[Raúl Aparicio Bustillo]

Resolviendo un ejercicio de álgebra me he encontrado con un conjunto de polinomios, pero no entiendo el concepto de conjunto de polinomios. Los polinomios son sumas de monomios, que son productos de constantes y variables, son términos con variables, pero no son objetos de ZFC. ¿Cómo podemos tener un conjunto de polinomios, alguien me puede aclarar un poco?

[Carlos Ivorra]

Resolviendo un ejercicio de álgebra me he encontrado con un conjunto de polinomios, pero no entiendo el concepto de conjunto de polinomios. Los polinomios son sumas de monomios, que son productos de constantes y variables, son términos con variables, pero no son objetos de ZFC. ¿Cómo podemos tener un conjunto de polinomios, alguien me puede aclarar un poco?

Jamás te encontrarás en un libro de álgebra, análisis, geometría, topología, etc. ningún concepto que no corresponda a un objeto de ZFC, ni una sola afirmación que no sea un teorema de ZFC.

Un polinomio en un anillo \( A \) (con una indeterminada) se define como una sucesión en \( A \) cuyos términos son todos nulos a partir de uno dado. La indeterminada \( X \) se define como la sucesión \( (0, 1, 0, 0, \ldots) \) y sobre ese conjunto se definen adecuadamente la suma y el producto para que \( X^n = (0, 0, \ldots, 0, 1, 0, \ldots) \) (con el 1 en la posición \( n+1 \)) y se prueba que, identificando los elementos de \( A \) con las sucesiones \( (a, 0, 0, \ldots) \), todo polinomio no nulo se expresa de forma única como \( \sum\limits_{i=0}^na_iX^i \), para ciertos \( a_i\in A \) con \( a_n\neq 0 \).

La construcción puede modificarse para definir polinomios con más de una indeterminada. En cualquier, caso, un polinomio es siempre una cierta función.

[Raúl Aparicio Bustillo]

O sea, que cuando me hablan del polinomio \( \displaystyle\sum_{i=1}^n{n}a_nx^n \), puedo considerar como si me estuvieran hablando de la función \( f(x)=\displaystyle\sum_{i=1}^n{n}a_nx^n \)

Bueno, ahora lo veo un poco como la manera más razonable de verlo, pero nunca había caído en la cuenta. Los abusos del lenguaje son necesarios, porque si no nuestras comunicaciones serían tediosas, pero cuando no captas la metáfora, ahí es dónde viene el problema 

[Carlos Ivorra]

No siempre puedes identificar un polinomio con la función que define. Por ejemplo, no puedes hacerlo en el caso de polinomios sobre cuerpos finitos. Lo que te digo es que, por ejemplo, el polinomio de \( \mathbb R[x] \)

\( 5x^7+3x^4+2x+5 \)

se define como la sucesión \( (5, 2, 0, 0, 3, 0,0,5, 0, 0, \ldots) \), es decir, como una función \( f:\mathbb N\longrightarrow \mathbb R \).

[Fallen Angel]

Y en el caso de seires de potencias formales, que es lo mismo pero sin la restricción de que sean nulos a partir de un cierto término ni suiqera sobre \( \mathbb{R} \) puedes identificarlos con funciones (no siempre).


Un saludo

[Raúl Aparicio Bustillo]

No lo entiendo. ¿Qué cuerpos finitos hablas? \( \mathbb{R}(x) \). Se me hace rara esa notación

[Carlos Ivorra]

No lo entiendo. ¿Qué cuerpos finitos hablas? \( \mathbb{R}(x) \). Se me hace rara esa notación

Lo que digo es que si consideras polinomios con coeficientes en un cuerpo finito, entonces existen distintos polinomios que definen la misma función por sustitución de la indeterminada, por lo que no puedes identificar a un polinomio con la función polinómica que define. La notación \( A[x] \) es estándar para el anillo de polinomios sobre un anillo \( A \), y no hay que confundirla con \( A(x) \), que se usa para el cuerpo de fracciones algebraicas.