Bueno, ¡finalmente se me ocurrió!
Hay que armar una función \( f \) cuyo gráfico esté formado por sucesivos "picos" (triángulos isósceles sin base) tales que el \( n \)-ésimo, leyendo de izquierda a derecha, tenga altura \( \dfrac{1}{n^{\frac12}} \) y base \( \dfrac{2}{n^{\frac32}} \). De esta manera, la suma de las bases converge, de forma que se tiene una función definida en un intervalo \( [a,b] \), y la suma de las alturas diverge, de forma que la función no es de variación acotada. (Agrego: Se define \( f(b)=0 \)).
Hay que ver que, con los parámetros que elegí, la función es Lipschitz de orden \( \frac13 \). La pendiente del lado izquierdo de cada pico es
\( \dfrac{\dfrac{1}{n^{\frac12}}}{\dfrac{1}{n^{\frac32}}}=n \)
y la del lado derecho, \( -n \), claro. Son estrictamente crecientes en módulo (y tienden a infinito).
Dados \( x<y\in[a,b] \), supongamos primero que se encuentran en picos diferentes. Si \( f(x) \) es mayor a la altura del pico en el que se encuentra \( y \) (agrego: o bien \( y=b \) y \( f(x)>0 \) (si fuera \( f(x)=0 \), sería inmediato)), entonces considero los puntos \( x' \) e \( y' \), donde \( x' \) está en el mismo pico que \( x \) y \( f(x')=f(x) \), pero \( x' \) está del lado derecho (por si \( x \) no estaba) e \( y' \) es el vértice inferior derecho del pico en el que se encuentra \( x \). Entonces claramente
\( \dfrac{|f(y)-f(x)|}{|y-x|^{\frac13}}\le\dfrac{|f(y')-f(x')|}{|y'-x'|^{\frac13}} \)
Y si \( f(x) \) es menor o igual a la altura del pico en el que se encuentra \( y \) (agrego: supongamos que \( f(x)\ne f(y) \); si son iguales, es inmediato), entonces considero \( x' \), un punto perteneciente al mismo pico que \( y \) (y ubicado del mismo lado que \( y \)) tal que \( f(x')=f(x) \). En ese caso,
\( \dfrac{|f(y)-f(x)|}{|y-x|^{\frac13}}\le\dfrac{|f(y)-f(x')|}{|y-x'|^{\frac13}} \)
(recordar que las pendientes son crecientes)
O sea que puedo suponer que \( x \) y \( y \) están en un mismo pico \( n \), y del mismo lado. Por simetría, puedo suponer que están del lado izquierdo. Es
\( f(y)-f(x)=n(y-x) \)
O sea que
\( \dfrac{f(y)-f(x)}{(y-x)^{\frac13}}=n(y-x)^{\frac23}= \) (1)
Pero como \( y-x\le\dfrac{1}{n^{\frac32}} \), queda
(1) \( \le n(n^{-\frac32})^{\frac23}=1 \)