Autor Tema: Demostración variable compleja

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28 Febrero, 2018, 07:18 pm
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Nacho_Fernández

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Hola a todos, alguien me puede ayudar con este problema?
Dada una función holomorfa \( \left |{f(z)}\right |=1 \) probar que f es constante.
Z es un número complejo y las barras se refieren al módulo

28 Febrero, 2018, 07:35 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Observa que

\( \displaystyle |f(z)|=\sqrt{(f(z)\mid f(z))}=1\implies (f(z)\mid f(z))=1 \)

donde \( (\cdot|\cdot) \) es el producto interior euclídeo. Como \( f \) es diferenciable entonces \( (f(z)\mid f(z)) \) también lo es, y de la ecuación de arriba tenemos que...

28 Febrero, 2018, 07:36 pm
Respuesta #2

Fernando Revilla

  • "Mientras que las otras ciencias estudian las leyes que Dios ha elegido para el Universo, las matemáticas estudian las leyes que hasta Dios tiene que obedecer."-Jean Pierre Serre.
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Hola a todos, alguien me puede ayudar con este problema? Dada una función holomorfa \( \left |{f(z)}\right |=1 \) probar que f es constante. Z es un número complejo y las barras se refieren al módulo

¿Cuál es el dominio \( D \) de definición de \( f \)? Por ejemplo. si \( D=\mathbb{C} \) el resultado es aplicación inmediata del teorema de Liouville.

01 Marzo, 2018, 01:15 am
Respuesta #3

Nacho_Fernández

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Hola Masacroso, con poner que el producto escalar da un número entonces ya habrías demostrado que f es una constante?
Y a la respuesta de Revilla, no nos han dado ese teorema aunque por lo que he leído parece razonable.

01 Marzo, 2018, 08:41 am
Respuesta #4

Fernando Revilla

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Y a la respuesta de Revilla, no nos han dado ese teorema aunque por lo que he leído parece razonable.

La forma del dominio es fundamental. Por ejemplo, para \( D=U\cup V \) con \( U,V \) abiertos disjuntos, la función \( f(z)=1 \) si \( z\in U \), \( f(z)=-1 \) si \( z\in V \), es holomorfa, cumple \( \left |{f}\right |=1 \) pero no es constante. Si te dicen que \( D \) es conexo, para \( f=u+iv \) puedes derivar \( u^2+v^2=1 \) respecto de \( x \) y respecto de \( y \), y aplicar las ecuaciones de Cauchy-Riemann para obtener \( u_x=u_y=v_x=v_y=0 \). ¿Podrías reproducir exáctamente el enunciado?

01 Marzo, 2018, 09:18 am
Respuesta #5

Masacroso

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Hola Masacroso, con poner que el producto escalar da un número entonces ya habrías demostrado que f es una constante?
Y a la respuesta de Revilla, no nos han dado ese teorema aunque por lo que he leído parece razonable.

Para demostrarlo tienes que demostrártelo a ti mismo, hay que explicarlo. Tenemos que \( \|f(z)\|^2=(f(z)\mid f(z))=(\Re f(z))^2+(\Im f(z))^2=1 \), por lo cual derivando nos queda que \( \Re f(z)\cdot(\Re f(z))'+\Im f(z)\cdot(\Im f(z))'=\Re[(f(z)\mid f'(z))]=0 \). Y observar que \( (\Re f(z))'=\Re f'(z) \), y lo mismo con la parte imaginaria.

Como \( f \) es holomorfa entonces cumple las ecuaciones de Cauchy-Riemann, es decir, que usando el isomorfismo \( z\equiv x+iy \) y \( f(x,y)\equiv(\Re f(x,y),\Im f(x,y)) \) tenemos que \( \partial_1 \Re f(x,y)=\partial_2 \Im f(x,y) \) y \( \partial_1\Im f(x,y)=-\partial_2\Re f(x,y) \), de lo que se deduce que \( \require{cancel}\cancel{i\Re f'(z)=\Im f'(z)} \), ya que \( \cancel{\Re f'(z)\equiv\partial f(x,y)\mathrm e_1} \) y \( \cancel{\Im f'(z)\equiv\partial f(x,y)\mathrm e_2} \), siendo \( \mathrm e_1,\mathrm e_2 \) la base estándar de \( \Bbb R^2 \).

Entonces \( \cancel{\Re f(z)\Re f'(z)+\Im f(z)\Im f'(z)=\Re f'(z)f(z)=0} \), por lo que o bien \( f=0 \) o bien \( \Re f'=0 \). El primer caso es trivial, y del segundo, debido a las identidades previas, podemos ver que \( \Re f'=0\implies f'=0 \). De ahí se deduce que \( f \) es constante.

CORRECCIÓN: no, no es cierto que \( i\Re f'(z)=\Im f'(z) \), sino que \( i\partial_1 f(x,y)=\partial_2 f(x,y) \), que no es lo mismo, entendiendo el producto por la unidad imaginaria como un giro de 90 grados en \( \Bbb R^2 \). Igualmente se puede llegar a la misma conclusión.



Como bien dice Fernando hay que suponer el dominio conexo o que la función es constante "a trozos".

01 Marzo, 2018, 11:21 am
Respuesta #6

Nacho_Fernández

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El enunciado es ese tal cual, me ha faltado poner que es \( \forall{z} \) de los complejos

01 Marzo, 2018, 12:46 pm
Respuesta #7

Fernando Revilla

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El enunciado es ese tal cual, me ha faltado poner que es \( \forall{z} \) de los complejos

Bien, la cosa cambia pues nos están diciendo que \( D=\mathbb{C} \). Lo más directo es el teorema de Liouville, pero si no lo habéis dado puedes usar las ecuaciones de Cauchy-Riemann.