Autor Tema: Lógica según la cual dos y dos no son cuatro

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01 Junio, 2014, 07:45 pm
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SocráticoMayeutico

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Buenas tardes:

Estaba esta tarde leyendo el libro "el cerebro de Broca" de Carl Sagan, y en un momento afirma "existe una aritmética, perfectamente razonable y autoconsistente desde el punto de vista lógico, en la que dos y dos no son cuatro".

No conozco esa aritmética. ¿Podeis explicarme de que aritmética se trata? Estaré muy agradecido por cualquier ayuda.

Un saludo

01 Junio, 2014, 08:28 pm
Respuesta #1

ingmarov

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No se a que se refiere el autor. Pero me imagino que esto se puede dar dependiendo de la base numérica que utilicemos.
Por ejemplo si utilizamos números binarios tenemos que 1+1=10
si decidieramos usar una base que estuviera compuesta solo de 0,1,2,3 entonces la suma de 2+2=10
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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01 Junio, 2014, 08:42 pm
Respuesta #2

Fallen Angel

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Si trabajas sobre \( \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \) 2+2=1.
La Geometría es el arte de pensar bien, y dibujar mal.- H.Poincaré

01 Junio, 2014, 09:03 pm
Respuesta #3

SocráticoMayeutico

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Gracias a los dos por la respuesta.

Citar
si decidieramos usar una base que estuviera compuesta solo de 0,1,2,3 entonces la suma de 2+2=10

¿Por qué?¿como funciona esto?

Citar
Si trabajas sobre [\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}] 2+2=1.

Desconozco que tipo de matemática es esa, si me puedes dar una fuente en la que me pueda informar estaré muy agradecido.

Un saludo

01 Junio, 2014, 09:24 pm
Respuesta #4

ingmarov

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Gracias a los dos por la respuesta.

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si decidieramos usar una base que estuviera compuesta solo de 0,1,2,3 entonces la suma de 2+2=10

¿Por qué?¿como funciona esto?

Si en esta base anotamos los quince primeros números tendríamos 0,1,2,3,10,11,12,13,20,21,22,23,30,31,32.
Todos ellos son análogos a nuestros apreciados decimales 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14.
Si te fijas cuando llegamos al mayor número de nuestra base numérica comenzamos a aumentar cifras a la izquierda.
No se si esto te ayuda a entender, sino, te recomiendo estudiar algo de bases numéricas. Lo que escribió Fallen Angel tampoco lo entiendo, esperaré que escriba algo.
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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01 Junio, 2014, 09:39 pm
Respuesta #5

SocráticoMayeutico

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sí, te he entendido. En la base numérica que pones de ejemplo todas las sucesiones llegan a 3. O sea:

0,1,2,3

Y después ya aparece la primera decena:

10, 11, 12, 13

Y así sucesivamente.

En esa sucesión después del 3 viene el 10, por lo que el 10 es el equivalente de 4. Entonces por eso 2+2=10.

Muchísimas gracias ingmarov  :)

01 Junio, 2014, 10:56 pm
Respuesta #6

ingmarov

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 :) creo que lo has entendido, pero no creo que se le deba llamar "decena" podria ser llamada cuatrena, tetraena; en realidad no lo sé  :banghead:.
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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01 Junio, 2014, 11:22 pm
Respuesta #7

feriva

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Citar
Si trabajas sobre [\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}] 2+2=1.

Desconozco que tipo de matemática es esa, si me puedes dar una fuente en la que me pueda informar estaré muy agradecido.



 Hola. Mientras viene Fallen Ángel a explicarte puedes ver este vídeo sobre aritmética modular:


Te ayudará a comprender mejor lo que leas después sobre anillos y tal. Ya verás que, en realidad, no es nada de brujas.

 Saludos.


 

02 Junio, 2014, 12:32 pm
Respuesta #8

Fallen Angel

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\( (\mathbb{Z},+,\cdot) \), donde + y · son las operaciones habituales de suma y producto es un anillo conmutativo con unidad.

Todo ideal en este anillo es principal , es decir, es un dominio de ideales principales.(Probarlo es un ejercicio típico cuando uno comienza a estudiar anillos e ideales)

Además, se cumple que \( (a) \ es \ maximal \ \Leftrightarrow \ (a) \ es \ primo, \ a\neq 0 \ \Leftrightarrow \ a \ es \ primo \ no \ nulo  \).

Por tanto dado \( p\in \mathbb{Z} \) un primo, el cociente de \( \mathbb{Z} \) con el ideal generado por p es cuerpo.

El cociente \( \mathbb{Z}/(p) \) (también denotado \( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \) ó \( \mathbb{Z}_{p} \)) es el conjunto de clases de equivalencia donde dos elementos son equivalentes si, y sólo si, son iguales módulo p.
Esto es, \( \mathbb{Z}/(p)\cong \{1,\ldots ,p-1\} \)

En el ejemplo que puse, p=3 , que es primo , luego el cociente es cuerpo y por tanto podemos hablar de espacios vectoriales sobre él (que no son más que módulos totalmente de torsión cuando son de dimensión finita, pero eso ya es un poco más avanzado) y demás construcciones asociadas a cuerpos.

Además \( 2+2=4\equiv 1 \ (m\acute{o}d \ 3) \).

Si te interesa el tema puedes buscar en internet : Anillos, ideales, aritmética modular, álgebra básica,... y encontrarás un montón de información casi a cualquier nivel y si te surge alguna duda puedes ponerla en el foro a ver si podemos ayudarte  :)

Un saludo!



La Geometría es el arte de pensar bien, y dibujar mal.- H.Poincaré

02 Junio, 2014, 04:42 pm
Respuesta #9

teeteto

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Aquí la pregunta de fondo es: ¿qué es 2? ¿qué es 4? ¿qué es +?

Con las definiciones usuales 2+2=4 indudablemente.

Lo que Sagan dice (entiendo) es que se puede asignar un significado al SÍMBOLO 2, otro al SÍMBOLO 4 y otro al SÍMBOLO + (y a todos los demás) de forma que hay coherencia y 2+2 no es igual a 4.
Debemos saber...sabremos (David Hilbert)