[GMat]

¡Saludos! tengo una pequeña duda. ¿Cómo son las soluciones del siguiente tipo de ecuación diferencial \( \frac{{\partial u}}{{\partial x}}(x,y)+\frac{{\partial v}}{{\partial x}}(x,y)=f(x,y) \) Donde \( u,v,f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R} \). No pongo ninguna condición o alguna caracterización porque deseo saber bajo qué condiciones se pueden presentar soluciones a esta ecuación diferencial (si se necesitan algunas condiciones) y qué forma tendrían las soluciones. La otra cosa que me gustaría preguntar es. Si se se hace \( (x,y)=(0,0) \) solo en el lado izquierdo de la igualdad, es decir, teniendo que la ecuación se cumple en un punto ¿se pueden obtener de igual manera soluciones para \( (x,y) \) arbitrarios?

Espero haber expresado bien mis dudas, gracias de antemano por la ayuda

[jbgg]

Lo único que se me ocurre es considerar una nueva variable \( w=u+v \), y sacar las condiciones para \( w \), ya que la ecuación es equivalente, en este caso, a \( w_x(x,y) = f(x,y) \). En este caso se resuelve fácilmente.

Si por ejemplo se tuviera condiciones de contorno en \( w(0,y) \) para \( y \) en el dominio (esto sería equivalente a saber cuánto vale \( u+v \)), entonces se podría resolver por
\( \int_0^x w_x(t,y)\,\mathrm{d}t = \int_0^x f(t,y)\,\mathrm{d}t, \)
y por tanto
\( w(x,y) = F(x,y) + w(0,y), \)
donde \( F(x,y) = \int_0^x f(t,y)\,\mathrm{d}t \).

Nótese que se podría resolver si más generalmente se conoce \( u+v \) en una recta \( y=ax+b \) con \( a\neq0 \).

[GMat]

Gracias por la respuesta.

Tengo unas dudas, ¿por que las condiciones de contorno en \( w(0,y) \) es equivalente a conocer el valor de \( u+v \)?. La otra duda es, si también tuviese la ecuación \( w_y=g(x,y) \) ¿Se podría conocer una mas precisamente el valor de \( u \) y de \( v \)?

Saludos

[jbgg]

En realidad mi solución anterior no está correcta, más bien se me han olvidado soluciones.

\( w(x,y) = F(x,y) + w(0,y), \)
donde \( F(x,y) = \int_0^x f(t,y)\,\mathrm{d}t \).

Debería ser

\( w(x,y) = F(x,y) + w(0,y) + C(y), \)
donde \( F(x,y) = \int_0^x f(t,y)\,\mathrm{d}t \) y \( C \) es una función arbitraria de la variable \( y \).