Autor Tema: Fórmula integral de Cauchy

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10 Abril, 2018, 12:13 am
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Nacho_Fernández

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Hola a todos, tengo esta integral:

\(  \oint \!\displaystyle\frac{z}{(z-a)^2(z-b)^2}dz \)

Donde a,b son dos números complejos distintos cualquiera y C es un contorno cerrado recorrido en sentido positivo tal que a y b están en el dominio encerrado por C

Al tener esos dos ceros en el denominador, cómo puedo separarlo?

10 Abril, 2018, 02:51 am
Respuesta #1

Masacroso

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Hola a todos, tengo esta integral:

\(  \oint \!\displaystyle\frac{z}{(z-a)^2(z-b)^2}dz \)

Donde a,b son dos números complejos distintos cualquiera y C es un contorno cerrado recorrido en sentido positivo tal que a y b están en el dominio encerrado por C

Al tener esos dos ceros en el denominador, cómo puedo separarlo?

Separa las fracciones y luego usa la fórmula integral de Cauchy. Las fracciones con raíces múltiples se separan así:

\( \displaystyle \frac1{(z-a)^2(z-b)^2}=\frac{k_1}{z-a}+\frac{k_2}{(z-a)^2}+\frac{k_3}{z-b}+\frac{k_4}{(z-b)^2}\implies\\ 1=k_1(z-a)(z-b)^2+k_2(z-b)^2+k_3(z-b)(z-a)^2+k_4(z-a)^2\tag1 \)

para \( k_1,k_2,k_3,k_4\in\Bbb C \). De la última igualdad en \( (1) \), una vez expandida, igualas los coeficientes de los polinomios a ambos lados y, si te hicieran falta más ecuaciones para resolver los valores de los \( k_j \) puedes obtener más ecuaciones diferenciando a ambos lados la que ya tienes.

¡Y no te olvides de multiplicar al final por \( z \)!

10 Abril, 2018, 07:10 am
Respuesta #2

Fernando Revilla

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    • Fernando Revilla
¡Y no te olvides de multiplicar al final por \( z \)!

Te ha salvado el abrir la admiración, pero es tal la crisis ortogáfica que nos invade, que alguien podría preguntarte como se define \( z! \) para \( z \) complejo.  Truco: ¡Y no te olvides de multiplicar por \( z \) al final!  :)