[Richard R Richard]

Hola no te discuto el resultado no lo he calculado, pero has observado que el peso ponderado de las contribuciones de los puntos de subindice par respecto de los impares es diferente?, es claro alguna diferencia debe haber , sino llegarías al mismo resultado.

No sé qué quieres decir.

Hubiese jurado que Simpson es aplicable si uno puede interpolar un valor para el punto medio de cada sub intervalo digamos de alguna manera conocer  la velocidad en los tiempos 3,9,15...

Claro, pero es que yo no aplico el método a los intervalos \( [0, 6], [6, 12],\ldots \)  pues entonces habría necesitado conocer las velocidades que dices. Lo aplico a los intervalos \( [0, 12], [12, 24], \ldots \) para los que conozco las velocidades en los puntos medios.
o.

Si, si precisamente Carlos  lo que intento descifrar es porque un método nos da diferente al otro, y ver si es posible  darse cuenta si uno es  mejor o peor , respecto de un error, que como dices no conocemos puesto que nadie a medido con precisión la pista. Lo que te decia tambien, es que no ponía para nada en duda tu resultado numérico.


Sabemos que con trapecios da


\( d=6s\cdot(124/2+134+148+156+147+133+121+109+99+85+78+89+104+116+123/2)pies/s=9855 pies \)


y si desarrollo Simpson con \( b-a=12 \)


\( d=\dfrac{12-0}{6}\cdot\left((v_1+4\cdot v_2+v_3)+(v_3+4\cdot v_4+ v_5)+(v_5+4\cdot v_6+v_7)+(v_7+4\cdot v_8+v_9)+(v_9+4\cdot v_{10}+v_{11})+(v_{11}+4\cdot v_{12}+v_{13})+(v_{13}+4\cdot v_{14}+v_{11}) \right)= \)


\( d=2\cdot\left(v_{1}+v_{15}+2\cdot(v_{5}+v_{5}+v_{7}+v_{9}+v_{11}+v_{13})+4\cdot(v_{2}+v_{4}+v_{6}+v_{8}+v_{8}+v_{10}+v_{12})\right)= \)


de donde se ve que el sumatorio de velocidades en los puntos cuyo subíndice es par son mas valorados (o se los pondera mas al multiplicar por 4) que los de subíndice impar... Allí radica la diferencia numérica... entre los dos métodos.


\( d=\dfrac{12-0}{6}\cdot\left((124+4\cdot 134+148)+(148+4\cdot 156+147)+(147+4\cdot 133+121)+(121+4\cdot 109+99)+(99+4\cdot 85+78)+(78+4\cdot 89+104)+(104+4\cdot 116+123) \right)=9858 pies \)


Imagino que una serie de puntos cuya gráfica sea serpenteante presentará mayor diferencia de resultados que una serie de puntos con una gráfica mas lineal como la de este problema.


Aver si lo explico de otra manera si el dato v_{2} se lo pone en antepenúltimo lugar  tendríamos datos en este orden 1,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2,14,15  si calculamos la longitud por trapecios nos daría el mismo resultado , pero por Simpson nos daría otra cosa...


\( d'=\dfrac{12-0}{6}\cdot\left((124+4\cdot 148+156)+(156+4\cdot 147+133)+(133+4\cdot 121+109)+(109+4\cdot 99+85)+(85+4\cdot 78+89)+(89+4\cdot 104+134)+(134+4\cdot 116+123) \right)= \)


\( d'=2\cdot\left((124+123+2\cdot(156+133+109+85+89+134)+4\cdot( 148+ 147+ 121+ 99+ 78+104+116) \right)=9822 \)


si es que no me equivoque en cuentas y resulta que es bastante mas diferente a 9855 .


Cuál es mejor, cuál es peor? como no sabemos la longitud exacta no lo podemos decidir, pero me inclino por trapecios en este caso,
yo he usado Simpson cuando grafique las soluciones a sistemas ecuaciones diferenciales en 3d y 4d donde  yo podía calcular las derivadas en cualquier punto pero no conocía las primitivas y he visto que aproxima mejor por Simpson que por trapecios. 


Saludos

[Carlos Ivorra]

de donde se ve que el sumatorio de velocidades en los puntos cuyo subíndice es par son mas valorados (o se los pondera mas al multiplicar por 4) que los de subíndice impar... Allí radica la diferencia numérica... entre los dos métodos.

Es una forma de verlo, pero no me parece muy ilustrativa. La razón de fondo es que los dos métodos dan resultados diferentes porque son las integrales de dos funciones diferentes. El método de los trapecios da la integral de la función que resulta de unir los puntos conocidos con segmentos, mientras que el método de los trapecios da la integral de la función que resulta de unir cada tres puntos por polinomios de segundo grado. En la respuesta #28 tienes las dos gráficas superpuestas, que, como ves, son casi idénticas.

La idea es que, en la medida en que los puntos conocidos describan bien la evolución de la velocidad, es decir, que no haya variaciones significativas no reflejadas en esos puntos (lo que se traduciría en que la velocidad tuviera altibajos apreciables dentro de algunos de los intervalos) cualquiera de las dos interpolaciones se parecerá lo suficiente a la función real como para que sus integrales se parezcan a la integral real.

Si te planteas cuál de los dos métodos es mejor en este caso en concreto, no creo que la pregunta tenga sentido, porque las dos funciones son tan parecidas entre sí que no se puede decir nada sobre si la función real se parece más a una o a otra.

Si lo que te planteas es si, en general, un método dará mejores o peores resultados que el otro, pues ya es una pregunta muy general, tal vez demasiado general. A mala idea, siempre se pueden poner ejemplos concretos en los que un método funcione mejor que el otro y viceversa.

Aver si lo explico de otra manera si el dato v_{2} se lo pone en antepenúltimo lugar  tendríamos datos en este orden 1,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2,14,15  si calculamos la longitud por trapecios nos daría el mismo resultado , pero por Simpson nos daría otra cosa...

Sí, pero eso, en cierto sentido es "casual". Ciertamente no es casual que si desordenas los puntos eso no cambia el resultado del método de los trapecios (teniendo en cuenta que los puntos están equiespaciados), pero digo que es casual en el sentido de que al reordenar los puntos estás cambiando unos datos por otros y, en principio, dos métodos de integración numérica no tendrían por qué dar resultados parecidos, ya que están interpolando a dos funciones distintas.

Cuál es mejor, cuál es peor? como no sabemos la longitud exacta no lo podemos decidir, pero me inclino por trapecios en este caso,

No, en este caso no tiene sentido plantearse la pregunta. Tienes dos interpolaciones casi idénticas, y no hay razón para pensar que la velocidad real de un coche se va a comportar de forma más parecida a una o a otra.

yo he usado Simpson cuando grafique las soluciones a sistemas ecuaciones diferenciales en 3d y 4d donde  yo podía calcular las derivadas en cualquier punto pero no conocía las primitivas y he visto que aproxima mejor por Simpson que por trapecios. 

Supongo que la interpolación de Simpson, al no tener derivada constante a trozos, tendrá más posibilidades de parecerse a una función derivable cuya derivada no tenga las variaciones muy localizadas, que es lo que suele pasar con las funciones "usuales", pero no sé hasta qué punto esto no es hablar por hablar.

[ani_pascual]

..... una cota del error se puede dar cuando se puede dar, y no se puede dar cuando no se puede dar.

Hola Carlos

Gracias por el tiempo y el trabajo que has dedicado a contestarme. Me parece que salvo algún que otro matiz, estamos bastante de acuerdo. Sólo quería comentar que a propósito de la frase que he destacado arriba, me he acordado de un chiste que se contaba cuando estaba haciendo la carrera.

Estaba Jesús en el huerto y le dice a sus discípulos: 'Yo Soy el que Soy'
Pedro le contesta: 'Si te quiero Señor es por lo bien que te explicas'

Saludos

Ja, ja, ja, buen chiste; me gustó más el que leí en este foro (no recuerdo si lo pusiste tú) acerca de la parábola  \( y=x^2 \). La "falla" del chiste es que lo más probable es que Jesús (יהושוע  ) no dijera nunca "Yo soy el que soy"   (אהיה אשר אהיה  ) sino  "yo soy"   (אני הוה )  Saludos

[ancape]

.... se ve que el sumatorio de velocidades en los puntos cuyo subíndice es par son mas valorados (o se los pondera mas al multiplicar por 4) que los de subíndice impar... Allí radica la diferencia numérica... entre los dos métodos.

.......

Aver si lo explico de otra manera si el dato v_{2} se lo pone en antepenúltimo lugar  tendríamos datos en este orden 1,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2,14,15  si calculamos la longitud por trapecios nos daría el mismo resultado , pero por Simpson nos daría otra cosa...

Hola Richard

Aunque Carlos ya te ha explicado desde un punto de vista intuitivo en #31 cómo la presencia de esa muestra central multiplicada por 4 le da al método de Simpson una 'asimetría' que lo debía hacer peor que el método del trapecio, quiero abundar en el tema desde un punto de vista más analítico (y por tanto más desagradable).

Sigo las directrices que da C.E. Fröberg en su libro 'Introdccción al Análisis numérico'. Vicens Universidad 1977. Pág. 235...Páginas de las que te adjunto copia por si deseas profundizar un poco más.

El problema para calcular \( \displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \) se aborda de manera aproximada si P(x) es un polinomio próximo a f(x), integrando éste. Aparecen diferentes métodos según el grado n del polinomio interpolador P(x) que coincide con f en alguno puntos que hemos muestreado.

Resulta que no es necesario hallar explícitamente los coeficientes del polinomio interpolador sino que para cada valor de n obtenemos una 'fórmula' que nos calcula la integral de forma aproximada. El problema es el que ocurre siempre con las fórmulas en matemáticas, uno se limita a aplicarlas sin tener en cuenta que se derivan de un desarrollo que si no hay que repetir cada vez que se aplica, por lo menos hay que ser consciente de su existencia para ver las condiciones de aplicación.

El asunto es que al desarrollar las diferentes fórmulas que se obtienen para diferentes valores de n, se hace una tabla con el orden de los diferentes errores que se cometen y se obtiene algo así:



Cómo puede verse, el mejor 'relativamente hablando' se obtiene para n=2 (fórmula de Simpson). Con n=2 obtenemos un aceptable \( 10^{-4} (b-a)^5 \)
Para n mayor, mejoramos la precisión pero a costa de aumentar el trabajo enormemente. En ese sentido es en el que hablé cuando dije 'Relación Calidad/Precio mejor.

Evidentemente, la fórmula de Simpson parece descompensada pues le da el cuádruple de importancia a la muestra central que a las inicial-final. Ese hecho lo único que debería llevar es a revisar las operaciones hechas hasta que se consiguió la fórmula pues el resultado choca con nuestra intuición,  pero si comprobamos que las cuentas están bien hechas, debemos aceptar la fórmula obtenida. Al fin y al cabo no sería la primera vez que el resultado final de un razonamiento matemático no esté de acuerdo con la intuición.

Saludos

[feriva]

Nos han dicho que podemos usar un programa para resolverlo pero estoy muy enredada con esto. ¿Cómo se haría en un programa?

Depende del lenguaje que conozcas.
En Python se me ocurre así, por ejemplo:

Código: [Seleccionar]

V=[124,134,148,156,147,133,121,109,99,85,78,89,104,116,123]
cont=0
while len (V) !=1:
    n = n + ((V[0]+ V[1]))*(3.0)
    V.pop(0)
print cont

Te explico

Siguiendo la idea de Juan Pablo, en la lista V están todas las velocidades; donde se van a sumar la primera con la segunda, la segunda con la tercera,etc., y se van a multiplicar por 6 y dividir por 2; o sea, se van a multiplicar por 3.

Para lograr eso, debajo de la lista hay un contador que empieza a cero. Después viene un bucle while que se detiene cuando en la lista V sólo queda un elemento; pues “len(V)” significa la cantidad de elementos que hay, que van quedando en la lista. El signo “!=” significa distinto, así que está diciendo que mientras haya más de un elemento continúe el bucle.

Debajo, aquí   n = n + ((V[0]+ V[1]))*(3.0) se dice que sume la cuenta (la media multiplicada por seis) al valor del contador; como es cero, esa primera cuenta la hace con las primeras velocidades 124,134.

Debajo, la instrucción V.pop(0) elimina el primer elemento de la lista V, que es 124, y así, al repetirse el bucle, encuentra el primero ahora es 134 y repite lo que ha hecho antes, sumando la nueva cuenta a la anterior.

Al final, al tomar la pareja 116,123, elimina el 116, con lo que sólo queda un elemento y eso lo detecta el “wihle” y ahí se detiene el bucle, Después pasa a “print cont” e imprime lo obtenido, que es 9855.0
…

Como comentario aparte.

Spoiler

El primer tiempo es cero y la primera velocidad es 124, con lo que el espacio recorrido es \( v\cdot t= 124\cdot 0=0 \); hay 15 velocidades,  y también hay 15 fragmentos de espacio recorrido, lo que pasa es que uno es cero.
El hecho  de que exista una velocidad sin desplazamiento está ligado a las famosas paradojas que produce cero (y que han aparecido hace poco en algunos hilos del foro). Pero se puede pensar que no es cero del todo, sino que es un tiempo muy corto, de manera que el espacio recorrido también será prácticamente cero y, por tanto, despreciable

[cerrar]

Saludos.

[ani_pascual]

Spoiler

El primer tiempo es cero y la primera velocidad es 124, con lo que el espacio recorrido es \( v\cdot t= 124\cdot 0=0 \); hay 15 velocidades,  y también hay 15 fragmentos de espacio recorrido, lo que pasa es que uno es cero.
El hecho  de que exista una velocidad sin desplazamiento está ligado a las famosas paradojas que produce cero (y que han aparecido hace poco en algunos hilos del foro). Pero se puede pensar que no es cero del todo, sino que es un tiempo muy corto, de manera que el espacio recorrido también será prácticamente cero y, por tanto, despreciable

[cerrar]

Hola:
Me parece que ya se ha comentado en el hilo que lo que parece querer expresar el ejercicio es que hay 14 intervalos temporales \( [0,6],[6,12],\ldots,[78,84] \), pero 15 medidas de velocidad instantánea en los 15 extremos \( 0,6,12,\ldots,78,84 \). La primera medida que se toma, \( v(0)=124 \), en el instante \( t=0 \), no quiere decir que no recorra espacio, pues se supone que son medidas "instantáneas". Para aplicar la regla de Simpson es sencillo interpretarlos como 7 intervalos temporales \( [0,12],\ldots, [72,84] \) pues así se conocen las velocidades en sus puntos medios, tal y como ya se ha comentado en el hilo.
Saludos

[feriva]

Spoiler

El primer tiempo es cero y la primera velocidad es 124, con lo que el espacio recorrido es \( v\cdot t= 124\cdot 0=0 \); hay 15 velocidades,  y también hay 15 fragmentos de espacio recorrido, lo que pasa es que uno es cero.
El hecho  de que exista una velocidad sin desplazamiento está ligado a las famosas paradojas que produce cero (y que han aparecido hace poco en algunos hilos del foro). Pero se puede pensar que no es cero del todo, sino que es un tiempo muy corto, de manera que el espacio recorrido también será prácticamente cero y, por tanto, despreciable

[cerrar]

Hola:
Me parece que ya se ha comentado en el hilo que lo que parece querer expresar el ejercicio es que hay 14 intervalos temporales \( [0,6],[6,12],\ldots,[78,84] \), pero 15 medidas de velocidad instantánea en los 15 extremos \( 0,6,12,\ldots,78,84 \). La primera medida que se toma, \( v(0)=124 \), en el instante \( t=0 \), no quiere decir que no recorra espacio, pues se supone que son medidas "instantáneas". Para aplicar la regla de Simpson es sencillo interpretarlos como 7 intervalos temporales \( [0,12],\ldots, [72,84] \) pues así se conocen las velocidades en sus puntos medios, tal y como ya se ha comentado en el hilo.
Saludos

Es que no conozco el método de la regla de Simpson, buscaré y leeré más el hilo (lo interpreté a mi manera).
Muchas gracias, ani_pascual.

Saludos.

[Richard R Richard]

Es una forma de verlo, pero no me parece muy ilustrativa. La razón de fondo es que los dos métodos dan resultados diferentes porque son las integrales de dos funciones diferentes. El método de los trapecios da la integral de la función que resulta de unir los puntos conocidos con segmentos, mientras que el método de los trapecios da la integral de la función que resulta de unir cada tres puntos por polinomios de segundo grado. En la respuesta #28 tienes las dos gráficas superpuestas, que, como ves, son casi idénticas.


La idea es que, en la medida en que los puntos conocidos describan bien la evolución de la velocidad, es decir, que no haya variaciones significativas no reflejadas en esos puntos (lo que se traduciría en que la velocidad tuviera altibajos apreciables dentro de algunos de los intervalos) cualquiera de las dos interpolaciones se parecerá lo suficiente a la función real como para que sus integrales se parezcan a la integral real.

Si te planteas cuál de los dos métodos es mejor en este caso en concreto, no creo que la pregunta tenga sentido, porque las dos funciones son tan parecidas entre sí que no se puede decir nada sobre si la función real se parece más a una o a otra.

Si lo que te planteas es si, en general, un método dará mejores o peores resultados que el otro, pues ya es una pregunta muy general, tal vez demasiado general. A mala idea, siempre se pueden poner ejemplos concretos en los que un método funcione mejor que el otro y viceversa.

Aver si lo explico de otra manera si el dato v_{2} se lo pone en antepenúltimo lugar  tendríamos datos en este orden 1,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2,14,15  si calculamos la longitud por trapecios nos daría el mismo resultado , pero por Simpson nos daría otra cosa...

Sí, pero eso, en cierto sentido es "casual". Ciertamente no es casual que si desordenas los puntos eso no cambia el resultado del método de los trapecios (teniendo en cuenta que los puntos están equiespaciados), pero digo que es casual en el sentido de que al reordenar los puntos estás cambiando unos datos por otros y, en principio, dos métodos de integración numérica no tendrían por qué dar resultados parecidos, ya que están interpolando a dos funciones distintas.

Cuál es mejor, cuál es peor? como no sabemos la longitud exacta no lo podemos decidir, pero me inclino por trapecios en este caso,

No, en este caso no tiene sentido plantearse la pregunta. Tienes dos interpolaciones casi idénticas, y no hay razón para pensar que la velocidad real de un coche se va a comportar de forma más parecida a una o a otra.

yo he usado Simpson cuando grafique las soluciones a sistemas ecuaciones diferenciales en 3d y 4d donde  yo podía calcular las derivadas en cualquier punto pero no conocía las primitivas y he visto que aproxima mejor por Simpson que por trapecios. 

Supongo que la interpolación de Simpson, al no tener derivada constante a trozos, tendrá más posibilidades de parecerse a una función derivable cuya derivada no tenga las variaciones muy localizadas, que es lo que suele pasar con las funciones "usuales", pero no sé hasta qué punto esto no es hablar por hablar.

Hola , en su momento estudié como se llegaba a la obtención de la fórmula del método de Simpson, chequeé mi Burden Faires,  no está allí para postearla, o no la encontré en la página 175,  Todo lo que comenté viene a cuento que uno de los métodos "me parece mejor" que el otro cuando cuando los datos son mas aleatorios y dispersos ya que difieren notablemente, como no conocemos la función real tampoco lo puedo afirmar a ciencia cierta, habrá funciones que puedan arrojar esos valores puntuales y su integral este mas cerca o mas lejos del resultado  provisto por cada método. En este caso al ser tan parecidas las interpolaciones, tenemos quizá, una buena estimación de la medida real con los dos.  Aunque con otro conjunto de datos en los resultados  sea mas notoria la discrepancia, sin saber de todos modos cual de los dos aproxima mejor a lo real.

Al menos cuando use Simpson para simular trayectorias de objetos en 3d en base a sistema de fuerzas variables (ejemplo sistemas de planetas orbitándose), la solución por Simpson era notablemente mucho mas precisa para pronosticar puesto que luego podía  evaluar respecto de datos colectados de una efeméride o un dato observado al telescopio, quizá lo que escribí se entendió como una critica al método y  por el contrario digamos que es como matar mosca con cañones.

Resulta que no es necesario hallar explícitamente los coeficientes del polinomio interpolador sino que para cada valor de n obtenemos una 'fórmula' que nos calcula la integral de forma aproximada. El problema es el que ocurre siempre con las fórmulas en matemáticas, uno se limita a aplicarlas sin tener en cuenta que se derivan de un desarrollo que si no hay que repetir cada vez que se aplica, por lo menos hay que ser consciente de su existencia para ver las condiciones de aplicación.

El asunto es que al desarrollar las diferentes fórmulas que se obtienen para diferentes valores de n, se hace una tabla con el orden de los diferentes errores que se cometen y se obtiene algo así:



Cómo puede verse, el mejor 'relativamente hablando' se obtiene para n=2 (fórmula de Simpson). Con n=2 obtenemos un aceptable \( 10^{-4} (b-a)^5 \)
Para n mayor, mejoramos la precisión pero a costa de aumentar el trabajo enormemente. En ese sentido es en el que hablé cuando dije 'Relación Calidad/Precio mejor.

Reitero en algún momento hice todo el cálculo detrás para hallar tales coeficientes (de n=3 , claro ), como no reconocer la utilidad de mejores polinomios, pero en la escases de puntos a evaluar y a la falta de una primitiva para cotejar error, me vi tentando a dar una justificación sobre cual para este caso sería mejor. Nada. Solo una opinión.

Si a ultranza se tratara de reflejar cálculos sobre la realidad habría que plantearse que nadie cambia de aceleración instantáneamente,(como parecería en la gráfica por trapecios, ni tan suave por polinomios) digamos que  es mejor una función interpoladora que minimice el cambio abrupto de derivadas (pendientes) en los puntos extremos donde también tenemos el valor de la velocidad instantánea.

Saludos

[lorena.zambrano]

Gracias por toda la ayuda que me han brindado en este grupo, he aplicado el método de Simpson cada dos intervalos y en efecto el resultado me da 9858, entre tanto buscar también he encontrado un solucionario de Burden de la 8va edición, está en inglés amigos pero allí en la sección 4.4 el ejercicio 22 , aparece este ejercicio y el resultado que dan de la longitud de la pista es también 9858. ¿Será que el autor considera que este método da la mejor aproximación? De qué forma han hecho el gráfico que han publicado? También me gustaría saber si este ejercicio se puede hacer en Maple? Si alguno sabe cómo hacerlo, ¿me puede compartir el código. ?

[Carlos Ivorra]

De qué forma han hecho el gráfico que han publicado?

Los gráficos que he publicado yo están hechos con Mathematica. Sin duda se pueden hacer igualmente con Maple, pero mi única relación con Maple es que hace varias décadas trabajé un tiempo con una versión muy primitiva de Maple. Seguro que muchos otros te saben decir cómo generar gráficos como ésos con Maple.

También me gustaría saber si este ejercicio se puede hacer en Maple? Si alguno sabe cómo hacerlo, ¿me puede compartir el código. ?

Seguro que es facilísimo, pero el código en Maple yo no te lo sé decir, ni podría probar si funciona correctamente.