Autor Tema: Lógica según la cual dos y dos no son cuatro

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02 Junio, 2014, 04:46 pm
Respuesta #10

SocráticoMayeutico

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Muchas gracias por todo

veo que el video que pone feriva nos explica un sistema según el cual, 3+110=17

Ahora, a ver si entiendo el siguiente mensaje:

\( (\mathbb{Z},+,\cdot) \), donde + y · son las operaciones habituales de suma y producto es un anillo conmutativo con unidad.

Todo ideal en este anillo es principal , es decir, es un dominio de ideales principales.(Probarlo es un ejercicio típico cuando uno comienza a estudiar anillos e ideales)

Vale, un anillo que incluye el conjunto de numeros enteros, suma y producto. Hasta ahí claro.

Citar
Además, se cumple que \( (a) \ es \ maximal \ \Leftrightarrow \ (a) \ es \ primo, \ a\neq 0 \ \Leftrightarrow \ a \ es \ primo \ no \ nulo  \).

Por tanto dado \( p\in \mathbb{Z} \) un primo, el cociente de \( \mathbb{Z} \) con el ideal generado por p es cuerpo.

Entiendo que a y p aquí son sinónimos, ¿no?

Citar
El cociente \( \mathbb{Z}/(p) \) (también denotado \( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \) ó \( \mathbb{Z}_{p} \)) es el conjunto de clases de equivalencia donde dos elementos son equivalentes si, y sólo si, son iguales módulo p.
Esto es, \( \mathbb{Z}/(p)\cong \{1,\ldots ,p-1\} \)

Aquí tengo una duda, lamento mis pocos conocimientos, pero: ¿Cómo puede el conjunto de los números enteros dividirse por un numero concreto? Entiendo que puede dividirse un numero por otro, pero...¿un conjunto?

Cuando se resuelvan esas dudas sigo con el resto del planteamiento.

Teeteto: gracias por tu aporte :)

02 Junio, 2014, 07:17 pm
Respuesta #11

Fallen Angel

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1.Si, cambié de letra sin darme cuenta

2.No divido, hago el cociente de un anillo por un ideal suyo
Si \( R \) es un anillo cualquiera e \( I\subseteq R \) es un ideal de \( R \).

Entonces \( R/ I :=\{r+I \ : \ r\in R\} \) es el conjunto de clases de equivalencia de los elementos en \( R \) módulo el ideal \( I \).
 \( r+I=r'+I\Leftrightarrow r-r'\in I \)

En nuestro caso, \( (p) \) denota el ideal generado por \( p \), que son precisamente los múltiplos de p.
Entonces dos elementos definirán la misma clase (su diferencia es múltiplo de p )si dejan el mismo resto al dividir por p , es decir, son congruentes módulo p.
Por tanto, puedo representar todos los elementos en una misma clase por su resto al dividir por p, y es por eso que  \( \mathbb{Z}/(p)\cong \{1,\ldots ,p-1\} \)

Un saludo
La Geometría es el arte de pensar bien, y dibujar mal.- H.Poincaré