Tengo problemas al encontrar una partición de \( R^2 \) que esté formada por al menos cinco elementos y que contenga a los siguientes subconjuntos:
\( A= (0,1) \times (0,1) \)
\( B= (0,1) \times (2,3) \)
\( C= [2,3] \times R \)
Para la primera componente yo haría que todos los intervalos "quepan" en uno solo (o sea hacer la unión), y luego trabajamos con intervalos no vacíos y disjuntos para completar todo \( \Bbb{R} \):
- \( A_1=(0,3]\times\Bbb{R} \) <- Este es la unión de los primeros intervalos
- \( A_2=(-1,0]\times\Bbb{R} \) <- Aquí empezamos a rellenar con cualquier intervalo
- \( A_3=(-2,-1]\times\Bbb{R} \)
- \( A_4=(-\infty,-2]\times\Bbb{R} \)
- \( A_5=(3,\infty)\times\Bbb{R} \)
\( A= (0,1) \times (0,1) \)
\( B= (0,1) \times (2,3) \)
\( C= [2,3] \times R \)
Pero esa partición no contiene a los tres subconjuntos que decía el enunciado.
¿Por qué la intersección entre, por ejemplo, A_1 y A_2 es el vacío?Los elementos de \[ A_1:= (0,3] \times \Bbb R \] son todos los pares \[ (x,y) \] de números reales donde \[ 0<x\leq 3 \] (e \[ y \] puede ser cualquier real). De igual manera, los elementos de \[ A_2 :=(-1,0] \times \Bbb R \] son los pares \[ (x,y) \] de números reales donde \[ -1<x\leq 0 \].
Ah vale, ya lo entiendo pensaba que al ser "y=R", se tomaban todos los números reales "a la vez" es decir la recta real "entera" y por tanto su intersección con otro subconjunto de R^2 sería no vacío.
Disculpad la notación ambigua, todavía no sé escribir de manera formal aquí.
Muchas gracias geómetracat.
¡Qué maravilla! Entonces como conjunto \( D \) valdría el punto \( (-1,1) \) por ejemplo, ¿no? Es que puse un punto en el ejercicio y anotó que el \( (0,1) \) no era un subconjunto de \( \Bbb R^2 \), puedo pasar captura de ello.
Para asegurarme, ¿podría poner \( D= (-1,-2)\times \Bbb R \) por ejemplo?
Por si te ayuda, aquí tienes dibujados los cuatro conjuntos que te dan:
Cuando dices calcular la forma simplificada de E, a qué te refieres exactamente?
Claro es cierto, aunque si lo hubiera especificado en la corrección estaría genial... 😁
Cuando dices calcular la forma simplificada de \( E \), a qué te refieres exactamente?
Creo que entiendo tu pregunta y creo que se cumple si:
i) "Puedes tomar \( \Bbb R^2 \) como elemento de la partición \( P \)", es decir, como subconjunto de tu conjunto \( P \) y "restarle" los subconjuntos restantes \( A,B,C,D. \)
ii) Su unión es todo \( \Bbb R^2 \), es decir si \( A\cup B\cup C\cup D\cup E=\Bbb R^2 \).
En realidad creo que sí se cumple ya que \( E=\Bbb R^2 \) sólo que "restándole" los demás elementos de la partición y al hacer la unión de todos vuelve a darte \( \Bbb R^2 \).
Cierto Luis, había leído apurado el enunciado y no recapacité en que pide por ejemplo que \( B\subseteq P \), donde \( P \) está formado por conjuntos de intervalos, yo había pensado que eran intervalos a sueltas. ¿Es correcta esta interpretación?
Consulta mía no respondidaA ver si he entendido bien, porque esto de los conjuntos dentro de un conjunto me confunden:
Si definimos \( P \) como la partición pedida, se debe cumplir que \( A,B,C\subseteq P \).
Si definimos \( P=\{\{A\},\{B\},\{C\},\{D\},\{E\}\} \), ¿se cumple lo pedido? Creo que no. Sí me queda claro que se cumple por ejemplo \( \{B\}\in P \) y que \( \{\{B\}\}\subseteq P \)[cerrar]
A ver si he entendido bien, porque esto de los conjuntos dentro de un conjunto me confunden:Aquí cuando te dicen que la partición \[ P \] tiene que contener a los conjuntos \[ A,B,C \] lo que quieren decir es que \( A,B,C \in P \), no que \[ A,B,C \subseteq P \]. Piensa que una partición \[ P \] de \[ \Bbb R^2 \] es por su definición un conjunto cuyos elementos son subconjuntos de \[ \Bbb R^2 \], mientras que \[ A,B,C \] son subconjuntos de \[ \Bbb R^2 \]. Por tanto, la única interpretación que tiene sentido es \[ A,B,C \in P \].
Si definimos \( P \) como la partición pedida, se debe cumplir que \( A,B,C\subseteq P \).
Si definimos \( P=\{\{A\},\{B\},\{C\},\{D\},\{E\}\} \), ¿se cumple lo pedido? Creo que no. Sí me queda claro que se cumple por ejemplo \( \{B\}\in P \) y que \( \{\{B\}\}\subseteq P \)
Mi pregunta no se dirige hacia saber si la partición es correcta, solo quiero saber cómo comprueba Luis que \( A,B,C\subseteq P \).
Aquí cuando te dicen que la partición \[ P \] tiene que contener a los conjuntos \[ A,B,C \] lo que quieren decir es que \( A,B,C \in P \), no que \[ A,B,C \subseteq P \]. Piensa que una partición \[ P \] de \[ \Bbb R^2 \] es por su definición un conjunto cuyos elementos son subconjuntos de \[ \Bbb R^2 \], mientras que \[ A,B,C \] son subconjuntos de \[ \Bbb R^2 \]. Por tanto, la única interpretación que tiene sentido es \[ A,B,C \in P \].