[Hauss]

Hola amigos, podrian ayudarme con lo siguiente por favor:

Sean \( A,B \) conjuntos en un espacio métrico \( (X,d) \) tales que \( d(A,B)>0 \). Pruebe que \( \bar{A}\cap B=\emptyset = B \cap \bar{A} \).

Donde \( d(A,B)=inf \){\( d(x,B):x\in A \)} y \( d(x_{0},A)=inf \){\( d(x_{0},x):x\in A \)}

Lo he intentado hacer mediante el siguiente ejemplo https://math.stackexchange.com/questions/1862654/show-a-cap-b-neq-varnothing-rightarrow-operatornamedista-b-0-and, pero no puedo ver como relacionarlo con el enunciado que yo estoy tratando de demostrar, les agradeceria mucho su ayuda.

[Masacroso]

Como \( d(A,B)>0 \) entonces por definición de \( d(A,B) \) tenemos que \( A\cap B=\emptyset  \), entonces si \( x\in \overline{A}\cap B \) eso significa que \( x\in B \) y \( x\in \partial A \), en ese caso existiría una sucesión \( (x_n) \) en \( A \) tal que \( (x_n)\to x \), y eso implica que para un \( \epsilon >0 \) arbitrariamente pequeño existe un \( N\in \mathbb N  \) tal que \( d(x_n,B)<\epsilon  \) para todo \( n\geqslant N \), por tanto de la definición de \( d(A,B) \) concluiríamos que \( d(A,B)=0 \), lo cual es una contradicción.