\( |f|\leq a \)
\( -a\leq f\leq a \)
\( \left \{x\in \mathbb{R}: -a\leq f \wedge f\leq a\right\}\quad (i) \)
\( \left \{x\in \mathbb{R}: (f\geq 0 \wedge f\leq a) \vee (f<0 \wedge f\geq -a)\right\}\quad (ii) \)
\( r:f\geq 0 \)
\( \neg r:f<0 \)
\( p:f\leq a \)
\( q: f\geq -a \)
\( \left \{x\in \mathbb{R}: p \wedge q\right\}\quad (i) \)
\( \left \{x\in \mathbb{R}: (r \wedge p) \vee (\neg r \wedge q)\right\}\quad (ii) \)
Los casos de interés son para \( a>0 \)
La verdad de \( (i) \) implica la verdad de \( (ii) \):
\( (p\wedge q)=1\Rightarrow{(p=1)\wedge (q=1)\Rightarrow{}} \)
\( \Rightarrow (r \wedge p) \vee (\neg r \wedge q)=(r\wedge 1)\vee (\neg r \wedge 1)=r\vee (\neg r)=1 \)
La verdad de \( (ii) \) implica la verdad de \( (i) \):
(Si \( a>0 \): \( \neg r\Rightarrow{p} \), \( r\Rightarrow{q} \))
\( (r \wedge p) \vee (\neg r \wedge q)\Rightarrow{(q\wedge p)\vee(p\wedge q)=(p\wedge q)} \)
\( [(r \wedge p) \vee (\neg r \wedge q)]=1\Rightarrow{(p\wedge q)=1} \)
Si \( a>0 \), \( (i) \) e \( (ii) \) son expresiones equivalentes.
