Autor Tema: Integral de Cauchy

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09 Abril, 2018, 05:46 pm
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Nacho_Fernández

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Hola a todos tengo este problema, me piden calcular I usando la fórmula integral de Cauchy.
\( I=\oint \! \bigg[U\Big(1-\displaystyle\frac{a^2}{z^2}\Big)-\displaystyle\frac{i\Gamma}{2\pi*z}\bigg]^2dz \)
Donde U y \( \Gamma \) son constantes reales. El camino de integración es un contorno cerrado recorrido en sentido antihorario que encierra el punto z=0

09 Abril, 2018, 06:09 pm
Respuesta #1

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Hola a todos tengo este problema, me piden calcular I usando la fórmula integral de Cauchy.
\( I=\oint \! \bigg[U\Big(1-\displaystyle\frac{a^2}{z^2}\Big)-\displaystyle\frac{i\Gamma}{2\pi*z}\bigg]^2dz \)
Donde U y \( \Gamma \) son constantes reales. El camino de integración es un contorno cerrado recorrido en sentido antihorario que encierra el punto z=0

Sólo tienes que ordenar un poco el integrando, poner un sola fracción y sacar el denominador fuera del cuadrado, que es lo que te marca los polos de la función para aplicar la fórmula integral de Cauchy. Es decir

\( \displaystyle \bigg[U\Big(1-\displaystyle\frac{a^2}{z^2}\Big)-\displaystyle\frac{i\Gamma}{2\pi z}\bigg]^2=
\frac{(2\pi U(z^2-a^2)-i\Gamma z)^2}{4\pi^2 z^4}\tag1 \)

No sé si conocerás la fórmula de Cauchy para las derivadas de una función holomorfa. Si \( f \) es holomorfa en el disco cerrado \( \overline{\Bbb D}(z_0,r) \) entonces

\( \displaystyle f^{(k)}(z_0)=\frac{\color{red}{k!}}{2\pi i}\int_{\partial\Bbb D(z_0,r)}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{k+1}}d\zeta\tag2 \)

entendiendo \( \partial\Bbb D(z_0,r) \) como el camino cerrado definido por el borde del disco \( \Bbb D(z_0,r) \) recorrido en sentido anti-horario. En cualquier caso el camino cerrado de tu ejercicio es homotópico al borde del disco unidad alrededor del cero (es decir, es homotópico a \( \partial\Bbb D:=\partial\Bbb D(0,1) \)).

P.D.: se debe entender que el camino cerrado de tu ejercicio es homotópico a \( \partial\Bbb D \), si no fuese así entonces tendrías que utilizar el teorema del residuo para dar cuenta del índice de los polos.

P.D.2: la fracción en \( (1) \) se puede simplificar aún más descomponiéndola en fracciones simples, lo que dividiría la integral en suma de 3 ó 4 integrales más simples sobre la que aplicar \( (2) \) o el teorema integral de Cauchy.

CORREGIDO.

09 Abril, 2018, 07:54 pm
Respuesta #2

Nacho_Fernández

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Gracias por tu respuesta!  :D No hemos dado todavía el teorema del residuo, así que supongo que será "homotópico".
Respecto a lo de simplificar, al ser el denominador z^4 bastaría con derivar tres veces el numerador y poner z=0 no?

10 Abril, 2018, 09:25 am
Respuesta #3

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Gracias por tu respuesta!  :D No hemos dado todavía el teorema del residuo, así que supongo que será "homotópico".
Respecto a lo de simplificar, al ser el denominador z^4 bastaría con derivar tres veces el numerador y poner z=0 no?

O bien usas la fórmula de derivadas de Cauchy que he dejado antes sobre \( (1) \) (derivando 3 veces y tomando \( z_0=0 \)), o bien simplificas \( (1) \) en fracciones más sencillas, que significa que no tendrás que derivar tantas veces, es decir

\( \displaystyle \frac{(2\pi U(z^2-a^2)-i\Gamma z)^2}{4\pi^2 z^4}=\frac{U^2(z^2-a^2)^2}{z^4}-\frac{\Gamma^2}{4\pi^2 z^2}-\frac{i\Gamma U(z^2-a^2)}{\pi z^3} \)

Y desde esa descomposición ya puedes deducir, con un poco de ojo o cálculo mental, el valor de la integral.

EDICIÓN: la fórmula de las derivadas de Cauchy es errónea como la había puesto originalmente. Ya he corregido mi primer mensaje.

11 Abril, 2018, 12:54 pm
Respuesta #4

Nacho_Fernández

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Gracias, pero no veo por qué dices "a ojo". Es decir, yo veo que estaríamos en las mismas, hay un \( z^4 \) en el denominador y habría que derivar tres veces.

11 Abril, 2018, 02:23 pm
Respuesta #5

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Gracias, pero no veo por qué dices "a ojo". Es decir, yo veo que estaríamos en las mismas, hay un \( z^4 \) en el denominador y habría que derivar tres veces.

Tienes que derivar tres veces un polinomio de grado 4, por tanto lo que te queda es un coeficiente polinomio de grado 1. O también puedes dividir por \( z^4 \), lo que nos deja \( \frac{(z^2-a^2)^2}{z^4}=1-\frac{2a^2}{z^2}+\frac{a^4}{z^4} \).

CORREGIDO.

11 Abril, 2018, 07:05 pm
Respuesta #6

Nacho_Fernández

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De acuerdo, he hecho las operaciones y me da 0 para las dos primeras y \( 2\Gamma U \) para la tercera

12 Abril, 2018, 01:53 am
Respuesta #7

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De acuerdo, he hecho las operaciones y me da 0 para las dos primeras y \( 2\Gamma U \) para la tercera

Eso es. Yo algunas veces reviso las cuentas con algún CAS (=computer algebra system) porque puedo tener errores de cálculo tonto. De hecho utilicé Wolfram Mathematica para revisar mis supuestos sobre el resultado de este ejercicio, ahí descubrí que había algo mal en mis cálculos, y es que había olvidado el factorial de la fórmula de derivadas que luego corregí.

Aunque un CAS tampoco es muy fiable. Hace poco haciendo una integral de contorno parecida a la tuya me daba un resultado de \( 2\pi i \) y Wolfram Mathematica decía que era cero. Al final es que hay un bug en el programa y mi resultado era correcto.