Hola
Pues si la cuestión es que los límites laterales no coincidan, entonces mejor utilizar:
\(f(x)=x^2\) y \(g(x)=\dfrac{1}{x} \)
Cuando x tiende a cero.( en este caso los límites laterales de g(x) son \( \pm{}\infty \) ,logicamente no coinciden )
Me parece que \( f \) es continua en \( 0 \) y por lo tanto no se demuestra que el límite en ese punto no existe.
Creo que hay que considerar el límite de un producto que exista, pero que ninguno de los dos límites por separado exista. Aunque estoy de acuerdo en que habría que precisar qué se entiende por
existencia de límite.
A mí no se me ocurrió ningún contraejemplo. Pienso en tomar \( f(x)=\ln(x)/x \) cuyo límite en cero no existe, y buscar \( g \) tal que tampoco exista en cero, pero que su producto sí lo sea. ¿Quizás para la suma no vale pero sí para el producto?
A ver si está sirve:
\( f(x)=\begin{cases}1&\text{si}&x>0\\0 & \text{si}& x\leq0\end{cases} \)
\( g(x)=1-f(x) \)
El límite de cada función por separado en cero no existe, pero el límite del producto existe y vale cero.
Saludos