Autor Tema: Función armónica

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28 Febrero, 2018, 12:09 pm
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Nacho_Fernández

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Hola a todos, tengo un ejercicio en el que me dan esta función:
\( u(x,y)=\displaystyle\frac{y^n}{x^2+y^2} \)
Me piden obtener los valores de n para que la función sea armónica y hallar v(x,y) que es su conjugada armónica.
He puesto que debe cumplir la ecuación de Laplace, pero las segundas derivadas salen enormes y no veo cómo hallar n.
Edito: con n=1 sí funciona pero no sé si se puede encontrar otro valor

28 Febrero, 2018, 12:40 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Te doy la razón en que es un coñazo horrendo hacer el cálculo directo. Sin embargo esta identidad quizá te sirva de ayuda:

\( \displaystyle \Delta (fg)=g\Delta f+{\color{red}2}({\color{red}\nabla} f\mid{\color{red}\nabla} g)+f\Delta g \)

Ahí \( \Delta \) es el operador laplaciano, \( \nabla \) el operador gradiente y \( (\cdot|\cdot) \) es el producto interior euclídeo. Otra opción es usar algún CAS como SAGE o SymPy.



También lo que se puede hacer es usar un sistema de coordenadas distinto y la identidad que lo relaciona con el laplaciano, si eso ayudase a simplificar los cálculos, fíjate que la función en polares te quedaría

\( \displaystyle f(r,\theta)=r^{n-2}(\sin\theta)^n \)

CORREGIDO.

28 Febrero, 2018, 12:51 pm
Respuesta #2

Ignacio Larrosa

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Hola a todos, tengo un ejercicio en el que me dan esta función:
\( u(x,y)=\displaystyle\frac{y^n}{x^2+y^2} \)
Me piden obtener los valores de n para que la función sea armónica y hallar v(x,y) que es su conjugada armónica.
He puesto que debe cumplir la ecuación de Laplace, pero las segundas derivadas salen enormes y no veo cómo hallar n.
Edito: con n=1 sí funciona pero no sé si se puede encontrar otro valor

El Laplaciano queda bastante manejable:

\( \Delta f = \frac{{\partial^2 f}}{{\partial x^2}} + \frac{{\partial^2f}}{{\partial x^2}}=\displaystyle\frac{2y^n(3x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^3}+\displaystyle\frac{y^{n - 2}(n(n-1)x^4 + 2(n^2 - 3n - 1)x^2y^2 + (n - 2)(n - 3)y^4)}{(x^2+y^2)^3}\\
\quad =\displaystyle\frac{y^{n - 2}(n - 1)(nx^2 + (n-4)y^2)}{(x^2+y^2)^2}  \)

Saludos,
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)

28 Febrero, 2018, 07:15 pm
Respuesta #3

Nacho_Fernández

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El laplaciano de ahí debería ser derivadas dobles en x e y no?

01 Marzo, 2018, 10:17 am
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola

El laplaciano de ahí debería ser derivadas dobles en x e y no?

Si te refieres a que Ignacio ha escrito:

\( \Delta f = \frac{{\partial^2 f}}{{\partial x^2}} + \frac{{\partial^2f}}{{\partial \color{red} x^2\color{black}}} \)

Fue una errata, pero las cuentas las ha hecho bien. Sería:

\( \Delta f = \frac{{\partial^2 f}}{{\partial x^2}} + \frac{{\partial^2f}}{{\partial \color{red} y^2\color{black}}} \)

¿Te queda alguna duda?¿Sabes terminar el ejercicio?.

Saludos.

01 Marzo, 2018, 10:22 am
Respuesta #5

Ignacio Larrosa

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El laplaciano de ahí debería ser derivadas dobles en x e y no?

Si, claro, tenía que ser

\( \Delta f = \frac{{\partial^2 f}}{{\partial x^2}} + \frac{{\partial^2f}}{{\partial y^2}} \)

Saludos,
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)