right|\right)\mathbb{I}_{[S_{n-1},S_n]}(x) \), donde \( \mathbb{I}_{[S_{n-1},S_n]} \) es la función indicadora del intervalo \( [S_{n-1},S_n] \) para cada \( n\in\mathbb{N} \).

Hola  creo que te puede funcionar la teoría de fourier  para 2)  mira esta :
\( f(x)=\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{\frac{cos(3^ix)}{3^{i\alpha }}} \)

Ah, es posible. La verdad, ni idea.